چندوقت بود میخواستم راجع به این «گربهی شرودینگر» یه چیزی بنویسم، بگم چیه و ماجرای مطرح کردنش چیه تا اینکه کاملا تصادفی، بین ویدئوهای Ted-ed یه ویدئوی خوب دیدم. سورپرایز خیلی خوبی بود! برای همین شروع کردم به تهیهی زیرنویس فارسی برای اون ویدئو تا توی سیتپور منتشرش کنم و همه با هم ببینیمش و کلی کیف کنیم 😉
خبر برنده شدن مدال فیلدز توسط خانم میرزاخانی همهی ماها رو خوشحال و خانمها رو ،به طور ویژه، نسبت به علم با انگیزه تر کرد! خوبه که یادی کنیم از همه خانمهایی که با سختیهای که بوده و هست وارد علم شدند و البته تاثیر هم گذاشتند. این پست رو تقدیم میکنم به همهی بانوان تاریخ علم، خانمهایی مثل لیزه مایتنر،الن سوالو ریچاردز، ماری کوری و به ویژه خانم امی نودر!
توی این پست قصد دارم ضمن صحبت در مورد قضیه نٌودِر گریزی هم به زندگی ایشون بزنم. بهتره با یک ویدئوی کوتاه ، کمتر از ۳ دقیقه، شروع کنیم!
کلیپ زیرنویس فارسی داره!
ماجرا از اینجا شروع میشه که ما همهجا با تقارن سروکار داریم. از ساختار بدن خودمون گرفته تا اشکالی که توی طبیعت هست، معماریهای قدیمی و مدرن،فرش زیرپامون، وسایلی مثل تلفن همراه و … . تقارن توی هنر ارزش خاصی داره مخصوصا توی هنر اسلامی. اکثر مساجد درون و بیرونشون کاملا متقارن ساخته میشه! پپیشنهاد میکنم نوشتهی «گفتگو با استاد» از کتاب «اطاق آبی» سهراب سپهری رو بخونید! توی این نوشته، سپهری در مورد تقارن در نقاشی با یکی از اساتیدش بحث میکنه.
خب برگردیم سراغ علم! توی ریاضیات و فیزیک هم تقارن اهمیت خاصی داره، یکی از کارهای فیزیکدانها پیدا کردن تقارنه! هر چند که شکستن تقارن هم خودش یه موضوع خیلی جالب و چالشی هست ولی موضوع این پست نیست. همینطور برای فیزیکدانها اهمیت داره که بدونند که چه چیزهایی ثابت هستند و به بیان بهتر، فیزیکدانها دوست دارند بدونند که چه کمیتهایی پایسته (پایستار) هستند. حتما اسم قانونهایی مثل پایستگی انرژی به گوشتون خورده حتی اگر اهل فیزیک نباشید!
حالا با این مقدمهای که گفتم فکر کنید که یک نفر پیدا بشه و «تقارن» و «پایستگی» کمیتها رو به هم متصل کنه! چه اتفاق فرخندهای خواهد شد! این کار رو خانم امی نودر ریاضیدان تاثیرگزار آلمانی در سال ۱۹۱۵ انجام داد، چیزی که به عنوان قضیهی اول نودر امروز فیزیکدانها میشناسندش. سال ۱۹۱۵ دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از نودر دعوت کردند تا به دانشکدهی ریاضی دانشگاه گوتینگن بیاد و به اونها توی فهم نسبیت عام که توسط اینشتین مطرح شده بود کمک کنه.
همینطور که میدونید نسبیتعام یک نظریهی هندسی از گرانشه و بعضیها بر این باورند که اگر اینشتین نسبیتعام رو کشف نمیکرد، حتما توسط آدمهایی مثل هیلبرت و امثال هیلبرت این نظریه کشف میشد؛ با این وجود ریاضیدانها، فیزیک نمیدونستند و سرانجام افتخار این کشف به آینشتاین رسید! دعوت از نودر حاشیههای زیادی هم به همراه داشت، از جمله اینکه در اون زمان حضور زنها در دانشگاه مخالفان زیادی داشت ولی هیلبرت محکم جلوی این طرز تفکر نادرست ایستاد و از نودر به خوبی حمایت کرد! قضیه نودر، سال ۱۹۱۵ بیان و اثبات شد ولی نودر تا سال ۱۹۱۸ از انتشار اون خودداری کرد. بعد از این که کار نودر به دست اینشتین رسید، اینشتین نامهای به هیلبرت مینویسه و توی اون میگه:«دیروز مقالهای بسیار جالب در مورد ناوردایی از خانم نودر دریافت کردم. من از اینکه این چیزها با این کلیت قابل فهم هستند تحت تاثیر قرار گرفتهام! پاسداران قدیمی گوتینگن باید از خانم نودر درس بگیرند، به نظر میرسد که او کارش را بلد است!» جالبه که بدونید آدمهایی از جمله اینشتین، نودر رو مهمترین خانم در تاریخ ریاضیات خطاب کرده اند!
قضیه نودر بیان میکنه که:
«برای هر تقارن (پیوسته)موجود در یک سامانه، یک کمیت پایستار وجود دارد.»
این قضیه منجر به این شد که دو مقولهی ظاهرا متفاوت بهم متصل بشند و نتیجهی این وصلت هم، وصل شدن فیزیک نظری به سیستمهای دینامیکی و بالعکس شد. این قضیه یک ابزار بسیار قدرتمند برای فیزیک وحساب وردشهاست و در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی (که فرمالیسمی مشابه با مکانیک نیوتونی هستند) کاربرد اساسی داره. در حقیقت واژهی «تقارن» در صورت قضیه به طور دقیقتری، اشاره میکنه به هموردایی فورمی که یک قانون فیزیکی نسبت به تبدلات گروه لی دریک بعد (با ارضا کردن شرایط فنی) داره. بد نیست بدونید که معمولا قانون پایستگی برای هر کمیت فیزیکی با یک معادلهی پیوستگی بیان میشه که خب مجال توضیحش توی این پست نیست! تغییر نکردن یک کمیت در اثر تحول سیستم (ناوردا باقی موندن) به معنی پایستگی اون کمیت هست و به بیان ریاضی اگر تغییرات یک کمیت نسب به زمان صفر باشه. اون کمیت ثابته: \( dA/dt =0 \)
اجازه بدید کمی تخصصی تر حرف بزنیم:
توی فرمالیسم مکانیک لاگرانژی برای سادگی بیشتر از مختصات تعمیم یافته استفاده میشه. اگر با مختصات تعمیمیافته آشنا نیستید نگران نباشید، ایدهی ساده ولی کاربردی هست، توی اکثر کتابهای درسی مکانیک کلاسیک (مکانیک تحلیلی) در موردش بحث شده؛ در حالت کلی مختصات تعمیم یافته، میتونند چیزهایی غیر از x,y,z باشند، مثلا زاویه! بعد از مشخص شدن مختصات تعمیم یافته، لاگرانژی به صورت اختلاف انرژی جنبشی و پتاسیل سامانه به صورت \(L=T-V , L=L(q,p, t) \) مشخص میشه. لاگرانژی تابعی از مختصات تعمیم یافته(q)، تکانهی تعمیم یافته (p) ( تکانه تعمیم یافته مشتق زمانی مختصات تعمیم یافته است) و احیانا زمان هم هست. با استفاده از لاگرانژی و استفاده از معادلهی اویلر-لاگرانژ میتونیم به راحتی معادلات حرکت رو به دست بیاریم.
