رفتن به نوشته‌ها

سیتپـــــور مطالب

من آدم متوسطی هستم، آیا می‌تونم دکتری بخونم؟

شاید توی ایران هنوز هم یدک کشیدن عنوان «دکتر‌» خیلی جالب باشه. اما بیرون از ایران بیشتر از هر چیزی یک جور شغل کم‌درآمد دانشگاهی حساب میشه. برای بعضی‌ها هنوز دانشگاه، معبد مقدس یا زمین بازی هیجان‌انگیزیه. برای بعضی اما دانشگاه محل گذره. این ویدیو مربوط به این نیست که چی خوبه یا چی بده؛ چه چیزی درسته یا غلطه. قرار نیست ارزش خاصی به دکتری خوندن یا نخوندن بدیم یا این‌که بگیم در واقع دکتری باید چه شکلی باشه یا چه خروجی تولید کنه. این ویدیو اصلا به این نمی‌پردازه که جایگاه علم در جامعه کنونی کجاست. اصلا پرسش‌هایی شبیه به این رو نشونه نگرفته. این ویدیو نگاهی به شرایط موجوده برای کسی که می‌خواد وارد مسیری بشه به اسم دکتری. چیزی که بین سه تا پنج سال معمولا طول می‌کشه و برای بیشتر آدم‌ها قبل از ۳۰ سالگی شروع میشه.

همین‌طور نگاه کنید به:

مدل سازی مداخله‌های دارویی و غیردارویی برای کنترل همه‌گیری‌ها

واکسیناسیون فراگیریکی از مهم‌ترین مداخله‌های دارویی برای مقابله با همه‌گیری بیماری‌ها است. مدل‌های کلاسیک همه‌گیرشناسی وجود آستانه‌‌ای برای میزان واکسیناسیون جامعه‌ای برای رسیدن به ایمنی جمعی را پیش‌بینی می‌کنند. تلاش برای واکسینه کردن ۷۰٪ جامعه نمونه‌ای از استفاده از پیش‌بینی‌های این قبیل مدل‌هاست. با این وجود داده‌های دنیاگیری کوید-۱۹ خلاف این ادعا را نشان داده است. چرا رسیدن به آستانه ایمنی جمعی حتی با داشتن کارآمدترین واکسن‌ها در ایجاد ایمنی و جلوگیری از انتقال بیماری تبدیل به امری چالش‌برانگیز شده است؟!

دربخش نخست این سخنرانی، با در نظر گرفتن توپولوژی شبکه تماس، توزیع واکسن، همبستگی بین افراد واکسینه شده و کارآمدی واکسن‌ها در ایمنی و جلوگیری، آستانه ایمنی جمعی و اندازه همه‌گیری را به دست آوردیم. نشان‌ دادیم که حتی با وجود کارآمدترین واکسن‌ها، اندازه‌ همه‌گیری تابع یکنوایی از میزان هوموفیلی در رفتار افراد در واکسینه‌شدن است و به خاطر وجود هوموفیلی، رسیدن به ایمنی جمعی می‌تواند کاملا غیرممکن باشد. در قسمت دوم این ارائه با معرفی یک مداخله غیردارویی به نام «رهگیری تماس» به عنوان روشی موثر و کم‌هزینه در کنترل شیوع بیماری‌ها، به کم و کیف اثربخشی این مداخله بر یک همه‌گیری پرداختیم.

🔗 مقاله‌ها

اسلایدها

سورپرایزهای ریاضی در مکانیک کوانتومی: در ستایش دقت ریاضی

«دقت ریاضی بسیار زیاد در فیزیک استفاده چندانی ندارد. اما کسی نباید از ریاضی‌دان‌ها در این باره اشکالی بگیرد […] آن‌ها دارند کار خودشان را انجام می‌دهند.»

– ریچارد فاینمن، ۱۹۵۶

از دید بسیاری از فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی (mathematical rigor) در اکثر اوقات برای جامعه فیزیک غیر‌ضروری بوده و حتی با کند کردن سرعت پیشرفت فیزیک می‌تواند برای آن مضر نیز باشد.

