نویسنده: کیوان سامانی

---

بهتر است مراقب مفاهیمی چون نبوغ و الهام باشید؛ این‌ها مانند عصای جادویی هستند و باید با احتیاط و به میزان اندک توسط افرادی که می‌خواهند به درکی روشن از امور دست یابند، به کار گرفته شوند.

خوزه اورتگا یی گاست، «یادداشت‌هایی دربارهٔ رمان»

---

آیا برای ریاضی ورزیدن باید نابغه بود؟

پاسخ یک نهٔ قاطع است. برای مشارکت خوب و مفید در ریاضیات آدم باید سخت کار کند، مطالب رشتهٔ خودش را خوب فرا بگیرد، با رشته‌ها و ابزارهای دیگر آشنا شود، سؤال بپرسد، با ریاضی‌دان‌های دیگر صحبت کند و دربارهٔ «چشم‌انداز کلی» فکر کند. و بله، مقدار مناسبی هوش، شکیبایی و پختگی هم لازم است. ولی هیچ‌کس به نوعی «ژن نبوغ» جادویی نیاز ندارد، که خودبه‌خود و از هیچ، بینش عمیق، راه‌حل‌های غیرمنتظره یا توانایی‌های فوق‌طبیعی دیگر بیافریند.

تصویر معمول نابغهٔ تنها (و احتمالاً کمی خُل) –که نوشتارگان (منابع) و خرد متعارف را نادیده می‌گیرد و موفق می‌شود با استفاده از نوعی الهام غیرقابل‌توضیح (که احتمالاً با ریاضت‌های فراوان تقویت شده) به یک راه‌حل بدیع نفس‌گیر برای مسئله‌ای دست یابد که همهٔ متخصصان مغلوبش شده بودند — تصویری فریبنده و رمانتیک اما درعین‌حال به‌شدت نادرست است، دست‌کم در دنیای ریاضیات مدرن. البته نتایج و بینش‌های چشم‌گیر، عمیق و قابل‌توجهی در این رشته وجود دارد، ولی این‌ها دستاوردهای به‌سختی به دست آمده و انباشته‌ شده سال‌ها، دهه‌ها و حتی قرن‌ها کار و پیشرفت بی‌وقفهٔ تعداد زیادی ریاضی‌دان خوب و بزرگ است. عبور از یک مرحله از درک به مرحلهٔ بعدی می‌تواند بسیار غیربدیهی و گاهی غیرمنتظره باشد اما همچنان بر کارهای قبلی استوار است، نه‌این‌که از یک جای کاملاً جدید شروع شود. (مثلاً کارهای وایلز روی قضیه آخر فرما یا کارهای پرلمان روی حدس پوانکاره از این نوع است).

البته، حتی اگر مفهوم نبوغ را کنار بگذاریم، باز هم همیشه ریاضی‌دان‌هایی پیدا می‌شوند که سریع‌تر، باتجربه‌تر، مطلع‌تر، کارآمدتر، دقیق‌تر یا خلاق‌تر از دیگران باشند. با این‌ همه، معنایش این نیست که فقط «بهترین» ریاضی‌دان‌ها باید ریاضی بورزند؛ این خطای رایجِ اشتباه گرفتن مزیت مطلق با مزیت نسبی است. تعداد حوزه‌های پژوهش و مسئله‌های جالب برای کار کردن در ریاضیات فراوان است — بسیار بیشتر از آن که فقط بهترین ریاضی‌دان‌ها بتوانند همهٔ آن‌ها را انجام دهند — و گاهی مجموعهٔ ابزارها و ایده‌هایی که شما دارید به چیزی می‌انجامد که از دید ریاضی‌دان‌های خوب دیگر پنهان مانده است، به‌خصوص که حتی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان‌ها هم در برخی جنبه‌های پژوهش ریاضی ضعف‌هایی دارند.

همچنین خوب است به یاد داشته باشید که ریاضیاتِ حرفه‌ای ورزش نیست (کاملاً برخلاف مسابقات ریاضی). هدف اصلی در ریاضیات دست‌یابی به بالاترین رتبه، بالاترین «امتیاز» یا بیشترین تعداد جوایز نیست؛ بلکه افزایش درک ریاضی (هم برای خودتان و هم برای همکاران و دانشجویانتان)، و مشارکت در توسعه و کاربردهای آن است. برای این کارها، ریاضیات به همهٔ آدم‌های خوبی که بتواند پیدا کند نیاز دارد.

برای بیشتر خواندن

“How to be a genius,” David Dobbs, New Scientist, 15 September 2006. [Thanks to Samir Chomsky for this link.]

“The mundanity of excellence,” Daniel Chambliss, Sociological Theory, Vol. 7, No. 1, (Spring, 1989), 70-86. [Thanks to John Baez for this link.]

 نمی‌دانم؛ باور کن!

این پرسشی بود که در یک پست لینکدین جلب توجه می‌کرد. در همین پست ارجاعی به پاسخ یک فیزیکدان به این پرسش هم بود. در این پاسخ سعی شده با استفاده از مفاهیم مکانیک کوانتمی ایده‌ای برای اثبات این که چیزی را نمی‌دانید ارائه شود. اگرچه پاسخ ارائه‌شده مربوط به یک حالت بسیار خاص است و چندان هم روشن نیست ولی اصل ایده، یعنی استفاده از مکانیک کوانتمی برای پاسخ به چنین پرسشی، به‌اندازه‌ کافی جذاب است.