منظور از qنقطه همون مشتق زمانی q یا تکانه تعمیم یافته (p) هست. اندیس k یعنی kامین مختصهی تعمیم یافته و… . حالا اگر تغییرات لاگرانژی نسبت به یکی از اون مختصات تعمیم یافته صفر باشه، یعنی طرف راست معادله صفر باشه ، اونموقع طرف چپ معادله هم صفر میشه و این یعنی تغییرات لاگرانژی نسبت به تکانهی تعمیم یافته ثابته!
خب حالا این یعنی چی؟!
مثال۱)فرض کنید که شما یک توپی رو به هوا پرتاب میکنید، مختصات تعمیم یافته توی این حالت، همون x,y,z در دستگاه دکارتی هست. برای این توپ لاگرانژی به صورت زیر نوشته میشه:همون جوری که میبینید توی این لاگرانژی خبری از y , x نیست! پس مشتق L نسبت به y یا x صفر هست که نتیجهش ثابت بودن مشتق L نسبت yنقطه (سرعت در جهت y) و xنقطه (سرعت در جهت x) هست. با حل معادله اویلر-لاگرانژ (حل کنید!) به این میرسیم که تکانه در جهت x , y ثابته: توی این مثال دیدیم که تکانه (حاصلضرب m در xنقطه یا yنقطه) در دو جهت پایسته بود و در صورت لزوم میتونیم از قانون پایستگی تکانه هم استفاده کنیم!
مثال۲)فرض کنید که یک ذره در پتانسیلی باشه که فقط به فاصلهش از محور z ها وابسته است، اونموقع اگر لاگرانژی رو در دستگاه مختصات استوانهای بنویسیم، خواهیم داشت: میبینید که توی لاگرانژی خبر از z و θ نیست. دوباره با حل معادله اویلر لاگرانژ به این نتیجه میرسیم که تکانه در جهت z و θ پایسته است که این به معنی ثابت بودن تکانهی خطی در جهت z و پایستگی تکانهی زاویهای در جهت θ هست.
خب ما توی این دو تا مثال به پایستگی دو کمیت به نامهای تکانهی خطی و تکانهی زوایهای رسیدیم. طبق قضیهی نودر چیزی که این کمیتهای پایسته رو بهوجود اورده، چیزی نیست جز تقارن! توی مثال اول تقارن توی صفحهی xy (صفحهی موازی سطح زمین)وجود داشت. یعنی اینکه فرقی نمیکرد که توپ ما در کجای این صفحه بود، مهم این بود که چقدر از زمین بالا یا پایین باشه، به عبارت دیگه تقارنی که در انتقال توپ ما در صفحه xy (یا در جهت x و جهت y) وجود داشت سبب پایستگی تکانهی خطی در جهت x,y شد! توی مثال دوم هم تنها چیزی که اهمیت داشت انتقال در جهت r یا همون جابه جایی از محور z بود و این اصلا مهم نبود که شما در جهت z یا در جهت θ انتقال یا جابهجایی انجام بدین. بنابراین به خاطر تقارن موجود در انتقال در جهت z ، پایستگی تکانهی خطی در جهت z و به خاطر تقارنی که در جهت θ بود پایستگی تکانهی زاویهای در جهت θ داشتیم. یعنی با استفاده از قضیه نودر،بدون حل معادله اویلر-لاگرانژ،میتونستیم کمیتهای پایسته رو از روی لاگرانژی تشخیص بدیم.
به طور خلاصه میتونیم این جدول رو داشته باشیم:
تقارن در زمان یعنی اینکه اگر رفتار سامانهی ما مستقل از زمان باشه به این معنی که هرچقدر زمان بگذره سیستم تغییر نکنه، اون موقع انرژی برای اون ثابت و پایسته است. برای مثال، وقتی شما نوسانگری که درخلا در حال نوسان با دورهی تناوب T هست رو امروز میبیند و دوباره فردا هم با همون دوره تناوب میبینیدش، یعنی اینکه انرژی برای این نوسانگر پایسته است!
خیلی چیزها خلاصه میشه توی همین قضیه! زمین گرده چون که بیشترین تقارن رو کره داره و این گردی سبب میشه که تکانهی زاویه ای حفظ بشه! همین طور مدار سیاره ها و …
خب در انتها جا داره که یک بار دیگه درود بفرستیم به امی نودر!
برای عمیقتر شدن نگاهی داشته باشید به این نوشته از وبلاگ تائو:
معتبرینترین جایزهی علمی دنیا، جایزهی نوبل هست. ولی این جایزه به دلایلی به ریاضیدانها داده نمیشه! در عوض جان چارلزفیلد، ریاضیدان کانادایی ابتکاری زد که هر چهار سال یک بار، به ریاضیدانانی که کمتر از ۴۰سال داشته باشند و یک کار ارزنده و خیلی خوبی توی ریاضیات انجام بدند یک جایزه داده بشه، که این جایزه همون مدال فیلدز هست. مدال فیلدز و جایزهی آبل معتبرترین و مهمترین جایزههایی هستند که یک ریاضیدان ممکنه اون رو ببره و در حقیقت جایگزین جایزه نوبل برای ریاضی هست!
هر دوره این جایزه به دو، سه یا چهار ریاضیدان اهدا میشه. امسال (دیروز اعلام شد) این جایزه به چهار نفر به نامهای آرتور آویلا، مانجول بارگاوا، مارتین هایرر و مریم میرزاخانیاهدا شد. با کمال خوشحالی و ذوق بسیار بسیار زیاد، بین این چهار نفر اسم خانم دکتر مریم میرزاخانی هست. که نه تنها موجب خوشحالی و مباهاته بلکه جالب توجه هم هست که ایشون اولین خانم برندهی این جایزه در کل تاریخ هستند! هورا!