شاید بتوان دلیل فاینمن را برای بیان این نظر درک کرد؛ برای لحظه‌ای تصور کنید که فاینمن فرمالیسم انتگرال مسیر خود را به دلیل وجود نداشتن تعریف دقیق ریاضی از این انتگرال‌های واگرا (که تا به امروز نیز تعریف جامع و دقیقی از آن‌ها در دسترس نیست) معرفی نمی‌کرد و یا فیزیکدان‌ها به دلیل وجود نداشتن تعریف اصول موضوعه‌ای از نظریه میدان‌های کوانتومی، از آن استفاده نمی‌کردند! قطعا انتظار سطح یکسانی از دقت ریاضی در اثبات قضایای ریاضی و در نظریه‌های فیزیکی انتظاری بیش از حد سنگین و غیر عملی است اما، بر خلاف برداشت رایج در بین فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی همیشه به معنی جایگزین کردن استدلال‌های بدیهی اما غیر دقیق با اثبات‌های خسته کننده نیست. در بیشتر اوقات دقت ریاضی به معنی مشخص کردن تعریف‌های دقیق و واضح برای اجزای یک نظریه است به طوری که استدلال‌های منطبق بر شهود با قطعیت درست هم باشند! شاید بتوان این مطلب را در نقل قول زیر خلاصه کرد:

«دقت ریاضی پنجره‌ای را غبارروبی می‌کند که نور شهود از طریق آن به داخل می‌تابد.»

اِلیس کوپر

در فرمول‌‌بندی نظریه‌های‌ فیزیکی، بی‌توجهی به پیش‌فرض‌ها و ظرافت‌های ریاضی می‌تواند به سادگی به نتایجی در ظاهر متناقض بی‌انجامد که در بسیاری از موارد عجیب و حیرت‌انگیز به نظر می‌رسند. این مثال ساده از مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: برای ذره‌ای کوانتومی در یک بعد، عملگر‌های تکانه خطی P و مکان Q از رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ پیروی می‌کنند

حال با گرفتن رد (trace) از دو طرف این رابطه مشاهده می‌کنیم که رد طرف چپ این معادله با استفاده از خاصیت جا‌به‌جایی عمل ردگیری صفر می‌شود در حالی که رد سمت راست این معادله غیر صفر است! از آنجا که این رابطه یکی از بنیادین‌ترین روابط مکانیک کوانتومی است و بسیاری از مفاهیم عمیق فیزیکی مکانیک کوانتوم نظیر اصل عدم قطعیت از آن نتیجه می‌شود، این نتیجه (به ظاهر) متناقض حیرت انگیز به نظر می‌رسد! برای پیدا کردن مشکل بیاید نگاه دقیق‌تری به رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ و دامنه اعتبار تعریف عمل ردگیری بی‌اندازیم: فرض کنید رابطه جا‌به‌جایی بالا برای دو عملگر P و Q، که روی فضای هیلبرت H با بعد متناهی n تعریف می‌شوند، برقرار باشد. در این صورت، عملگرهای P و Q با ماتریس‌های n*n مختلط داده خواهند شد و عمل ردگیری از آن‌ها خوش‌تعریف است. بنابرین، نتیجه متناقض