واقعاً چطور می‌توانید ثابت کنید که چیزی را نمی‌دانید؟ این که بگویید نمی‌دانم کافی نیست. از کجا معلوم که راست بگویید یا قصد پنهان‌کاری نداشته باشید؟ البته این «نمی‌دانم» همیشه یک معنا ندارد یا دست‌کم اثر یکسانی روی شنونده نمی‌گذارد. مثلاً به گزاره‌‌های زیر توجه کنید:

• من نمی‌دانم دو ضرب‌در دو می‌شود چهار یا نه
• من نمی‌دانم که آیا هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت یا نه.¹
• من نمی‌دانم رئیس‌جمهور بعدی ایران چه کسی خواهد بود.

در گزارهٔ اول به احتمال زیاد گوینده راست نمی‌گوید و در گزارهٔ سوم به احتمال زیاد راست می‌گوید. گزارهٔ دوم شاید نیاز به بررسی بیشتری داشته باشد. کمی که بیشتر فکر کنید می‌بینید که نه‌تنها اثبات ندانستن، که اثبات دانستن هم چندان ساده نیست. مثلا اگر کسی به شما بگوید من می‌دانم که دو ضرب‌‌در دو می‌شود چهار از کجا می‌توانید مطمئن شوید که راست می‌گوید؟به‌عبارت‌دیگر از کجا می‌توانید مطمئن شوید که واقعاً «می‌داند» که دو ضرب‌در دو می‌شود چهار؟ شاید این گزاره را همان لحظه از کسی شنیده و به شما تحویل داده باشد.

یک مثال دیگر

فرض کنید امروز ریاضی‌دان الف به ریاضی‌دان ب بگوید: من می‌دانم که اگر$n$ یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۲ باشد، هیچ سه‌تایی $(x, y, z)$ ‌از عددهایی طبیعی وجود ندارد به‌طوری‌ که: $x^n+y^n=z^n$ (قضیهٔ آخر فرما). احتمالاً پاسخ ریاضی‌دان ب چیزی شبیه این خواهد بود: خب که چی؟! من هم این را می‌دانم. اما اگر زمان مکالمه پیش از سال ۱۹۹۴ بود، احتمالا ریاضی‌دان ب پاسخ می‌داد: واقعاً؟! ثابت کن!²

سؤال این است که وقتی ریاضی‌دان الف می‌گوید من می‌دانم که قضیهٔ آخر فرما درست است منظورش چیست؟ آیا واقعاً «می‌داند» یا صرفا به‌اتکای منابعی که آن‌ها را معتبر می‌داند درستی قضیه را می‌پذیرد؟ انگار کم‌کم داریم می‌رسیم به یک سؤال بنیادی‌تر!

اصلاً معنی دانستن چیست؟

کسی که تجربهٔ تصحیح برگه‌های امتحانی را داشته باشد می‌داند که گاهی درست بودن پاسخ یک سؤال در برگه‌ امتحان ربطی به بلد بودن (دانستن) پاسخ ندارد. گاهی کسی که فکر می‌کند چیزی را می‌داند فقط خیال می‌کند که می‌داند و درواقع نمی‌داند که نمی‌داند ولی شاید بتواند گزاره‌هایی سرهم کند که شما قانع شوید که می‌داند.

به یک نکتهٔ دیگر هم باید توجه کرد. این که شما مخاطبتان را قانع کنید که چیزی را می‌دانید یا نمی‌دانید با اثبات یک قضیه‌ ریاضی تفاوت دارد. یک قضیهٔ ریاضی که اثبات می‌شود، هر ریاضی‌دانی می‌تواند مراحل اثبات را بررسی کند و در نهایت درستی آن را بپذیرد. اما این که مخاطب شما بپذیرد که شما چیزی را می‌دانید یا نمی‌دانید، بیش از آن که نیاز به اثبات داشته باشد نیاز به نوعی توافق میان شما و مخاطب دارد. برای همین ممکن است یک مخاطب مجموعه‌ دلایل و شواهد شما را در تأیید دانستن یا ندانستن یک چیز قانع‌کننده بیابد ولی یک مخاطب دیگر استدلال شما را نپذیرد.

به نظر می‌رسد این که کسی بپذیرد که شما چیزی را می‌دانید نیازمند این است که دست‌کم در یک مرحله از فرایند پذیرش به یک چیزی (مثلا حرف شما یا مراجع شما یا صداقت شما) بدون دلیل اعتماد کند. خب، اگر اثبات دانستن نهایتاً به اعتماد وابسته است، چرا اثبات ندانستن به اعتماد متکی نباشد؟ آیا کافی نیست که وقتی کسی می‌گوید نمی‌دانم، به‌سادگی حرفش را باور کنیم؟ واقعیت این است که قضیه پیچیده‌تر از این حرف‌هاست.

پی‌نوشت‌ها:

۱) این که هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌شکل حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت به اسم حدس گلدباخ شناخته می‌شود. هنوز اثبات نشده است.

۲) اندرو وایلز ریاضی‌دان و استاد دانشگاه آکسفورد در سال ۱۹۹۴ قضیهٔ آخر فرما را اثبات کرد.