تبریک میگیم به خانم میرزاخانی و برای ایشون آرزوی سلامتی و موفقیتهای پیدرپی داریم! دست مریزاد خانم دکتر 🙂 برندهشدن ایشون موجب تشویق بیشتر خانمها به این جایزه شد، مسئولین برگزارکننده خیلی خوشحال بودند و این رو یک دریچهی امید برای دختران و خانمهای جوان که در ریاضیات فعالیت میکنند دونستند!
مریم میرزاخانی این مدال رو به خاطر کارشون روی «دینامیک و هندسه سطوح ریمانی و فضاهای پیمانهای آنها» که مربوط به هندسهی مختلط میشه برنده شدند. مسئلهی سه جسم (مثل برهمکنش خورشید و زمین و ماه) حل دقیق ریاضی نداره. مریم میزاخانی نشون داد در سیستمهای دینامیکی که نوع تحولشون به نحوی هست که شکلشون رو میچرخونند و کش میارند، مسیرهای سیستم بالاجبار مقیدند که از قوانین جبری پیروی کنند! خلاصه این که مسئلهی سه جسم به یک سرانجام خوبی رسید!
مکمولن گفته که دستاورد خانم میرزاخانی «توانایی فوقالعاده در حل مسئله، دید وسیع در ریاضیات و روان بودن در دیسیپلینهای زیادی» رو ترکیب کرد که در عصر مدرن واقعا غیرعادیه!
به نقل از ویکیپدیا:
مریم میرزاخانی (زاده ۱۹۷۷) ریاضیدانایرانی و استاد دانشگاه استنفورد است. او طی تحصیل در دبیرستان فرزانگان تهران در سالهای ۱۹۹۴ (هنگکنگ) و ۱۹۹۵ (کانادا) برنده مدال طلا در المپیاد جهانی ریاضی و در این سال حایز نمره کامل شد. سپس کارشناسی ارشد خود را در رشته ریاضی از دانشگاه شریف گرفت و برای ادامه تحصیل دکترا به دانشگاه هاروارد رفت. از مریم میرزاخانی به عنوان یکی از ده ذهنِ جوان برگزیده سال ۲۰۰۵ از سوی نشریه پاپیولار ساینس در آمریکاو ذهن برتر در رشته ریاضیات تجلیل شد. میرزاخانی برنده جوایزی چون جایزه ستر از انجمن ریاضی آمریکا در سال ۲۰۱۳، جایزه کلی و مدال فیلدز در سال ۲۰۱۴ است. وی از یازدهم شهریور ماه ۱۳۸۷ (اول سپتامبر ۲۰۰۸) در دانشگاه استنفورد استاد دانشگاه و پژوهشگر رشته ریاضیات است. پیش از این، او استاد دانشگاه پرینستون بود.
توی قسمت قبلی دیدیم که اگر هر تابع f رو داشته باشیم میتونیم برای اون تابع مجموعهی ژولیای مربوط به اون رو پیدا کنیم که خب یکمی از کامپیوتر هم کمک گرفتیم. کار ما این بود که یک تابع رو بر میداشتیم شرایط اولیهای (یک سری نقطه توی فضای مختلطی (موهومی)) بهش میدادیم، مقدار تابع رو به ازای اون شرایط اولیه به دست میاوردیم و همین طور دوباره این مقدار رو به تابع میدادیم و این روند رو ادامه میدادیم تا ببینیم آیا شرایط اولیهای که انتخاب کردیم به بینهایت میل میکنه یا نه، اگر نمیکرد اون موقع مجموعهی ژولیا اون تابع رو تشکیل میداد. همین طور گفتیم که از بین همهی توابع، توابعی که به صورت چندجملهای های مربعی میباشند بیشتر مشهور هستند؛ توابعی با فورم: $$f(z)=z^2 +c$$توی این پست در مورد علت این شهرت توضیح میدم؛
تابع ${f(z)=z^2 +c}$ رو در نظر بگیرید؛ فراموش نکنید که c میتونه هر عددی – ولی حتما مختلط – باشه. حالا اگر با نقطهی z=0 شروع کنیم، به این دنباله میرسیم:
$$ c , c² + c , (c²+c)² + c , ((c²+c)²+c)² + c , (((c²+c)²+c)²+c)² + c , …$$
اگر این دنباله واگرا نباشه، یعنی اگر c هایی انتخاب کنیم که در نهایت این دنباله به بینهایت نرسه اون موقع مجموعهی ژولیایی که توسط این cها برای تابع ${f(z)=z^2 +c}$ ساخته میشه، «همبند» هست. احتمالای توی نظریهی گراف با مفهموم همبند بودن آشنا شدین (معمولا سال آخر دبیرستان بچههای رشتهی ریاضی فیزیک نظریهی گراف رو توی درس ریاضیات گسسته میخونند!) اگر نشدین، همبند بودن یک جور مفهموم متصل بودن رو داره، وقتی یک گراف یا شبکهای همبند باشه اونموقع اگر شما از یک نقطهای شروع به حرکت کردید، میتونید به هر نقطهای که دلتون میخواد برید وبدون اینکه جایی مسیرتون قطع بشه. خلاصه این که اگر دنبالهای که ساختیم واگرا
نشد اون موقع ما یک مجموعهی ژولیای همبند میتونیم بسازیم. (اثبات این مطلب فراتر از حوصلهی ماست!) خب حالا این مجموعهی ژولیای همبند به چه دردی میخوره آیا؟! اجازه بدید تا یک مجموعهی جدید معرفی کنیم به نام «مجموعهی مندلبرو».
«مجموعه مندلبرو شامل نقاطی (c) از صفحهی مختلط هست که به ازای آن ها مجموعهی ژولیا تابع ${f(z)=z^2 +c}$ همبند باشد.»