نشان می‌دهد که رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ نمی‌تواند روی فضاهای هیلبرت با بعد متناهی برقرار باشد. در نتیجه مکانیک کوانتومی باید روی‌ فضای هیلبرت با بعد نامتناهی (اما شمارا) تعریف شود: روی چنین فضاهایی عمل ردگیری برای تمام عملگرها خوش‌تعریف نبوده (به طور مشخص رد عملگر واحد روی این فضاها تعریف نشده است) و نمی‌توان تناقض بالا را روی این دسته از فضاها نتیجه‌گیری کرد! با تعمیم تناقض بالا به فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی حتی می‌توان نتیجه قوی‌تری نیز درباره عملگرهای تکانه و مکان گرفت ــ حداقل یکی از این عملگرها باید بی‌کران (unbounded) باشد؛ این بدان معنی است که مقادیر ویژه کران‌دار نبوده و این عملگر روی تمام فضای هیلبرت خوش‌تعریف نخواهد بود! این نتیجه خود به آن معنی است که نه عملگرهای خلق و فنا و نه عملگر هامیلتونی (انرژی) روی تمام حالات فضای هیلبرت نوسانگر هماهنگ خوش‌تعریف نیستند (هر چند می‌توان بستار این عملگرها را روی کل فضای هیلبرت تعریف نمود). هر کدام از این نتایج خود منجر به نتیجه‌گیری‌های شگفت‌انگیز دیگری می‌شوند که ما را مجبور می‌سازند در تعریف بسیاری از مفاهیم به نظر بدیهی تجدید نظر کنیم: برای مثال، در فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی و در حالتی که تمام عملگر‌های فیزیکی کران‌دار باشند، می‌توان حالتی را متصور شد که فضا هیلبرت شامل هیچ حالت غیر درهمتنیده‌ای بین دو ‍‍‍‍«زیر سیستم» نباشد و در نتیجه نتوان آن را به صورت ضرب تانسوری دو فضای هیلبرت متعلق به هر زیر سیستم نوشت! این مسئله نیاز به تعریف دقیق‌تری از مفهوم «زیر سیستم» در نظریه میدان‌های کوانتومی و تعمیم‌های آن (مانند نظریه گرانش کوانتومی) را نشان می‌دهد که خود می‌تواند به حل شدن بخشی از تناقض‌های عمیق‌تر مانند مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها منجر شود! توجه کنید که دقت به دامنه اعتبار رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ به نوبه خود چگونه می‌تواند ما را در درک بهتر درهمتنیدگی در نظریه میدان‌های کوانتومی و سوالاتی عمیق‌تر از جمله ساختار علی فضا و زمان و یا مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها یاری کند! مثال‌هایی از این دست در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان‌های کوانتومی به فراوانی یافت می‌شوند که چند مثال دیگر و توضیح مفصل در مورد چگونگی حل آن‌ها را می‌توانید در مقاله آموزشی (و بسیار هیجان‌انگیز) زیر پیدا کنید:

Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics

François Gieres 2000 Rep. Prog. Phys. 63 1893

By a series of simple examples, we illustrate how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics. The basic mathematical notions allowing for a precise formulation of the theory are then summarized and it is shown how they lead to an elucidation and deeper understanding of the aforementioned problems. After stressing the equivalence between wave mechanics and the other formulations of quantum mechanics, i.e. matrix mechanics and Dirac’s abstract Hilbert space formulation, we devote the second part of our paper to the latter approach: we discuss the problems and shortcomings of this formalism as well as those of the bra and ket notation introduced by Dirac in this context. In conclusion, we indicate how all of these problems can be solved or at least avoided.

ایده‌ها از آسمان نمی‌آیند!

سال‌ها پیش در یک کنفرانس فیزیک، موقع شام متوجه شدم کنار سوبرامانیان چاندراسخار، برندهٔ جایزهٔ نوبل، نشسته‌ام؛ کسی که به خاطر خلاقیتش برای فیزیکدان‌های نسل ما جایگاهی اسطوره‌ای داشت. در آن زمان، چاندرا پیرمرد خونگرم و کم‌حرفی بود. در میان غذا خوردن، به من نگاه کرد و گفت: «می‌دونی کارلو، برای این‌که درست حسابی به فیزیک بپردازی …»  چشمانم درشت شد و  در انتظار [شنیدن] گوهری گرانبها و خردمندانه خشکم زد. «… برای این‌که درست حسابی به فیزیک بپردازی، چیزی که بیش از همه نیازه، خیلی باهوش بودن نیست.» شنیدن این ایده از دانشمند برجسته‌ای که حد بالای جرم ستارگان را فهمیده بود و نظریه ریاضیاتی سیاه‌چاله‌ها را توسعه داده بود، نامعقول به نظر می‌رسید. اما آنچه در ادامه در جمع‌بندی گفت ابهام را برطرف کرد: «اون‌چه بیشتر از هر چیزی مهمه زیاد سخت کار کردنه.»

هر بار که به نمونه‌ای از افسانهٔ «خلاقیت ناب» یا «تخیل بی حد و مرز» برمی‌خورم، کلمات چاندراسخار به یادم می‌آید. شنیده‌ام که برخی گفته‌اند برای ساختن چیز جدیدی کافی است  قواعد را زیر پا بگذارید و خود را از بار سنگین گذشته رها کنید. گمان نمی‌کنم خلاقیت در علم چنین باشد. آینشتین یک روز صبح از خواب بیدار نشده و یک‌باره به این فکر افتاده باشد که چیزی سریع‌تر از نور وجود ندارد. ایدهٔ چرخش زمین به دور خورشید هم خیلی ساده به ذهن کوپرنیک نرسیده. همین‌طور ایدهٔ فرگشت گونه‌‌ها به ذهن داروین. ایده‌های جدید یک‌باره از آسمان نمی‌آیند.

«برای این‌که درست حسابی به فیزیک بپردازی، چیزی که بیش از همه نیاز است، خیلی باهوش بودن نیست. آن‌چه بیش از هر چیزی مهم است، بسیار سخت کار کردن است.» چاندراسخار

ایده‌ها از عمیق شدن در دانشِ معاصر پدید می‌آیند؛ از شدیدا از آنِ خود کردن آن دانش، تا رسیدن به نقطه‌ای که غرقه در آن زندگی کنید. از مرتب به سمت سؤال‌های باز رفتن و آزمودن همه راه‌های رسیدن به پاسخ و بعد دوباره آزمودن همه راه‌های رسیدن به پاسخ و بعد باز هم آزمودن همه راه‌های رسیدن به پاسخ! تا این‌که در جایی که کمتر انتظارش را داشتیم، شکافی، شیاری، گذرگاهی کشف کنیم. چیزی که پیش‌تر کسی متوجه آن نشده بوده و در عین حال در تضاد با آنچه می‌دانیم هم نیست؛ چیز خیلی کوچکی که به واسطه آن اعمال نفوذ کنیم، لبهٔ هموار و نامطمئن نادانی غیرقابل درکمان را بخراشیم و راه نفوذی به یک سرزمین جدید باز کنیم. این روشی است که بیشتر ذهن‌های خلاق در علم انجامش داده‌اند و امروزه هم هزاران پژوهشگر برای پیشبرد دانش ما در حال انجامش هستند.

کوپرنیک، با جزئیات کامل با کتاب قدیمی بطلمیوس (المجسطی) آشنا بود و در لابه‌لای آن، شکل جدید جهان را دید. کپلر سال‌ها مشغول سر و کله زدن با داده‌هایی بود که پیش از او تیکو براههِٔ ستاره‌شناس جمع‌آوری کرده بود، قبل از آن که مدارهای بیضی‌شکل که کلید درک منظومهٔ شمسی را فراهم کردند را از میان آن داده‌ها رمزگشایی کند.

دانش جدید از دانش امروزی پدید می‌آید چرا که  درون آن، تضاد، تنش‌های حل‌نشده، جزئیاتی که منطقی نیستند و شکاف‌ وجود دارد. تطبیق کامل نظریه الکترومغناطیس با مکانیک نیوتونی دشوار بود و این فرصتی را برای آینشتین فراهم کرد. مسیرهای زیبای بیضی‌شکل سیاره‌ها که کپلر کشف کرده بود را نمی‌شد با سهمی‌هایی که گالیله محاسبه کرده بود تطبیق داد و این کلید پیش‌بردن را به نیوتون داد. طیف‌های اتمی که سال‌ها اندازه‌گیری شده بودند با مکانیک کلاسیک سازگار نبود و این موضوع، هایزنبرگ را به شدت برانگیخت. تنش‌های درونی بین یک نظریه و نظریه دیگر، بین داده و نظریه‌، بین اجزای مختلف دانش ما، تنش‌های به‌ظاهر حل‌ناپذیری را ایجاد می‌کنند که از آن‌ها چیزهای جدید سرچشمه می‌گیرند. آن چیز جدید قواعد قدیمی را می‌شکند، اما با هدف حل تضادها نه برای شکستن قواعد به خودی خود.