شما میتونید یک برنامه بنویسید تا براتون مقادیری که C ممکنه بگیره رو پیدا کنه ولی یک نکتهای هست و اون اینه که همهی مجموعههای ژولیا همبند شامل نقطهی 0 = 0+ z= 0i هستند! بنابراین «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» مبدا برای این دسته از مجموعه ها، همیشه باید یک مقدار کراندار باشه و به بینهایت میل نکنه، پس نقطهی صفر در همهی مجموعههای ژولیای همبند صدق میکنه. به طور مشابه در همهی مجموعههای ژولیای ناهمبند نقطهی صفر وجود نداره! خب این یک سنگ محکی شد برای تشخیص اینکه آیا نقطه c دلخواهی عضو مجموعهی مندلبرو هست یا نه! یعنی کافیه تا ما «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» نقطهی z=0 رو برای تابع ${f(z)=z^2 +c}$ بررسی کنیم، اگر مقادیری که به دست میاند (همون «اربیت» یا «چرخش») کراندار باشند اون موقع اون c مورد نظر ما عضو مجموعه مندلبرو هست ولی اگر به بینهایت میل کنه اونموقع اون c دیگه عضو مجموعه مندلبرو نیست! شرمنده 😀
مجموعهی مندلبرو یکی از موضوعات دینامیک مختلطه که برای اولین بار ایدهش اوایل قرن بیستم توسط ریاضیدانان فرانسوی بهنام «فاتو» و«ژولیا» مطرح شد. اون موقعها هنوز کامپیوتر زیاد رونق نداشت برای همین مثلا فاتو نتونست شهود و تصویر خوبی از این مجموعه ارائه بده. تا اینکه مندلبرو اول مارس ۱۹۸۰(اواخر قرن بیستم!) به لطف کامپیوترهای شرکت IBM تونست این کار رو انجام بده و بعدش هم این موضوع رو گسترش زیادی داد. آدمهای زیادی بعد از مندلبرو روی این موضوع کار کردند ولی به خاطر خدمات مندلبرو یا به احترام مندلبرو، اسم این مجوعه رو «مجموعه مندلبرو» گذاشتند!
این مجموعه در حقیقت یک فرکتال هست با مرز بسیار بسیار پیچیده، جوری که شیشیکورا ثابت کرد (۱۹۹۸) که بعد این مرز ۲ هست! این فرکتال برخلاف مجموعهی ژولیا کاملا خودمتشابه نیست و اگر روی شکل زوم کنید این رو به راحتی متوجه خواهید شد!
همین طور این مجموعه توی صفحهی مختلط، توی دیسکی یه شعاع ۲ قرار میگیره و تقاطع اون با محور حقیقی بازه [۰/۲۵, ۲-] هست. حدودا دو سال پیش مساحت مجموعه مندلبرو 0.0000000028 ± 1.5065918849 واحدمربع تخمین زده شد! پیشنهاد میکنم حتما به صفحهی ویکی پدیای این مجوعه عجیب و غریب سر بزنید، مخصوصا اگر دوست دارید که الگوریتمهایی که برای تولید این دسته از فرکتالها مورد استفاده قرار میگیرند چه جوری هستند!
برای مطالعه، پیشنهاد میکنم کتاب زیر رو بخونید، خیلی خوب توضیح داده هم فرکتالها رو هم آشوب رو!
به عنوان حسن ختام، یک جمله از مندلبرو رو نقل میکنم (از سخنرانی تد ۲۰۱۰) : «خب، اجازه دهید تمام کنم. این شکل در اینجا تنها از یک تمرین در ریاضیات محض بوجود آمد. ظهور شگفتی های بی پایان از قواعد ساده، که بی نهایت تکرار می شوند.»
در قسمتهای قبل در مورد فرکتالها و ویژگیهاشون نوشتم. این قسمت و قسمت بعد در مورد مجموعهای از اعداد که اشکال فرکتالی میسازند هست.
به عنوان مقدمه، تابع رو در نظر بگیرید. اگر به عنوان یک نقطهی شروع x=۲ رو به تابع بدیم مقدار تابع میشه ۲ به توان ۲ یعنی ۴. حالا اگر باز این ۴ رو به تابع بدیم، جواب ۱۶ میشه و اگر این روند رو ادامه بدیم به عددهای بزرگتر میرسیم. همین طور اگر از نقطهی x=-۳ شروع کنیم، به ۹ و بعد از اون به ۸۱ و مجددا به عددهای بزرگتری میرسیم.
هر دوی این نقاط بعد از تکرارهای پی در پی به بینهایت نزدیک میشند. اما اگر این بار یک نقطه از بازهی [۱،۱-] انتخاب کنیم چی؟ مثلا اگر ۰/۵ رو انتخاب کنیم به توان دو که برسه میشه ۲۵/. بعدش ۶۲۵./. و همین طور عددهای بعدی کوچیک و کوچیکتر میشند و به صفر میل کنند.
در حقیقیت هر عددی که انتخاب کنیم در نهایت (پس از تکرارهای پی در پی) سرانجام و عاقبتش دو حالت داره؛ یا خیلی رشد میکنه و به یک حد بی کران میرسه یا اینکه در آخر به یک مقدار ثابت همگرا میشه که برای این تابع اعداد ۱ و ۱- به ۱ همگرا میشند و همهی اعداد حقیقی بین ۱- و ۱ به صفر. اعداد خارج این بازه هم که اصلا همگرا نمیشند!
خب بعد از این مقدمه، به یک تعریف میرسیم: «به مجموعهای از شرایط اولیه که پس از تکرارهای پیدرپی توسط یک تابع به بینهایت میل نمیکنند، مجموعهی ژولیای آن تابع میگویند.» مثلا برای تابعشرایط اولیه (اعداد) عضو بازهی [۱،۱-] پس از تکرارهای پیدرپی به بینهایت نمیرسند ولی برای خارج از این بازه این طور نیست و همون جوری که دیدید بعد از تکرارهای پیدرپی به بینهایت میرسند. در حقیقت به مجموعه [۱،۱-]=S یک «مجموعهی توپور ژولیا» میگند و منظور از مجموعه ژولیا مرز بین دو مجموعه است؛مجموعه شرایط اولیهای که به بینهایت میرسند و مجموعه شرایط اولیهای که به بینهایت نمیرسند! یعنی برای تابع مجموعه ژولیا {J ={-1,1 است که شامل دو عدد ۱+ و ۱- میباشد! به عبارت دیگه اگر روی محور xها بخواییم مشخص کنیم فقط دو تا نقطه به عنوان مجموعهی ژولیا تابع مشخص میشه؛ x=1 و x= -1!
خب تا اینجا زیاد جذاب نبود و فقط یک تعریف رو مطرح کردیم! حالا برای ایجاد جذابیت بیایید و وارد اعداد موهومی بشیم. تفاوت اعداد حقیقی و موهومی در اینه که اعداد حقیقی روی یک خط هستند ولی اعداد موهومی روی یک صفحه قرار میگیرند. هر عدد موهومی به صورت z=a+ib نوشته میشه که a, b هر دو اعداد حقیقی و i واحد موهومی ساز هست جوری که طبق تعریف: i2 = −1 ! اگر با این دسته از اعداد هنوز آشنایی ندارید، سخت نگیرید، ایدهی آسونیه، میتونید نگاه کنید به صفحه ویکیپدیا یا اینکه اگر اشتیاق بیشتری به یادگیری دارید بهتون پیشنهاد میکنم کتاب «متغیرهای موهومی و کاربردها» نوشتهی جیمز براون و روئل چرچیل رو یه نگاهی بندازید! الان همون تابع قبلی رو در فضای موهومی مینویسیم:
در مورد این تابع، مجموعهی ژولیا، مجموعه نقاطی هست که روی دایرهای به شعاع ۱ و به مرکز مبدا مختصات قرار میگیرند. یعنی مجموعه نقاط روی دایره و درون دایره r=1 مجموعهی توپور ژولیا رو میسازند. این به خاطر اینه که اعداد موهومی روی صفحه مشخص میشند. (شما این تعبیر رو با نوشتن صورت قطبی اعداد موهومی بهترین میتونید ببینید؛ یادتون باشه که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازهی [۱،۱-] باشند تا بعد از تکرارهای پیدرپی، اعداد حاصل از به توان ۲ رسوندن به بینهایت میل نکنند! صرفا جهت یادآوری عرض کنم که برای به توان رسوندن یک عدد موهومی z=a+ib مثل به توان رسوندن چند جملهای ها عمل میکنیم ولی به این نکته توجه میکنیم که طبق تعریف i2 = −1 !)
خب یکمی جالبتر شد، از دو نقطهی x=1 و x= -1 توی قسمت قبل این دفعه به یک دایره رسیدیم در فضای موهومی. برای جذابیت بیشتر بیایید و این دفعه تابع رو تغییر بدیم و از این تابع استفاده کنیم و ببینیم که چی میشه! یعنی اون نقاطی رو پیدا کنیم که بعد از تکرارهای متوالی توسط این تابع به بینهایت میل نکنند. راستش این دفعه به سادگی دفعهی قبل نیست که بتونیم سریع کل اون اعداد رو حدس بزنیم و مثلا بگیم که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازهی [۱،۱-] باشند. خب بیایید و چند تا عدد موهومی رو تست کنیم، روش آزمون و خطا؛ چندتا عدد راحت مثل 0 و i و 1+i و یک عدد یکمی ناراحت ( 😀 ) مثل 0.8 + 0.2i
میبینیم که صفر به طور متناوب به ۱- و صفر میرسه ولی در مورد بقیه اعداد ما، این طوری نیست و مثلا در مورد 1+i همین طور زیاد و زیاد تر میشه.
خب بقیه اعداد رو باید همین جوری با آزمون و خطا پیدا کرد راستش و خب این قدری رنج آوره! اشکال نداره ما خودمون این کارو انجام نمیدیم و میذاریم کامپیوتر بقیه اعداد رو پیدا کنه! من تصویری از نقاطی که مشخص شده رو براتون میذارم تا ببینید که این دفعه شکل دیگه دایره نمیشه و یه شکل عجیب درست میشه! فکر نمیکنم که این شکل رو میشد به این راحتیها حدس زد! برای بهتر دیده شدن تصویر، رزولوشنش رو میشه بیشتر کرد،یعنی تعداد نقاط رو بیشتری رو امتحان کرد:
«این یک شکل خودمتشابه هست!»
اجازه بدید تا یک قسمت از شکل که مشخص کردم رو بزرگترش کنم؛ مثل اینکه سر و کلهی فرکتال ها دوباره پیدا شد!
از حالا به بعد هر تابعی که داشته باشیم رو میتونیم مجموعهی ژولیا مربوط به اون رو پیدا کنیم.بین توابع، توابعی که به صورت چندجملهای های مربعی هستند بیشتر معروف هستند!
$$ f(z)=z^2 +c ,$$ c:مقدار ثابت
حتما به صفحهی ویکیپدیا مجموعهی ژولیا سر بزنید و شکلهای جالبی که توسط توابع مختلف ساخته شده رو ببینید. علت استفاده از رنگ هم اینه: بسته به این که نقاط با چه آهنگی رشد میکنند به اونها یک رنگ خاص اختصاص میدند، ممکنه یک عدد بعد از صد بار تکرار بیشتر از یک میلیون بشه و یک عدد بعد از هزار بار تکرار، اینها باید با هم یک فرقی به هر حال داشته باشند دیگه! به عنوان نمونه من چند تا از تصاویر رو میذارم:
موضوعی که توی این پست به طور خلاصه میخواهیم ازش حرف بزنیم و اطلاعات کلی ای دربارش پیدا کنیم هولوگرام هاست که خب در بینش به تشابه کارکرد هولوگرام ها با مغز هم میپردازیم. احتمالا اگر کلمه ی هولوگرام رو تا به حال شنیدیم بیشتر و تنها ، ویژگی سه بعدی بودن اونها برامون گفته شده، توی این پست با دیگر خصوصیات جالب هولوگرام ها آشنا میشیم و در ضمن هم به معرفی کتابی که این پست تقریبا خلاصه ای از فصل اول اون کتابه میپردازیم. خب، پریبرام کسی بود که با جمع بندیه پژوهش هایی که از هولوگرام ها به دست اومده بود تونست به سوالی که براش پیش اومده بود پاسخ بده. معمایی که پریبرام را نخست به راه انداخت تا الگوی هولوگرافیک خودشو مطرح کند از این پرسش برخاست که خاطرات در مغز انسان کجا و چگونه ذخیره میشن.
در آن دوران اکثر دانشمندان معتقد بودند که خاطرات در مغز انسان جایگاه ویژه ای دارن ، یعنی هر خاطره که شخص دارد همه دارنده ی جایگاه خاص در سلول های مغزند که انگرام نامیده میشن. در پی همین تفکر هم پن فیلد جراح مغز کانادایی شواهد متقاعد کننده ای عرضه کرد که خاطرات خاص، جایگاه خاص و ویژه ای دارند. پن فیلد با جراحی روی مغز مبتلایان به صرع نقاط مختلف سلول های مغز آن ها را به وسیله ی شوک الکتریکی تحریک میکرد و با شگفتی دریافت که هرگاه ناحیه گیج گاه یکی از بیماران کاملا بیهوش خود را تحریک میکرد بیمار خاطرات وقایع گذشته ی زندگی خود را با جزییات کاملا واضح به یاد می آورد. مثلا پسر بچه ای صدای مادرش را در حال صحبت پای تلفن شنید و پس از چند شوک الکترود توانست تمامی مکالمه را از نو تکرار کند و … .
حتی وقتی پن فیلد سعی کرد که آن ها را گمراه بکند و به آن ها بگوید که نقطه ای دیگر از مغز آن ها را تحریک کرده که در واقع نکرده بود همواره همان خاطره ی قبلی فراخوانده میشد و پن فیلد این چنین نتیجه گرفت که هر آن چه که تا به حال تجربه کرده ایم در مغز ما ثبت شده است. پریبرام دلیلی برای شک کردن به نظریه ی پن فیلد نداشت.اما این پژوهش های لاشلی بود که نحوه ی اندیشه ی او را به کل تغییر داد. کاری که لاشلی میکرد عبارت از این بود که به موش ها تعلیم میداد دست به اعمال گوناگون بزنند،مثل گذشتن از مارپیچ ها.بعد تکه های مختلفی از مغز موش ها را با عمل جراحی برمیداشت و دوباره به محک آزمایش میگذاشت. او آن قسمت از مغز موش ها را برمیداشت که حاوی خاطره ی گذشتن از مارپیچ است،وقتی این کار عملی شد با شگفتی دریافت که صرف نظر از این که کدام قسمت مغز برداشته شده خاطره ی آن ها هیچ گاه از بین نرفته است. برای پریبرام تنها پاسخ ممکن این بود که خاطره ها مکان خاصی در مغز ندارند و به طور کلی در سراسر مغز پراکنده شده اند و این شده که خواندن مقاله ای در ساینتیفیک امریکن که به توصیف چگونگی ساخت نخستین هولوگرام میپرداخت پاسخ نهایی چگونگی کارکرد مغز را پیش پای او نهاد. از این جاست که ما وارد بحث هولوگرام ها و ویژگی های آن میشویم.
شما برای این که سر از کار پریبرام درآورید و آشنایی بیشتری درباره ی ارتباط مغز و هولوگرام پیدا کنید میتونید به کتاب جهان هولوگرافیک مایکل تالبوت رجوع کنید و از خواندن آن لذت ببرید. اما هولوگرام؛ یکی از چیز هایی که هولوگرافی را ممکن میسازد پدیده ای است به نام تداخل. تداخل عبارت از نقشی ضربدری است که از دو یا سه موج نظیر امواج آب که در هم تداخل پیدا کرده حاصل می آید. هر نوع پدیده ی موج گونه می تواند یک طرح تداخلی ایجاد کند.نظیر امواج رادیو و نور. و از آن جا که اشعه ی لیزر پرتویی بسیار خالص و تکفام از نور است، برای ایجاد طرح تداخلی مناسب است. حالا وقتی یک اشعه ی لیزر به دو تابه ی مجزا تقسیم شود، هولوگرام به وجود می آید. اولین تابه با برخورد به شی که قرار است از آن عکس گرفته شود به عقب می جهد. سپس تابه ی دوم با انعکاس نور تابه ی اول برخورد میکند و حاصلش یک الگوی تداخلی است که روی قطعه ای فیلم ضبط میشود. به چشم بیننده ، تصویر توی فیلم به هیچ رو شبیه شی عکاسی شده نیست.
با تاباندن تابه ی سوم به فیلم، تصویری سه بعدی از شی اصلی در طرف دیگر فیلم ظاهر میشود. به واقع میتوان دور و بر یک تصویر هولوگرافیک قدم زد و از زوایای مختلف بدان نگریست ، انگار به یک شی واقعی نگاه می کنیم. اما هرگاه بخواهید این تصویر را لمس کنید ، دست شما از میان آن گذر میکند و در می یابید که در واقع چیزی آن جا نیست. کیفیت سه بعدی بودن هولوگرام تنها وجه شاخص آن نیست.اگر تکه ای از فیلم هولوگرافیک تصویری از سیب را از میان دو نیمه کنیم و سپس اشعه ی لیزر بر آن بتابانیم ، هر نیمه حاوی تصویر کاملی از سیب خواهد بود. حتی اگر این نیمه را باز به دو نیمه و نیمه را دوباره به دو نیمه تقسیم کنیم، تصویر کاملی از سیب در هر یک از قسمت های کوچک فیلم به دست خواهد آمد (هر اندازه قسمت ها کوچکتر میشوند تصاویر محو تر خواهد شد).
بر خلاف عکس های معمولی ، هر تکه کوچک قسمتی از فیلم هولوگرافیک حاوی کلیه ی اطلاعاتی است که در همه ی فیلم ضبط شده است. همین نکته بود که پریبرام را به هیجان آورد و فهمید که خاطرات در مغز به جای این که مکان مشخصی داشته باشند در مغز پراکنده اند. اگر هر بخش تکه ای فیلم هولوگرافیک حاوی تمام اطلاعات لازم جهت ساختن تصویر کامل آن باشد، پس به نظر ممکن می آید که هر بخش از مغز نیز حاوی تمام اطلاعات لازم جهت فراخواندن همه ی خاطره باشند. بخش شاید جذاب تر هولوگرام ، بررسی ویژگی های آن و شباهت کارایی مغز و هولوگرام است که حالا به بررسی آنها میپردازیم.
به نظرتون مغز چه جوری میتونه این همه اطلاعات را در همچین فضای کوچکی ذخیره بکنه؟خب جالبه اینو بدونید که در طول عمر هر فرد معمولی مغز او چیزی حدود 280000000000000000000 یا 20^10*2.8 تکه اطلاعات ذخیره میکند.هولوگرام هم از قابلیت حیرت انگیزی برای ذخیره ی اطلاعات برخورداره. با تغییر زاویه ای که از برخورد دو موج لیزری روی فیلم عکاسی به دست آمده میتوان تصاویر گوناگون بسیاری روی همان سطح ضبط کرد. هر تصویر ضبط شده را میتوان با نور دادن به فیلم توسط اشعه لیزری و از همان زاویه ای که دو موج قبلی ساطع شده اند،دوباره به دست آورد.یک مربع یک اینچی فیلم قادر است همان قدر اطلاعات ذخیره کند که در پنجاه انجیل ذخیره شده است! البته من نمیدونم 50 انجیل حاوی چه قد اطلاعاته و بهتر بود در مقایسه با اطلاعات ذخیره شده در مغز میگفت ولی خب احتمالا خیلی زیاده…
یک ویژگی دیگه…ایده ی هولوگرافیک مثال دیگری است از گرایشهای تداعی کننده ی خاطره. اول نور یک اشعه ی لیزر را در نظر بگیریم که به دو شی همزمان تابیده و باز میگردد، مثلا به یک صندلی راحتی و یک یپپ. سپس میگذاریم نوری که از دو شی مذکور بازمیگردند با هم تلاقی کنند، و حاصل آن را روی فیلم ضبط میکنیم.سپس هرگاه به صندلی راحتی توسط اشعه ی لیزر نور بتابانیم و نور انعکاس یافته را از داخل فیلم بگذرانیم ، یک تصویر سه بعدی پیپ نمایان میشود ، و بر عکس.هرگاه همین کار را با پیپ انجام دهیم ، تصویر هولوگرافیک صندلی راحتی پدیدار خواهد شد. همین ویژگی در مغز مشابه فرآیندی است که بعضی اشیا ، از گذشته ی ما خاطرات خاصی را برمی انگیزانند.
ویژگی بعدی ای که راجع بش میخونیم هولوگرافی تشخیصه.در هولوگرافی تشخیص تصویر هولوگرافیک از یک شی به همان شیوه ی معمول ضبط میشود، جز آن که اشعه ی لیزر را به آینه ی خاصی که آینه ی متمرکز کننده نام دارد می تابانند و سپس نور منعکس شده را به سطح فیلم ظاهر نشده می تابانند. اگر یک شی دیگر را که با شی اول مشابه، ولی نه کاملا همسان است زیر اشعه ی لیزر قرار میدهیم و نور منعکس شده از آینه را به فیلم بتابانیم. پس از این که فیلم ظاهر شد نقطه ی روشنی روی آن پدیدار میشود.هر چه شباهت میان شی اول و شی دوم بیشتر باشد نقطه ی نورانی روشن تر و درخشان تر میشود. اگر دو شی مذکور هیچ شباهتی به هم نداشته باشند، هیچ نقطه ی نورانی ای پدیدار نخواهد شد.با قرار دادن یک فتوسل حساس به نور در پشت فیلم هولوگرافیک، میتوان در واقع از این مجموعه به عنوان یک ساز و کار مکانیکی تشخیص بهره برد که در مغز هم شناسایی چهره های آشنا به همین شکل است.
تکنیک مشابهی که هولوگرافی تداخلی نام دارد هم میتواند توضیح دهد که چگونه میتوان مشخصات آشنا و نا آشنای یک تصویر، مثل چهره ی کسی را که سالهاست ندیده ایم تشخیص داد. در این تکنیک شیئی را از میان تکه ای فیلم هولوگرافیک که حاوی تصویر خود شی است میبینیم.حال اگر هر یک از مشخصات شی پس از آنکه تصویرش ضبط شد تغییر کند، نور منعکس شده نیز تغییر خواهد کرد.کسی که به فیلم نگاه میکند بی درنگ در میابد که شی چگونه عوض شده یا اصلا عوض نشده است.در این تکنیک کار چنان حساس است که حتی فشار انگشت روی سنگ یا آجر هم بلافاصله نشان داده میشود. امروزه این تکنیک کاربرد عملی پیدا کرده و در صنعت آزمایش مواد مختلف به کار میرود.
این برخی از کاربرد های هولوگرام ها بود که خب برای بیشتر دونستن دربارش دوباره شما رو به خوندن کتاب جهان هولوگرافیک دعوت میکنم…
حالا کمی از زبان ریاضی هولوگرام میگیم و این موضوع رو تمام میکنیم. در حالی که نظریه های دنیس گابور( که از برندگان جایزه ی نوبل هست) که باعث تحول و گسترش تئوری هولوگرام شده بود نخستین بار توسط خود او صورت بندی و بر شمرده شد، در اواخر دهه ی شصت(میلادی) از نظریه پریبرام حتی خیلی بیشتر از ایده های گابور پشتیبانی شد.وقتی گابور به ایده ی هولوگرافیک اندیشید ، کاری به اشعه ی لیزر نداشت.هدفش بیشتر ایجاد تحول در میکروسکوپ الکترونی بود.رویکرد او ریاضی وار بود و ریاضیاتی که به کار برد نوعی حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که ژان فوریه ابداع کرده بود.به طور خلاصه آن چه که فوریه پرورانده بود نوعی روش ریاضی وار بود جهت تبدیل هرگونه طرح و الگویی هر چند پیچیده به زبان امواج ساده.در عین حال این را هم نشان داد که که این اشکال موج گونه را چگونه میتوان به همان شکل اولیه برگرداند.معادله ای که این فرآیند را نشان میدهد به نام مبدل های فوریه معروف است. به کمک مبدل های فوریه، گابور توانست تصویر شی را در فضای تار و مه آلود الگوهای تداخلی روی تکه ای فیلم هولوگرافیک ضبط کند.سپس سعی کرد به کمک آن ها راهی بیابد که که دوباره همان الگوهای تداخلی را به تصویر شی اولیه بازگرداند.
حالا که گریزی به زبان موج گونه ی فوریه ی زدیم بد نیست از یک کاربرد جالب فوریه یاد کنیم مبنی بر این که حتی حرکات جسمانی ما هم در مغز ما با همان زبان موج گونه ی فوریه حک شده است.نیکلای برنشتاین چند داوطلب را لباس تنگ سیاه پوشاند و در آرنچ ها و زانو های آن ها و سایر مفاصلشان نقاط سفیدی گذاشت. سپس آنها را رو به روی زمینه ای سیاه قرار داد و از آن ها در حال فعالیت های گوناگون جسمانی مثل رقصیدن ، راه رفتن ، جهیدن ، و تایپ کردن فیلم گرفت.وقتی فیلم را ظاهر کرد ، دریافت که تنها نقاط سفیدی پدیدار بودند که به بالا و پایین و چپ و راست در جهات گوناگون و در هم و بر هم حرکت میکردند.او جهت بهره بری بیشتر از کشفیاتش ، خطوط گوناگونی را که از نقاط سفید پدید آمده بود تجزیه و تحلیل کرد و همه را به یک زبان موج گونه تبدیل نمود. و با کمال تعجب دریافت که اشکال موج گونه حاوی الگو های پنهانی هستند که که به او اجازه میدهند حرکات بعدی آزمون شونده ها را تا حد یک اینچ پیش بینی کند!
مطلب ما همین جا به پایان میرسه!
تصویر سمت راست هم کتاب جهان هولوگرافیک هست که اگر از دونستن این مطالب لذت بردین شما رو به خوندن این کتاب که ترجمه ی بسیارخوب و روانی هم داره دعوت میکنم…
وقتی توی سینما نشستین و از دیدن فیلم لذت میبرید قطعا به نور فکر نمیکنید، یا وقتی زیر نور خورشید میایستین و گرم میشوید هم شاید به نور فکر نمیکنید، وقتی شفق قطبی را نگاه میکنید و مبهوت میشوید احتمالا باز هم به نور فکر نمیکنید، اینکه بعد از یک روز زیبای بارانی رنگین کمان را در آسمان میبینید و کلی ذوق میکنید و یاد فانتزیهای بچگانتون میافتین باز هم نور اهمیتی ندارد، یا حتی وقتی برق خانه یتان برای چند دقیقه میرود و به نور شمع خیره میشوید باز هم شاید نور ذهنتان را درگیر نمیکند. نوری که از شروع خلقت تا به امروز بوده است.
در دوران مدرسه کمی با نور آشنا میشویم و در کتاب علوم راجع به آن میخواندیم: (( بازتاب نور از اجسام به چشم ما باعث میشود تا ما اجسام را ببینیم)). اصلا آیا میتوانیم خود نور را ببینیم؟ نور چیست؟ چگونه به وجود میآید؟ یا به قول انیشتین آیا میشود سوار نور شویم و از آن سواری بگیریم؟
در قرن 17 مردم تصویر مبهمی از ماهیت نور داشتند که در سال 1678 هویگنس نظریه ی موجی بودن نور را ارایه داد و کمی آن تصویر مبهم را مرتب کرد.نظریه ی هویگنس یک نظریه ی هندسی بود : ((تمامی نقاط جبهه ی موج نور را میتوانیم به عنوان چشمه ی نقطه ای در نظر بگیریم که جبهه ی موج ثانویه کروی منتشر میکند. جبهه ی بعدی موج در هر زمانی از مماس این جبهه موج های ثانویه کروی به وجود میآید)). نظریه ی هویگنس به قدری خوب و قوی بوده که امروزه نیز در توصیف برخی از پدیده ها استفاده میشود. البته در آن زمان نیوتون بنا بر دلایل و توجیهات علمی که ارایه کرد آن نظریه را نپذیرفت. در سال 1704 نیوتون در کتاب اپتیکس خودش سوال میکند: آیا پرتوی نور اجرام بسیار کوچکی نیستند که از مواد درخشنده گسیل میشوند؟. یا در جای دیگر میپرسد: آیا اجسام در یک فاصله بر نور اثر ندارند و اثر آن ها نیست که پرتوی نور را خم میکند و چنین نیست که در کمترین فاصله قویترین اثر رادارد؟. مشخص میشود که نیوتون یک خاصیت ذره ای برای نور قایل بوده ولی هیچ مشاهده ای بر این حرف خود نداشته و آن ها را به عنوان سوال در کتاب خود مطرح میکند. البته نیوتون برای توصیف و توجیه حلقه های نیوتون ( که بعدا با آن آشنا میشویم) مجبور میشود از خاصیتی شبه موجی استفاده میکند.
هنوز مردم جوابی برای سوال های نیوتون وخاصیت ذره ای جوابی پیدا نکرده بودند که در سال 1801 یانگ در آزمایش دو شکافی خود اثبات کرد که نور موج است. در این آزمایش یانگ نشان داد که نور مانند امواج آب و تمامی امواج دیگر تداخل میکند. این آزمایش به اینگونه است که باریکه ای از نور سفید را از دو شکاف بسیار ریز رد میکنیم و پرده ای را در فاصله ای که از مقیاس دو شکاف بسایر بسیار بزرگتر است را آن طرف دو شکاف قرار میدهیم. وقتی پرتوهای دو شکاف روی پرده میافتد چند دسته نوار های تاریک روشن روی پرده مشاهده میکنیم که ناشی از تداخل پرتوهای نور دو شکاف با یکدیگر است. اگر یکی از پرتوهای فرودی راهی به اندازه ی نصف طول موج را طی کرده باشد تداخل مخرب است و آنجا تاریک میشود و اگر هر دو پرتو برای رسیده به پرده راه یکسانی را عبور کرده باشند ، مانند نقطه ی عمود منصف بین دو شکاف روی پرده، تداخل سازنده است و ما آنجا را کاملا روشن که دو برابر شدت نور هر شکاف است را میبینیم.
آزمایش یانگ باعث شد تا 75 سال نظریه ی ذره ای بودن نور فراموش شود تا در سال 1905 انیشتین نشان داد که نور خاصیت ذره ای دارد. شاید مثال هالیدی شهود بهتری از ذره ای بودن به دستتان بدهد، پرداخت پول و معاملات پولی رایج در هر کشوری کوانتایزد(بسته بسته) است. مثلا در کشور ما کمترین پول موجود سکه های 25 تومانی است و ارزش بقیه ی سکه ها و اسکناس ها طبق ضرایب صحیح سکه ی 25 تومانی محدود میشود. پس فرم پولی ما به صورت (n ×25 ) در میاید که n عدد مثبت و صحیح است بنابر این ما هیچوقت 85 تومان نداریم چرا که n برابر 3.4 میشود پس نمیتوانیم همچین پولی داشته باشیم. خاصیت ذره ای نور هم همینگونه است کوچکترین بسته ی نور که از تابش الکترومغناطیسی به وجود میآید را فوتون (همان 25 تومان) مینامیم.
انیشتین با آزمایش فوتوالکتریک خاصیت ذره ای نور را نشان داد و توانست برایش فرمولبندی تعریف کند که موجب شد تا نوبل فیزیک 1921 را ببرد. این پدیده به اینگونه است که اگر پرتوی نوری را به لایهای فلز (مثلا پتاسیم) بتابانیم الکترون از آن لایه ی فلزی کنده میشود که هر الکترون جدا شده توسط نور مقدار معینی به اندازه ی انرژی کوانتیزد آن نور (فوتون) انرژی دارد. میبینیم که در اینجا نور مانند موج عمل نمیکند بلکه ماننده بسنه هایی از انرژی میماند که هر کدام انرژی خود را به الکترون های فلز منتقل میکنند.
پس نور خاصیت ذره ای دارد. حال سوالی که پیش میآید آن است که بالاخره نور موج است یا ذره؟ این سوال را امروزه اینگونه پاسخ میدهیم که نور ماهیتی موجی- ذرهای دارد، یعنی هم خاصیت موجی و هم خاصیت ذرهای دارد.
دنیای نور دنیایی عجیب است. خاص است اما ساده نیست. در بحث های بعد مباحث راجع به نور را انشاءالله ادامه میدهیم.