افلاطون در متن عظیم نامهٔ هفتم خود فرایند کسب دانش را چنین شرح می‌دهد:

پس از تلاش‌های زیاد، هنگامی که نام‌ها، تعاریف‌، مشاهده‌ها و دیگر داده‌های حسی گرد هم می‌آیند، کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و با جزئیات تمام با هم مقایسه می‌شوند،‌ در طی یک بررسی موشکافانه و آزمونی آرام ولی سختگیرانه، برای هر جور مسأله‌ای، در پایان ناگهان نوری (درک ما) پدیدار می‌شود و همین‌طور وضوحی ازهوش که اثرات آن گویای محدودیت‌های توان بشر است.

وضوح هوش … اما فقط پس از تلاش‌های فراوان!

دو هزار و چهارصد سال بعد، آلن کن، یکی از بزرگترین ریاضی‌دانان حال حاضر، در عبارات زیر کشف آنچه که کسی را ریاضیدان می‌کند را توضیح می‌دهد:

کسی مطالعه می‌کند، مطالعه را ادامه می‌دهد، همچنان مطالعه می‌کند، سپس یک روز، در میان مطالعه، حس غریبی ایجاد می‌شود: اما این نمی‌تونه باشه، نمی‌تونه اینطوری باشه. یه چیزی هست که درست از آب درنمیاد. در آن لحظه، شما یک دانشمند هستید.


متن بالا ترجمه‌ جستاری از کارلو روولی فیزیک‌دان ایتالیایی است. او عمدتا در زمینه گرانش کوانتومی کار می‌کند و بنیان‌گذار نظریه گرانش کوانتومی حلقه است. اصل این نوشته اخیرا در کتابی با عنوان There Are Places in the World Where Rules Are Less Important Than Kindness منتشر شده است.

انتروپی

انتروپی یکی از سهل ممتنع‌ترین مفاهیم فیزیکه. همه فکر می‌کنند که می‌دونند چیه و همه هم‌زمان درست نمی‌دونند که چیه! مسئله انتروپی و پیکان زمان هنوز جزو مسائل حل نشده در فیزیکه. قانون دوم ترمودینامیک ارتباط تنگاتنگی با این مفهوم داره و از قضا این قانون، جای پای خیلی محکمی توی فیزیک داره. برای همین انتظار می‌ره که بدونیم انتروپی چیه، نه؟! بعضی‌ها به اشتباه قانون دوم رو تفسیر به زیاد شدن بی‌نظمی می‌کنن که لزوما درست نیست.

انتروپی یک کمیت قابل اندازه‌گیری و یک متغیر جفت‌شده (همیوغ) برای دما در ترمودینامیکه. از طرف دیگه، به واسطه توسعه مکانیک آماری، تعریف‌های جدیدتر با فرمول‌بندی‌هایی بر اساس توزیع‌های آماری برای بیان انتروپی یک سامانه بر اساس حالت‌هایی که می‌تونه داشته باشه ارائه شده. وصل کردن فیزیک آماری به نظریه اطلاعات معمولا با کارهای جینز شناخته میشه. اما از لحاظ مفهومی و فلسفه علمی، آزمایش فکری شیطانک مکسول برای اولین بار این درک رو ایجاد کرد که اطلاعات یک کمیت فیزیکیه.

Leonard Susskind, Statistical Mechanics (Spring, 2013), Lec. 7: Entropy vs. reversibility
Leonard Susskind

I will try to explain the second law to the best of my ability. There should be lots of questions which I will try to answer. I know a little bit about the second law; it may be two or three people in the world who know more, but I’ve never met any, so we’ll talk a little about the second law [and] what it means

Leonard Susskind, Statistical Mechanics (Spring, 2013), Lec. 7: Entropy vs. reversibility

دنبال کردن تغییرات انتروپی به صورت نظری یا تجربی در فیزیک تعادلی و غیرتعادلی متفاوته. برخلاف انتظار ما، اندازه‌گیری تغییرات انتروپی در تعادل می‌تونه کار خیلی سختی در آزمایشگاه باشه. در فیزیک دور از تعادل، روابط افت‌وخیز چارچوب به نسبت معقولی برای مطالعه انتروپی به ما میده.

انتروپی برای همگردی (ensemble) از چیزها معنی داره. انتروپی یک مولکول چندان چیز معنا داری نیست، بلکه انتروپی‌حالت‌هایی که یک مولکول می‌تونه داشته باشه عبارت معنی داریه. با نگاه کردن به فرمول شنون هم خیلی راحت میشه دید که برای یک توزیع خاص میشه انتروپی تعریف کرد. مثال دیگه، که یک مثال فیزیکی نیست، صحبت کردن در مورد انتروپی شبکه‌های پیچیده است. انتروپی یک شبکه می‌تونه منجر به گمراهی مخاطب بشه. چون مشخص نیست که این انتروپی به توزیع درجه اون شبکه برمی‌گرده یا همگردی از گراف‌ها یا چی!؟ مثلا قاعده انتروپی بیشینه برای همگردی از گراف‌ها با چگالی یال ثابت منجر به مدل اردوش رنیی میشه. این مدل، شبکه‌ای با توزیع درجه پواسونی میده که اون توزیع، توزیع بیشترین انتروپی نیست!

نکته بعدی اینه که انتروپی یک کمیت فردیه (subjective) به این معنا که ربطی به قوانین بنیادی طبیعت و برهمکنش ذرات با هم نداره. معمولا کسایی که بعد از گذروندن درس مکانیک کلاسیک وارد درس مکانیک آماری تعادلی میشن با این سوال رو به رو میشن که طبق تعریف، لگاریتم حجم فضای فاز (در یک انرژی خاص) برابر با انتروپیه. از طرف دیگه قضیه لیوویل می‌گه که برای یک سامانه طی زمان، هندسه فضای فاز عوض میشه ولی حجمش نه! پس یعنی انتروپی ثابت می‌مونه! آیا این مشکلی داره؟! اول اینکه قانون دوم ترمودینامیک میگه که انتروپی یک سامانه بسته در حد ترمودینامیکی تقریبا هیچ‌موقع کم نمیشه، یعنی $\mathrm{d}s$ یا صفره یا مثبت. پس کی $\mathrm{d}s>0$ هست؟ ایده اصلی اینه که انتروپی یک کمیت وابسته به سامانه و ناظره. در واقع انتروپی رو طی فرایند درشت‌-دانه‌‌بندی اندازه‌گیری می‌کنیم و این ما (ناظر) هستیم که انتروپی رو زیاد می‌کنیم!

خلاصه خیلی مهمه که در چه شرایطی و برای چه سامانه‌ای (اندازه و نوع برهمکنش‌ها) داریم صحبت می‌کنیم. انتروپی می‌تونه خیلی خیلی موضوع ظریفی باشه خصوصا وقتی که دور از تعادل هستیم. در سامانه‌های کوچیک مثلا انتروپی می‌تونه کم یا زیاد بشه. برای دونستن بیشتر به اینجا و اینجا نگاه کنید.

برای مطالعه بیشتر:

جایزه چرخ برای بهترین وبسایت علمی

سیتپـــــور برنده جایزه چرخ برای بهترین وبسایت علمی سال ۱۴۰۰ شد. جایزۀ چرخ، جایزه‌ای برای بزرگداشت و سپاسگزاری از چهره‌های علم و فناوری در ایران هست. این جایزه تقدیم می‌شود به تیم نویسندگان سیتپور برای سال‌ها تلاش برای روایتگری در علم.

برای جزئیات بیشتر این ویدیو رو ببینید:

در مورد جایزه چرخ، زبان فارسی و وبلاگ‌نویسی علمی

در مورد روایتگری در علم و وبلاگ‌نویسی بیشتر بخوانید: