رفتن به نوشته‌ها

برچسب: گراف

ولفرم و پروژه فیزیک – قسمت دوم

در قسمت پیشین به تعریف فضا در مدل ولفرم پرداختیم و تکه آخر را که «زمان» باشد به این قسمت سپردیم. پازلی که پس از کامل شدن آن می‌توانیم به مدل‌سازی نسبیت خاص در «فضا-زمان» برسیم.

جالب این جاست که مفهوم «زمان» در مدل ولفرم از دل یک «زیر قالی نکردن» پدیدار می شود. شاید این زیر قالی مأمن امنی برای تمام مسائلی باشد که ترجیح می‌دهیم به آن‌ها فکر نکنیم. زیرا در رسیدن به مقصودمان مانع ایجاد می‌کنند اما این بار توجه ولفرم به یکی از آن‌ها باعث شده است تا مفهوم زمان را از دل آن بیرون بکشد.

«ظهور مسئله» – نقطه‌ای که علم از آن شروع می‌شود

شاید همه‌ی ما در محیط آموزشی خودمان، شبیه‌سازی نرم‌افزاری کرده‌ایم اما در حین این شبیه‌سازی با مساله‌ای مواجه شده‌ایم که آن را دانسته فرض کرده‌ایم و یا خیلی راحت از کنار آن گذشته‌ایم. به گزاره و قانون پیشین یاد شده در قسمت قبل دوباره توجه کنید. قانون تحول سامانه به این شرح است که دو یال را انتخاب و حذف می‌کنیم و یک مجموعه یال جدید جایگزین آن می‌کنیم. اما کدام دو یال؟! در مجموعه حاضر انتخاب‌های زیادی داریم و با انتخاب و تحول آن در مرحله بعد به یک گراف متمایز می‌رسیم. پس کدام دو یال را باید انتخاب کنیم؟

به شکل آشنای زیر دقت کنید در ابتدا با همان شرط اولیه و قانون یاد شده در قسمت پیشین شروع می‌کنیم اما با انتخاب جفت یال متفاوت مسیر تحول ما تغییر می‌کند. درخت زیر نشان می‌دهد که اگر در هر مرحله جفت یال متفاوتی را انتخاب کنیم چگونه گراف حاصل از دیگر مسیرها متفاوت می‌شوند.

شکل۱ – مسیرهای متفاوتی که برای تحول یک گراف می‌توانیم طی کنیم. تمام گراف‌های ردیف نهایی با شرط اولیه و قانون یکسانی به دست آمده‌اند اما تفاوت در انتخاب جفت یال‌هایی است که برای تحول و اعمال قانون انتخاب کرده‌ایم.

در چنین مواردی معمولا از این جزییات چشم پوشی می‌کنیم و بدون اثبات برای خود توجیه می سازیم که در بلند مدت این تفاوت‌ها اهمیت پیدا نمی‌کنند اما چگونه و چرا این فرض را در شبیه‌سازی می‌کنیم. بی‌تردید پاسخ به آن دشوار است و ما تلاش می‌کنیم جزییاتی که نتیجه‌گیری دل‌خواهمان را به خطر می‌اندازند نبینیم!

شاید یکی از دلایل توجه نکردن به جزییات ظریف ما ریشه در «عجله‌‌ برای نتیجه» داشته باشد. در دنیای آکادمیک امروز بسیار نتیجه‌گرا شده‌ایم. زیر بار فشار تمرین و مقاله که در مدت محدود باید تمام شوند؛ خیلی از این جزییات ظریف له می شوند. این بار کسی به این جزییات دقت کرده‌است که سال‌هاست با دنیای آکادمیک صنعتی خداحافظی کرده است. یعنی ولفرم!

سخن نویسنده

«تلاش برای حل مسئله» – ذکاوت پژوهشگر

شکل۲ – روند تحول یک رشته حروف – مربع‌های آبی حالت سامانه را پس از تحول نشان می‌دهند و مربع‌های زرد رنگ نحوه اعمال قانون تعیین شده.

بیایید کمی این مسئله را بسط دهیم. ما یک شرایط اولیه داریم که به کمک یک قانون آن را متحول می‌کنیم. برای سادگی بیایید از تحول یک سامانه باهم حرف بزنیم که از حروف تشکیل شده است. با حالت BBBAA شروع می‌شود و قانون تحول آن به گونه زیر است.

شرط اولیه: BBBAA قانون تحول: $ { BA \rightarrow AB } $

همان طور که می‌بینید مسیرهای متفاوتی را می‌توانیم برای تحول آن بپیماییم. سوال مهم اینجاست که اگر زمان را در مدل خود همگام با گام‌های متحول سازی سامانه در نظر بگیریم دیگر خط زمانی واحدی نخواهیم داشت و در تعریف زمان دچار مشکل می‌شویم. اگر چه تمایل زیادی داریم تا «زمان» را معادل سلسله تحولات درون شبیه‌سازی خود بگیریم اما مشکل بوجود آمده نقد بزرگی به این معادلسازی وارد می‌کند.

اما زیرکی که ولفرم به خرج می‌دهد تا از پس این مشکل برآید ستودنی است. به مربع‌های زرد رنگ درون شکل توجه کنید. این مربع‌ها «رخدادهایی» را توصیف می‌کنند که طی آن حالت سامانه از یک مربع آبی به مربع آبی دیگر تغییر می‌کند. این رخداد‌ها دارای خاصیت ترتیب هستند به این معنی که نوبت هر رخداد تنها زمانی فرا می‌رسد که رخداد قبلی آن اتفاق افتاده باشد. همچنین هر رخداد زمینه ساز رخدادهای بعد خود است. این ترتیب را با نام رابطه «علت و معلولی» می‌شناسیم. حال اگر هر علت را به معلول‌های مستقیم آن متصل کنیم می‌توانیم یک گراف جدید با نام «گراف روابط علّی» بسازیم.

شکل۳ -گراف توصیف کننده روابط علّی – در این گراف رخدادها با مربع زرد رنگ توصیف می‌شوند. هر رخداد که علت رخدادهای بعد از آن است با یال نارنجی رنگ متصل شده است.

حال نشان می‌دهیم که چگونه گراف جدید می‌تواند مشکل بوجود آمده در توافق نداشتن خطوط زمانی بر سر تحول یکپارچه سامانه را حل و از میان بردارد. به شکل بالا مجددا دقت کنید. این درخت ۵ مسیر متفاوت را برای سیر تحول یک سامانه که با حالت مثالی BBBAA شروع می‌شود؛ توصیف می‌کند. اگر هر پنج مسیر را به صورت مجزا دنبال کنید و رخدادهای زرد رنگ و روابط آن را یادداشت کنید به پنج شکل زیر می‌رسید. هر کدام از این اشکال رخدادهای لازم برای تحول در یکی از این پنج مسیر را شرح می‌دهند.

شکل۴ – پنج زیرگراف از «گراف روابط علّی» – هر کدام از این پنج‌تا رخدادهای مشاهده شده بر سر تحول سامانه در یکی از این پنج مسیر را نشان می‌دهند.

اگر به مجموعه پنج‌تایی بالا دقت کنیم؛ متوجه نکته ظریفی می‌شویم. هر پنج گراف جهت‌دار با هم «یکریخت» هستند. اگر چه برچسب‌های هر نقطه‌ی آنها باهم فرق دارد اما هر پنج‌تا یک نقطه دارند که دو یال خروجی و یک یال ورودی دارد که از سرچشمه‌ای نشئت گرفته می‌شود که خود دو یال خروجی داده است. این به این معنی است که اگر چه مسیر‌های متفاوتی را می‌توان برای تحول این سامانه به صورت محاسباتی پیمود اما همه‌ی آنها گراف علّی مشابه دارند.

به عبارت دیگر گراف علّی ما تحت مسیرهای متفاوت تحول «ناوردا» است. در واقع این خاصیت ناوردایی حاصل از نوع قانونی است که ما برای تحول انتخاب کرده ایم. قوانینی که این ناوردایی را در گراف علّی باعث می‌شوند، قوانین «casual invariance» یا «ناوردای عِلّی» می‌دانیم. این نوع از قانون، اختلاف بین تمام مسیرهای ممکن بین تحول گراف را به توافق می‌رساند و ما را در تعریف کردن مفهوم «زمان» یاری می‌کند.

حال که کلیدواژگان #رخداد، #علت‌ومعلول و #ناوردایی را باهم دیدیم. کلیدواژه #نسبیت کم‌کم در ذهن ما به درستی تداعی می‌شود. جایی که دقیقا می‌خواهیم با زبان این مدل محاسباتی وارد آن شویم.

«نسبیت خاص» – یک اتفاق خوش!

بیاید با یک مثال ساده شروع کنیم. فرض کنید مانند قبل قرار است با یک قانون ساده، سامانه خود را متحول کنیم. یک رشته کاملا نامرتب مانند زیر درنظر بگیرید که قرار است آن را مرتب کنیم. قانون تحول آن هم به این گونه $BA \rightarrow AB$ است. این یک رشته کاملا بهم ریخته است به همین دلیل رخدادها در تک‌تک نقاط آن اتفاق می‌افتند. استفاده از این مثال به ما این امکان را می‌دهد تا رخدادها را در تمام نقاط «فضا» ببینیم.

شکل۵ – تحول یک سامانه کاملا بهم ریخته – مربع‌های زرد تحولات سامانه را در هر نقطه نشانه گذاری می‌کنند.

شرط اولیه: BABABABABABABABABABA قانون تحول: $ { BA \rightarrow AB } $

فرض ‌کنید می‌خواهید قصه‌ی تحول این سامانه را برای یک شنونده روایت کنید. تا زمانی که شما ترتیب رخدادها را رعایت کرده باشید؛ بی‌تردید او به قصه‌ی شما گوش خواهد کرد و اعتراض نخواهد کرد . به این معنی که اگر ابتدا یک معلول را روایت کنید و سپس علت آن را؛ او گیج خواهد شد و روابط علّی را گم خواهد کرد.

یک روایت مثالی می‌تواند چنین باشد که از بالای گراف روابط علّی شروع می‌کنیم و به سمت پایین به ترتیب حرکت می‌کنیم. هر تعداد رخداد که می‌توانیم با رعایت ترتیب علت و معلول برای او همزمان بخوانیم را روایت کنیم. در شکل زیر، هر خط قرمز به ما نشان می‌دهد که در هر مرحله کدام رخدادها را برای شنونده بخوانیم.

شکل۶ – یک روایت مثالی – هر خط قرمز نشان می‌دهد که در هر گام زمانی کدام رخدادها را برای شنونده بخوانیم.

حال فرض کنید که شنونده‌ی دیگری داشته باشید که با سرعت ثابت حرکت کند. حرکت او باعث می‌شود تا قصه‌ای را که تعریف می‌کنید متفاوت از شنونده اول بشنود. هر چه رخدادی در فاصله ی دورتری از او باشد با تاخیر بیشتری به دست او خواهد رسید. همین نکته باعث می شود رخدادهایی را که پیش از این شنونده‌ی اول هم‌زمان دریافت می‌کرد، دیگر همزمان دریافت نکند. در واقع خطوط «هم‌زمانی» مشابه شکل تغییر کرده است.

شکل۷ – روایتی که شنونده‌ی دوم دریافت می‌کند

حرکت با سرعت ثابت نسبی است یا ما به دور جهان می‌گردیم یا جهان به دور ما!

در شکل بالا خطوط همزمانی را برای شنونده دوم رسم کردیم. اما شنونده‌ی دوم می‌تواند این طور فکر کند که این جهان است که به زیر پای او کشیده است و خودش ساکن بوده. او خود را شنونده‌ای مانند شنونده‌ی اول فرض می‌کند. پس می‌توانیم از او بخواهیم که برای ما داستانی را که شنیده است برایمان مجددا تعریف کند!

حال بیاید روایت او را از قصه‌ای که شنیده است بازسازی کنیم. برای این کار نیاز به یک تبدیل هندسی داریم. تبدیل هندسی‌ای که تمام فضای موجود در شکل بالا را به گونه‌ای تبدیل کند که خطوط مورب همزمانی شنونده دوم به حالت افقی درآیند. همچنین ترتیب روابط علی در گراف ما حفظ شود. آن تبدیل با دو شرط یاد شده، به صورت یکتا به قرار زیر درمی‌آید:

$ (t, x) \rightarrow (\frac{t – \beta x}{\sqrt{1-\beta^2}}, \frac{x – \beta t}{\sqrt{1-\beta^2}}) $

شکل۸ – روایتی که شنونده دوم از قصه‌ای که روایت شده بازگو می‌کند. – این شکل درواقع با استفاده از تبدیل هندسی شکل پیشین بدست می‌آید.

تبدیل یاد شده را با نام تبدیلات لورنتس می‌شناسیم. این تبدیلات به ما کمک می‌کنند تا دو روایت دو شنونده در حال حرکت را به یکدیگر تبدیل کنیم. همان طور که در شکل ۸ می‌بینیم شنونده‌ی دوم رخدادهای سمت چپ رشته حروف را زودتر از سمت راست می‌شنود. زیرا شنونده در حال حرکت است و خبر رخدادهای سمت راست زمان بیشتری را برای رسیدن به شنونده نیاز دارند.

شکل ۹ – رخدادهایی که شنونده‌ی در حال حرکت از تحول سامانه شنیده است. توجه کنیم که او نیز در حالت نهایی سامانه را مانند شنونده‌ی ساکن می‌بیند.

حال که روایت شنونده‌ی دوم را بازسازی کردیم می‌توانیم گراف علّی بدست آمده در شکل ۸ را روی صفحه‌ی رخدادها بنشانیم و به ترتیب بخوانیم که شنونده‌ی دوم چگونه تحول سامانه را شنیده‌است.شکل ۹

همان طور که می‌بینید اگر چه شنیدن رخدادها کمی دیر و زود شده است اما هر دو شنونده در نهایت یک تغییر را برای رشته خواهند شنید. رشته حروف برای هر دو به حالت …AAABBB… خواهد رسید. این نتیجه می‌تواند با یکی از اصول نسبیت خاص انشتین معادل سازی شود. او در یکی از اصول خود ناوردایی «فیزیک» را در چارچوب‌های ناظرهای مختلف اشاره کرده بود.

همچنین قابل توجه است که می‌توانیم «اتساع زمانی» را توسط این مدل توضیح دهیم. دو رخداد از دو ردیف متوالی از شکل ۷ را در نظر بگیرید. در روایت دوم در شکل ۸ فاصله‌ی دو ردیف کمی کش آماده است. به این معنی که شنونده‌ی دوم فاصله‌ی زمانی بین آن دو رخداد را طولانی‌تر رصد می‌کند.

به این ترتیب به کمک مدل ولفرم توانستیم یکبار دیگر نسبیت خاص ونتایج آن را از نو بدست آوریم. قابل تقدیر است که این مدل در ادامه فراتر می‌رود و حتی به دنیای گرانش و کوانتوم مکانیک نیز پا می‌گذارد. برای مطالعه بیشتر در مورد این مدل می‌توانید به صفحه‌ی پروژه‌ی فیزیک ولفرم پا بگذارید. او یک کتاب الکترونیکی مصوّر را برای شرح تمامی جنبه‌های مدل خود نوشته است.

در پایان با ذکر نکته‌ای کوتاه به این دو قسمت پایان می‌دهم. شاید در حین نوشتن این مقاله بسیار به نام ولفرم اشاره کردم و تصور می‌کنم که ناخودآگاه از او بتی را وصف کرده‌ام. اما باید اینجا اشاره کنم که ولفرم نام یک گروه است و تمام این پژوهش‌ها برآمده از یک تلاش گروهی بوده است کاری که امروزه در محیط دانشگاهی خودمان کمتر به آن پرداخته‌ایم.

ولفرم و پروژه فیزیک – قسمت اول

در قسمت پیشین گوشه‌ای از خلاقیت‌های ولفرم را باهم مرور کردیم. قصد دارم در این قسمت و قسمت‌های پیش رو کمی در مورد تلاش‌های او در فیزیک بنیادی برایتان بنویسم.

شاید برایتان کمی عجیب بنظر برسد اما برای یک فیزیکدان بنیادی نه مطالعه انسان مهم است نه حتی اجسامی کوچک مانند کره‌ی زمین! برای او تمام این مواد (matter) صرفا یک اختلال کوچک در فضا هستند. خرده کوچک‌هایی که در دامن فضا ریخته شده‌اند. الفبای یک فیزیکدان بنیادی با «بیگ‌بنگ» شروع می‌شود؛ «مِه‌بانگ» (یا همان انفجار بزرگ) که عالم از آن پدید آمد. پیش زمینه و علاقه بی‌چون و چرای فیزیک‌پیشه‌ای چون ولفرم، باعث شده است تا او مدل خود را با مدل اسباب بازی‌گونه نقطه و خط (یا همان گراف) شروع کند. فرض کنید جهان شما در ابتدا با سه نقطه و دو خط آغاز شده است و سپس با یک قانون ساده هر بار یک رأس جدید متولد می‌شود.

توصیف رشد و گسترش یک عالم مثالی به کمک یک قانون ساده

قانون عالم مثالی در تصویر بالا به گونه زیر است.

دو یال خارج شده از یک راس x مانند {x,y} و {x,z} را در گراف پیدا کنید سپس آن دو را حذف کرده و با معرفی یک راس جدید مانند w چهار یال جدید {x,z}، {x, w}، {y, w} و {z, w} را جایگزین کنید.

به این ترتیب گراف ما یک مرحله رشد می‌کند. سپس با به کارگرفتن دوباره و دوباره‌ی این قانون می‌توانیم به گرافی با اندازه‌ی بزرگ‌تر در مراحل بعدی برسیم.

این شکل مراحل یک فضای یک عالم را با اعمال چند باره یک قانون مثالی نشان می‌دهد.

دقت کنیم که گراف خلق شده در بالا نتیجه‌ای است از قانون و شرایط اولیه یاد شده. حال اگر قانون یا شرایط اولیه را عوض کنیم قابل پیش بینی است که نتیجه نهایی گراف متفاوت خواهد شد و شکل دیگری پیدا خواهد کرد. به آلبوم زیر نگاهی بیاندازید این سری خروجی‌هایی هستند که هر کدام با قانون ساده خودشان پس از هزار گام رشد به تصویر کشیده شده‌اند.

آلبوم نتیجه‌ی رشد عالم‌های مثالی متفاوت که با قوانین متفاوتی رشد پیدا کرده‌اند.

هیجان انگیزترین اتفاق آن است که بتوانیم شرایط اولیه و قانون ساده عالم خود را پیدا کنیم تا بتوانیم رشد آن را به طور کامل بازسازی و پیش بینی کنیم. پیدا شدن آن درواقع اتفاقی نزدیک به کشف کردن نظریه‌ای در مورد همه چیز است! اما همان طور که حافظ می‌گوید زلف پریشان یار جمع کردن کار هر مدعی نباشد! پیدا کردن شکل جهان خودمان از میان این آلبوم بسیار دشوار است. زیرا همان طور که می‌بیند هر گراف پس از هزار گام کاملا متفاوت از حالت اولیه خود است و حال آن که می‌دانیم در حدود ۱۰۱۸ ثانیه از شروع عالم ما می‌گذرد. پس تا کنون هندسه فضایی عالم ما بسیار متفاوت از حالت ابتدایی خود شده است.

ولفرم خلاقیت جالبی را برای حل این مسئله به کار می‌گیرد. انتخاب عالم صحیح میان این انبوه بسیار دشوار است اما می‌توانیم بگوییم کدام یک عالم ما نیست! او برای این که انتخاب درستی کند به دو نکته در عالم خودمان اشاره می‌کند و گزینه‌هایی که این دو نکته را ندارند کنار می‌زند. ۱.تعداد «بُعد» عالم ما و ۲. «خمیدگی فضایی» آن.

«بعد»

ابتدایی‌ترین نکته‌ای که در مورد عالم خود می‌دانیم آن است که سه «بعد» فضایی دارد. سه بعدی که قابل تقلیل نیستند. زیرا برای توصیف اکثر پدیده‌های فیزیکی به هر سه بعد نیاز داریم. با دانستن این نکته آلبوم عالم‌ها را ورق می‌زنیم.

اگر چه همه تصاویر آلبوم در سه بعد ترسیم شد‌ه‌اند اما برخی از آنها قابلیت آن را دارند که روی کاغذ چسبانده شوند و به دو بعد تقلیل یابند. پس مطمئنا عالم ما را توصیف نمی‌کنند. اگر با بعد فراکتالی آشنایی داشته باشید می‌دانید که حتی بعد اعشاری هم مانند ۲.۵ بعد موجود است. و آن عوالم هم عالم ما را توصیف نمی‌کنند. بگذارید کمی در مورد اندازه‌گیری بعد برایتان توضیح دهم.

اندازه‌گیری بعد به کمک پیمایش و شمارش نقاط همسایه به فاصله مشخص

فرض کنید شما روی یک کاغذ مشبک زندگی می‌کنید و سر جای خود ایستاده‌اید. از کسی بخواهید در جهت‌های مختلف به فاصله‌ی r از شما دور شود و نقاطی که سر راه می‌بیند را علامت زند. او تنها می‌تواند در حدود πr۲ نقطه را رنگ‌آمیزی کند. این در حالی است که اگر در کره زندگی می‌کردید این تعداد ۴πr۳/۳ می‌بود. پس بسته به این که در چه عالمی با چه بعدی زندگی می‌کنید توان r تغییر می‌کند. جالب است همان طور که گفتیم این توان می‌تواند برای اشکالی عدد اعشاری هم باشد مثل ۲.۵ یعنی نه آن طور است که بتوان روی کاغذ چسباند و نه هر سه بعد برای توصیف آن لازم است.

چنان که گفته شد می‌توانیم با محاسبه بعد هر شکل تکلیف آن را مشخص کنیم که آیا نامزد ما برای مدل عالم هست یا نیست. به این ترتیب یک قدم به ارائه مدلی که عالم ما را توصیف کند نزدیک‌تر می‌شویم.

«خمیدگی فضایی»

یکی از عجایب عالم ما «نور» است که همواره کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه در فضا را می‌پیماید. اگر یک کاغذ صاف را در نظر بگیرید و از یک نقطه آن نقطه دیگری را با نور هدف بگیرید همواره نور برای شما یک خط راست را پیمایش خواهد کرد. اما به محض اینکه کاغذ را کمی خم و مچاله می‌کنیم نور مسیر خود را تغییر می‌دهد زیرا دیگر کوتاه‌ترین مسیر خط ساده‌ی راست نیست.

پس چنان که گفتیم «خمیدگی» یکی از ویژگی‌های مهم هندسه فضای ماست که باعث می‌شود فیزیکی که از عالم خود می‌شناسیم را متاثر کند. چنان که می‌دانید توصیف این تاثیر را اولین بار انشتین در معادلات نسبیت عام خود مطرح کرد و خم شدن مسیر نور ستارگان را به واسطه حضور خورشید در سر راه آن‌ها به سمت ما، حدس زد. پس باید عالمی را انتخاب کنیم که خمیدگی فضایی آن توصیفی منطبق با فیزیکی که از عالم خود می‌شناسیم داشته باشد. حال چطور «خمیدگی» را برای اشکال خود محاسبه کنیم؟!

بیایید مانند یک فیزیکدان با حالتی ساده شروع کنیم. مثلا شکل خودمان را سطح یک کره بگیریم. مجموعه نقاط به فاصله‌ی مشخص را روی سطح دو بعدی این کره با رنگ قرمز علامت می‌زنیم. اگر این سطح کاملا تخت بود، اندازه‌ی این مجموعه رنگ شده باید برابر همان مساحت نام و آشنای πr۲ بدست می‌آمد اما به واسطه «خمیدگی» موجود در این کره اندازه‌ی آن از πr۲ فاصله گرفته است.

حصار متقارنی را روی سطح کره‌ی خود انتخاب کرده‌ایم و اندازه مجموعه نقاطی را که علامت زده‌ایم محاسبه می‌کنیم.

$$ \pi r^2 [ 1 – \frac{r^2}{12a^2} + \frac{r^4}{360 a^4} ] $$

محاسبه اندازه محدوده‌ی رنگ شده روی سطح کره

به همین ترتیب اندازه‌ی یک مجموعه توپی شکل d بعدی که اعضای آن از شبکه‌ی نقاط عالم گرفته شده است با رابطه زیر متناسب است.

$$ r^d [ 1 – \frac{r^2}{6(d+2)} R + … ] $$

محاسبه اندازه‌ی مجموعه رنگ شده در یک فضای d بعدی

در رابطه اخیر R مشخصه‌ای به نام ریچی (Ricci) است که برآمده از هندسه فضای شکلی است که برای مطالعه به دست گرفته‌ایم. همین کمیت در معادلات اینشتین هم ظاهر می‌شود. اما در آنجا کمیتی است که با توجه به شکل عالمی که در آن زندگی می‌کنیم پدید می‌آید. پس کافی است مجددا آلبوم اشکال متفاوت عالم‌ها را ورق بزنیم و آن‌هایی را نگه داریم که مشخصه ریچی آنها با معادلات نسبیت عام تطابق دارند.

به واسطه‌ی همین خلاقیت‌های کوچکی که ولفرم اتخاذ می‌کند کم‌کم شبیه‌ترین موجود به عالم خودمان را در مجموعه این گراف‌ها پیدا می‌کنیم. پس از پیدا کردن و شناختن آن، کم کم قوانین بنیادی فیزیک را از دل رفتار هندسی آن‌ها استخراج می‌کنیم. تا کنون ولفرم توانسته است معادلات نسبیت خاص و عام را به درستی درآورد.

در قسمت بعد در مورد زمان حرف می‌زنیم. تکه پازل مهمی که با قراردادن آن در کنار «فضا» می‌توانیم مدل ولفرم را از هندسه «فضا-زمان» شرح دهیم و سپس به ارائه مختصری از نسبیت خاص برآمده از این مدل می‌پردازیم.

این قسمت بریده‌ای بود از متن خود استفان ولفرم به این آدرس.

📺 پروژه فیزیک ولفرام

ولفرام ادعا کرده که فیزیک رو حل کرده! اصطلاحا به کمک اتوماتای سلولی نظریه همه چیز رو پیدا کرده! این ویدیو رو ببینید:

ولفرم و گراف اقلیدس

شاید تا به حال تجربه پیدا کردن مسیر در جنگلی تاریک را داشته باشید یا حداقل فرض کنید که در آن گیر کرده‌اید و تنها یک چراغ قوه برای پیدا کردن مسیر دارید. پیدا کردن مسیر و تلاش برای حل مسئله با پرسیدن و استدلال کردن همراه است. کجا بودیم؟ چقدر تا به حال مسیر آمده‌ایم؟ شیب زمین به کدام سمت است؟ خورشید در کدام سمت قرار دارد؟ و سعی می‌کنیم با استدلال‌های ریز و درشت به آن‌ها پاسخ دهیم.

این تلاش مشابهی است که پژوهشگران در جنگلی از اطلاعات و رخدادها به دنبال پیدا کردن پاسخ درست مسائل هستند. ریاضی‌دانان از ارتباط بین خطوط و اشکال تلاش می‌کنند تساوی دو پاره‌خط یا موازی بودن را نتیجه بگیرند. فیزیکدانان پس از مشاهده یک پدیده، با اندازه‌گیری و فرضیه سازی‌های مکرر تلاش می‌کنند آن را توصیف کنند. اما این بار استیون ولفرم فیزیکدان معاصر خلاقیت جالبی را برای حل مسائل پیشنهاد کرده‌است. او یک قدم عقب می‌ایستد و جنگل پیمایان را رصد می‌کند. برای او پدیدهٔ اصلی مورد مطالعه خود چراغ قوه به‌دستان هستند نه جنگل و درخت آن.

او با ترسیم مسیری که تا الان پیموده شده و تصویرسازی تلاش می‌کند تا تصویر بزرگتر را پیدا کند و با شناخت آن بگوید چه چیزهایی را می‌توان پیدا کرد و احتمالاً چه چیزهایی از نظر مغفول مانده‌اند. تصویر مولانا را از فیل شناسان را به خاطر بیاورید. هر یک از نظردهندگان، فیل را یک جور می‌دیدند اما حالا اگر یک نفر با در کنار هم قرار دادن این نظرات پازل را تشکیل دهد و بفهمد که آن موجود ناشناخته فیل است؛ آنگاه هم نظر بقیه را توجیه خواهد کرد و هم می‌تواند اطلاعات بیشتر و دقیق‌تری از آن پیکره روایت کند.

داستان فیل و مردان نابینا یا فیل و کوران داستانی‌است تمثیلی و عارفانه، که برای روشن کردن نقص کشف حسی به آن استشهاد شده‌است.
دیدنش با چشم چون ممکن نبود 
 اندر آن تاریکی‌اش کف می‌بسود

  آن یکی را کف به خرطوم اوفتاد 
 گفت همچون ناودان است این نهاد

  آن یکی را دست بر گوشش رسید 
 آن برو چون بادبیزن شد پدید

  آن یکی بر پشت او بنهاد دست
 گفت خود این پیل چون تختی بدست

یکی از نمونه‌های بارز تلاش او مطالعه کتاب اصول اقلیدس است. اقلیدس با مطرح کردن ۴+۱ اصل پیمایش خود را در جنگل هندسه و نظریه اعداد شروع کرد. پس از مطرح کردن این ۵ اصل متوجه شد که ترکیب این ۵ اصل می‌تواند گزاره‌های دیگری را نتیجه دهد. گزاره‌هایی که از آن‌ها به عنوان قضیه یاد می‌کنیم. استیون ولفرم در پژوهش خود فارغ از این‌که اقلیدس چه استدلال‌هایی برای گام برداشتن می‌کند؛ مسیری که او برای اثبات هر قضیه از میان قضایای پیشین پیموده رصد می‌کند. به این معنی که در بدنه اثبات هر قضیه دنبال ارجاعاتی که او در اثبات آن استفاده کرده‌است می‌گردد. مثلاً اگر در اثبات قضیه دو از قضیه یک استفاده شد با یک خط جهت دار آن دو را به هم متصل می‌کند. اگر برای کل ۴۶۵ قضیه‌ای که اقلیدس مطرح کرده‌است این روش را ادامه دهیم به گراف زیر خواهیم رسید.

اگر قضیه آخر کتاب او را در نظر بگیرید (که پر ارجاع‌ترین قضیه او هم هست) متوجه می‌شوید که برای اثبات آن باید بسیاری قضیه را اثبات کنیم. گراف زیر تمام قضایایی را که برای اثبات آن نیاز است به رنگ قرمز درآورده است. گویا برای اثبات هر قضیه نیازمند ترسیم یک گراف هستیم که با تعدادی اصول شروع می‌شود و از پس میان قضایای میانی در آخر به قضیه نهایی منجر می‌شود.

او پس از تصویر سازی‌هایی که انجام داده‌است و پیدا کردن یک الگوی کلی موفق شد که درستی گزاره‌های هندسی که حتی درون کتاب اقلیدس نیستند را نیز بررسی کند. به این ترتیب که اصول و فرض‌های اولیه هر قضیه را نقطه آغاز قرار داد و با الگویی که از کتاب اقلیدس فراگرفته بود تلاش کرد مسیر خود را تا مقصد نهایی که اثبات قضیه باشد ترسیم کند. به این ترتیب اثبات هر قضیه را به کمک یک گراف انجام داد. شما هم‌اکنون می‌تواند از ابزار ولفرم آلفا او استفاده کنید و درستی یک حکم را برای یک قضیه هندسی از او بپرسید. شکل زیر گراف محاسبه شده او از یک قضیه مثالی است.

اما امروز کمتر به مسائل هندسه دو بعدی علاقه‌مندیم. شاید تلاش تا به اینجای او برای حل مسائل هندسی خیلی قابل توجه نباشد اما او پس از موفقیت در هندسه به سراغ فیزیک و خانه اصلی خود بازگشت و چندی است که تلاش می‌کند گراف مشابهی را برای نظریات فیزیک رسم کند تا در کشف قوانین جدید از جمله بقیه فیزیکدانان سبقت بگیرد.

تا کنون او در ترسیم گرافی که بتواند برخی قوانین ساده فیزیک را نشان دهد موفق بوده‌است اما همچنان اسب او و گروهش از بقیه دانشمندان پیشی نگرفته‌است. اگر تلاش او برای شما جالب و خلاقانه آمده و می‌خواهید روی اسب او نیز شرط‌بندی کنید. توصیه می‌کنم به تارنمای پروژه فیزیک او نگاهی بیاندازید. گروه او تمام دستاوردهای خود را به صورت رایگان و لایه باز مرتباً منتشر می‌کنند.

این مطلب روایتی است از مطلب زیر:

https://writings.stephenwolfram.com/2020/09/the-empirical-metamathematics-of-euclid-and-beyond/

بالانس تئوری چی میگه؟! (مقدمه)

این اولین پستیه که قراره در مورد چیزایی حرف بزنم که کسی در موردش زیاد نشنیده و نخونده. یک موضوع جدید و در حال توسعه که به نظرم به شدت جذابه. خب یک سری مشکلات هست توی این پست از جمله اینکه خیلی از عبارت‌ها رو «من» ترجمه کردم و هنوز ترجمه‌ی رسمی براشون ارائه نشده و یا اینکه لااقل هنوز عرف نشدند. ممکنه یک سری ایراد علمی هم وارد بشه که در آینده تصحیحشون می‌کنم. موضوع این پست Balance Theory هست، اما از اونجایی که اگر «نظریه تعادل» ترجمه بشه خیلی‌ها ممکنه در نگاه اول یاد تعادل نش یا نظریه تعادل عمومی بیفتند من به جای واژه‌ی «تعادل» از واژه‌ی «توازن» استفاده می‌کنم تا اطلاع ثانوی! درضمن مدلی که در ادامه مطرح میشه یک مدل ساده و ابتدایی هست، بنابراین احتمالا بعضی از سوال‌های شما رو در حوزه‌ی علوم اجتماعی و/یا علوم سیاسی بی‌جواب میذاره!

خیلی خب، سه‌ نفر رو فرض کنید که می‌تونند دوست یا دشمن همدیگه باشند. همین‌طور دوستی و دشمنی رو متقابل فرض کنید، یعنی اگر کسی رو دوست دارید، اونم شما رو دوست داره. حالا اگر این سه نفر دوست هم باشند، اون موقع همه چیز خوبه و تنشی پیش نمیاد؛ دوست دوست شما، دوست شماست! اصطلاحا میگیم این مجموعه‌ سه نفری در توازن قرار داره و یا اینکه متوازن -balanced- هست. اما اگر از بین این سه نفر دو نفر رابطه‌ی خوبی با همدیگه نداشته باشند اون‌موقع ممکنه تنش پیش بیاد. به عنوان مثال فرض کنید که شما، همسرتون و مادرتون رو دوست دارید با این وجود، متاسفانه، مادرتون و همسرتون رابطه‌ی خوبی با همدیگه ندارند.

 یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.
یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.

اجازه بدید ،از این به بعد، به خاطر راحتی بیشتر از واژه‌های دقیق «دوست» و «دشمن» برای نوع روابط استفاده کنیم و دوستی رو کاملا ۱+ و یا ۱- فرض کنیم. بنابراین شما و همسرتون دوست، شما و مادرتون دوست ولی همسر شما و مادر شما دشمن همدیگه هستند. اینجا توازن از بین میره، به عنوان مثال کافیه شما هدیه‌ای برای مادرتون بخرید، در این صورت همسرتون شاکی میشه و مجبورید شب رو توی کوچه بخوابید! حالا فرض کنید که شما و آرش، هم‌زمان از یکی از همکار/هم‌کلاسی‌هاتون به اسم احسان متنفرید. خب طبق یه قاعده‌ی قدیمی، داشتن دشمن مشترک دوستی میاره و یا اینکه دشمن دشمن شما، دوست شماست. آرش دشمن احسان و احسان دشمن شماست پس طبق این قاعده شما و آرش دوست هستید. این مجموعه هم متوازنه. حالت دیگه که ممکنه پیش بیاد این هست که شما، میثم و سهیل هر سه دشمن همدیگه باشید، خب به وضوح مشخصه که این مجموعه نامتوازن هست؛ هر لحظه ممکنه کسی علیه کسی شورش کنه!

تا اینجا چارچوب بحث ما در مورد توازن مشخص شد. جذابیت این موضوع برای ما دانشمندان (!) زمانی شروع میشه که به فکر مدل‌سازی این چارچوب باشیم. ایده‌ی اصلی این کار توسط هایدر (۱۹۵۸) مطرح شد. مثلثی فرض کنید که هر راسش یکی از سه نفر بالا باشه و ضلعی که هر دو راس رو بهم متصل میکنه رو به عنوان رابطه اون دو راس(نفر) در نظر بگیرید. اگر دو نفر دوست هم باشند، به ضلعی که دو راس متناظر با اون دو نفر رو  متصل میکنه، ۱+ نسبت میدیم و اگر دو نفر دشمن هم باشند به ضلع متصل کننده  ۱-.

اجازه بدید از نظریه‌ی گراف کمک بگیریم. مطابق شکل ما یک گراف کامل با ۳ راس و ۳ یال داریم که رئوس، نماینده‌ی اعضای مجموعه و یال‌ها تعیین کننده نوع رابطه (دوستی یا دشمنی) بین رئوس هستند. با توجه به چارچوب بالا اگر تعداد یال‌های منفی که با خط چین توی شکل زیر مشخص شده‌ند فرد باشند (یکی یا سه‌تا) اون‌موقع گراف ما و یا شبکه ما نامتوازن -unbalanced- خواهد شد.

Screenshot from 2015-08-04 20:26:34
شبکه‌های متوازن و نامتوازن و نوع آرایش آن‌ها

بنابراین مدلی که به عنوان یک «شبکه‌ اجتماعی» برای توصیف روابط بین انسان‌ها و متوازن بودنشون مطرح می‌کنیم این جوری ساخته میشه:

    1. با توجه به افراد،‌سازمان‌ها، کشورها و هرچیزی که روابط دوستی یا دشمنی دارند ما یک گراف کامل از مرتبه تعداد اعضا مشخص می‌کنیم. گراف کامل هست چون که فرض بر اینه که همه‌ی اعضا همدیگه رو می‌شناسند و رابطه دارند. به عنوان مثال به کشورهای عضو سازمان ملل فکر کنید که یا از هم خوششون میاد یا از هم بدشون میاد!
    2. هر یال یا مثبته و یا منفی. هیچ حالت بینابینی وجود نداره.
    3. یک مثلث متوازن (balanced) است اگر و تنها اگر حاصل‌ضرب علامت یال‌های آن مثبت باشه. (اگر تعداد یال‌های منفی فرد باشه: (-,-,- یا -,+,+) اون‌موقع گراف ما و یا شبکه ما نامتوازن خواهد شد.)
      شیوه‌ی قطبیده شدن جهان به دو بلوک شرق و غرب قبل از جنگ‌جهانی اول
      شیوه‌ی قطبیده شدن جهان به دو بلوک شرق و غرب قبل از جنگ‌جهانی اول

خب حالا فرض کنید که ما یک شبکه‌ی مشخص از اعضا و روابطشون داریم:

    • آیا می‌تونیم بگیم که اوضاع این شبکه چقدر متوزانه؟
    • آیا می‌تونیم با در نظر گرفتن شبکه‌ی کشورهای دنیا و روابطشون بگیم آیا ممکنه بین دو کشور صلح برقرار بشه؟ یا اگه بین دو کشور صلح برقرار شد، اون موقع این صلح موضعی (منطقه‌ای) چه اثراتی روی صلح جهانی داره؟ به عبارت دیگه اگه علامت یالی رو در یک شبکه عوض کنیم (رابطه‌ی دو نفر رو از دوستی به دشمنی و یا عکس تبدیل کنیم) اون موقع میشه فهمید برای کل شبکه چه اتفاقی می‌افته؟
  • آیا می‌تونیم پیش‌بینی کنیم در چه شرایطی ممکنه بین هوادارهای دو تیم ورزشی توی ورزشگاه آزادی درگیری و نزاع پیش میاد؟

بله، با تقریب خوبی می‌تونیم همه این‌کارها رو به لطف نظریه‌ی توازن و یا بالانس تئوری انجام بدیم.

اجازه بدید کمی عمیق‌تر بشیم. خیلی راحت اثبات میشه که فقط دو راه برای یک شبکه بزرگ وجود داره که متوازن بشه، یا همه دوست هم بشند (جامعه بهشت بشه!) و یا اینکه شبکه قطبیده بشه، به این معنی که شبکه به دو بلوک تقسیم بشه جوری که داخل هر بلوک اعضا، دوست همدیگه حساب میشند و اعضای بلوک مقابل دشمن! درست مثل زمانی که دنیا به دو بلوک شرق و غرب تقسیم شده بود؛ یه سری این ور دوست هم بودند، یه سری هم اون‌ور، بعد این‌وری‌ها نمی‌خواستند سر به تن اون‌وری‌ها باشه!

خب پس وقتی ما یک شبکه داریم که در یکی از این دو حالت نیست یعنی متوازن یا بالانس نیست. سوال مهم اینه که خب اگر بخواهیم که شبکه رو بالانس یا متوازن کنیم چه کار باید انجام بدیم؟ یک راه پیشنهادی این هست که یک یال رو به صورت تصادفی انتخاب کنیم و علامتش رو عوض کنیم و بعدش ببینیم برای سیستم چه اتفاقی می‌افته. به عبارت دیگه اگر بعد از عوض کردن اون یال، تعداد مثلث‌های متوازن در کل شبکه زیاد بشه یعنی اینکه ما تونستیم شبکه رو به یک حالت متوازن‌تر هدایت کنیم، ولی اگر با عوض کردن علامت یالی تعداد مثلث‌های متوازن شبکه کم بشه یعنی عدم‌توازن رو توی شبکه بالا بردیم.

از اون‌جایی که ما فیزیک‌پیشه هستیم، اجازه بدید با رویکرد انرژی به قضیه نگاه کنیم؛ با توجه‌ به پیش‌فرض‌های ما، انرژی شبکه باید متناسب باشه با تعداد مثلث‌های نامتوازن منهای تعداد مثلث‌های متوازن موجود درشبکه:

CodeCogsEqn_001
معادله انرژی برای یک شبکه اجتماعی

 

CodeCogsEqn
اگر دو راس دوست باشند به یال بین آن دو ۱+ نسبت می‌دهیم و اگر دشمن باشند ۱-

 

نمودار انرژی برای شبکه‌هایی با (A) سه راس و (B) چهار راس
نمودار انرژی برای شبکه‌هایی با (A) سه راس و (B) چهار راس

n تعداد کل رئوس است و به خاطر بهنجارش (Normalization) تفاضل انرژی‌ها رو بر تعداد کل مثلث‌های شبکه تقسیم کردیم تا انرژی هنجار به واحد بشه! بنابراین بیشترین مقدار انرژی ۱ و کم‌ترین مقدار ۱- خواهد شد. وجود منفی هم به این خاطر هست که هرچی انرژی کم‌تر باشه (منفی‌تر) سیستم متوازن‌تره. خب بیاید با استفاده از این رابطه نمودار انرژی رو برای دو تا شبکه‌ی کوچیک، یکی با ۳ راس و دیگری با ۴ راس بکشیم:

نمودار A انرژی یک شبکه یا ۳ راس رو نشون میده که ساده‌ترین شبکه برای بررسی هست. بنابراین انرژی شبکه یا ۱ (نامتوزان) و یا ۱- (متوازن) هست. عددی که بالای هر مثلث نوشته شده فراوانی هر کدوم هست (مثلا اینکه یک یال خط‌چین باشه سه حالت داره، بدیهیه!)

نمودار B انرژی یک شبکه‌ی با ۴ راس رو نشون میده. خب توی این شبکه علاوه بر حالات قبل، انرژی صفر هم مشاهده میشه. طبیعیه که ما توی این شبکه می‌تونیم از بالا به پایین بیایم و شبکه رو متوازن کنیم. برای این کار کافیه علامت یکی از یال‌ها رو عوض کنیم و به وضعیت پایدارتر برسیم. خب این سوال مطرح میشه که:

  • آیا توی هر شبکه‌ای ممکنه با عوض کردن علامت یک یال، به یک شبکه‌ی متوازن‌تر رسید؟
Screenshot from 2015-08-04 22:06:50
وجود حالت‌های مسدود (jammed state)

متاسفانه در مورد شبکه‌های بزرگ(تعداد راس بیشتر) حالت‌هایی در سیستم وجود داره که به Jammed States و یا به قول استیون استروگاتز Strict Jammed States معروف هستند. این حالت‌ها چیزی نیستند جزو کمینه‌های نسبی انرژی. به این معنی که انرژی این‌حالت‌ها از تمام حالت‌های ممکن که با تغییر علامت یک یال در دسترس هستند، کمتر هست. بنابراین در حالت‌های jammed یا مسدود، امکان این‌که تنها با تعویض علامت یک یال به یک حالت متوازن‌تر رفت، وجود نداره. به عبارت دیگه انرژی حالت‌های مسدود کوچکتر یا مساوی انرژی حالت‌های مجاور هست.

نکته‌ای که وجود داره اینه که حالت‌های مسدود نمی‌تونند هر مقدار انرژی اختیار کنند. در حقیقت این‌حالت‌ها حداکثر می‌تونند انرژی صفر داشته باشند (کران بالای انرژی حالت‌های مسدود صفر است). اثبات این موضوع خیلی سرراسته: هر یالی در یک حالت مسدود متعلق به مثلث‌های متوازنی هست که تعدادشون برابر با تعداد مثلث‌های نامتوازنه، چون در غیر این صورت علامت اون یال باید عوض بشه که این در تناقض با تعریف حالت مسدوده! بنابراین در شبکه‌های نسبتا بزرگ حالت‌های مسدودی وجود که انرژی این‌ حالت‌ها حداکثر صفر هست.

یک گراف Paley با ۱۳ راس،‌ به شیوه‌ی اتصال رئوس دقت کنید.
یک گراف Paley با ۱۳ راس،‌ به شیوه‌ی اتصال رئوس دقت کنید.

ویژگی جالبی در مورد حالت‌های مسدود با انرژی صفر وجود داره؛ یال‌های مثبت در این حالت‌ها عضو یال‌های گراف Paley هستند. گراف Paley گرافی هست که تعداد رئوسش (q) یک عدد اول به شکل q=4k+1 هست. هر دو راس در این گراف درصورتی وصل هستند که تفاضل شماره اون دو راس یک عدد مربع کامل باشه به پیمانه‌ی q. این گراف‌ها خیلی خوشگل‌ هستند و قیافه‌ی متقارنی دارند. می‌تونید تعدادی از این گراف‌ها رو این‌جا ببینید.

 اگر دوست دارید به یک حالت مسدود با انرژی U=0 برسید:

    1. به یال‌هایی از شبکه که عضو گراف Paley هستند «+» نسبت دهید.به سایر یال‌ها (یال‌هایی که عضو شبکه (گراف کامل) هستند ولی عضو گراف Paley نیستند) «-» نسبت دهید.
    2. یک راس جدید به شبکه اضافه کنید (وسط شبکه!). هم اکنون شبکه شما q+1 راس دارد.
    3. راس جدید را به q راس قبلی وصل کنید و به یال‌های بین این راس و سایر رئوس «-» نسبت دهید.

با این روش شما می‌تونید یک حالت مسدود با انرژی صفر بسازید که q+1 راس داره.

فکر کنم برای مقدمه کافی باشه!

  1. The Energy Landscape of Social Balance
  2. Dynamics of Social Balance on Networks
  3. STRUCTURAL BALANCE: A GENERALIZATION OF HEIDER’S THEORY’
  4. Social Balance on Networks: The Dynamics of Friendship and Enmity
  5. Statistical physics of balance theory
سخنرانی استیون استروگتز در مورد نظریه توازن

فرکتال‌ها| قسمت پنجم، مجموعه‌ی مندلبرو

توی قسمت قبلی دیدیم که اگر هر تابع f رو داشته باشیم می‌تونیم برای اون تابع مجموعه‌ی ژولیای مربوط به اون رو پیدا کنیم که خب یکمی از کامپیوتر هم کمک گرفتیم. کار ما این بود که یک تابع رو بر می‌داشتیم شرایط اولیه‌ای (یک سری نقطه توی فضای مختلطی (موهومی)) بهش می‌دادیم، مقدار تابع رو به ازای اون شرایط اولیه به دست می‌اوردیم و همین طور دوباره این مقدار رو به تابع می‌دادیم و این روند رو ادامه میدادیم تا ببینیم آیا شرایط اولیه‌ای که انتخاب کردیم به بی‌نهایت میل میکنه یا نه، اگر نمی‌کرد اون موقع مجموعه‌ی ژولیا اون تابع رو تشکیل میداد.  همین طور گفتیم که از بین همه‌ی توابع، توابعی که به صورت چندجمله‌ای های مربعی می‌باشند بیشتر مشهور هستند؛ توابعی با فورم: $$f(z)=z^2 +c$$توی این پست در مورد علت این شهرت توضیح میدم؛

تابع ${f(z)=z^2 +c}$ رو در نظر بگیرید؛ فراموش نکنید که c می‌تونه هر عددی – ولی حتما مختلط – باشه. حالا اگر با نقطه‌ی z=0 شروع کنیم، به این دنباله‌ می‌رسیم:

  $$  c , c² + c , (c²+c)² + c , ((c²+c)²+c)² + c , (((c²+c)²+c)²+c)² + c , …$$

اگر این دنباله واگرا نباشه، یعنی اگر c هایی انتخاب کنیم که در نهایت این دنباله به بی‌نهایت نرسه اون موقع مجموعه‌ی ژولیایی که توسط این cها برای تابع  ${f(z)=z^2 +c}$ ساخته میشه، «همبند» هست. احتمالای توی نظریه‌ی گراف با مفهموم همبند بودن آشنا شدین (معمولا سال آخر دبیرستان بچه‌های رشته‌ی ریاضی فیزیک نظریه‌ی گراف رو توی درس ریاضیات گسسته می‌خونند!) اگر نشدین، همبند بودن یک جور مفهموم متصل بودن رو داره، وقتی یک گراف یا شبکه‌ای همبند باشه اونموقع اگر شما از یک نقطه‌ای شروع به حرکت کردید، می‌تونید به هر نقطه‌ای که دلتون می‌خواد برید وبدون اینکه جایی مسیرتون قطع بشه. خلاصه این که اگر دنباله‌ای که ساختیم واگرا

مجموعه مندلبرو

نشد اون موقع ما یک مجموعه‌ی ژولیای همبند می‌تونیم بسازیم. (اثبات این مطلب فراتر از حوصله‌ی ماست!) خب حالا این مجموعه‌ی ژولیای همبند به چه دردی می‌خوره آیا؟! اجازه بدید تا یک مجموعه‌ی جدید معرفی کنیم به نام «مجموعه‌ی مندلبرو».

«مجموعه مندلبرو شامل نقاطی (c) از صفحه‌ی مختلط هست که به ازای آن ها مجموعه‌ی ژولیا تابع ${f(z)=z^2 +c}$ همبند باشد.»

شما می‌تونید یک برنامه بنویسید تا براتون مقادیری که C ممکنه بگیره رو پیدا کنه ولی یک نکته‌ای هست و اون اینه که همه‌ی مجموعه‌های ژولیا همبند شامل نقطه‌ی 0 = 0+ z= 0i  هستند! بنابراین «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» مبدا برای این دسته از مجموعه ها، همیشه باید یک مقدار کران‌دار باشه و به بی‌نهایت میل نکنه، پس نقطه‌ی صفر در همه‌ی مجموعه‌های ژولیای همبند صدق میکنه. به طور مشابه در همه‌ی مجموعه‌های ژولیای ناهمبند نقطه‌ی صفر وجود نداره! خب این یک سنگ محکی شد برای تشخیص اینکه آیا نقطه c دلخواهی عضو مجموعه‌ی مندلبرو هست یا نه! یعنی کافیه تا ما «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» نقطه‌ی z=0 رو برای تابع  ${f(z)=z^2 +c}$ بررسی کنیم، اگر مقادیری که به دست میاند (همون «اربیت» یا «چرخش») کران‌دار باشند اون موقع اون c مورد نظر ما عضو مجموعه مندلبرو هست ولی اگر به بی‌نهایت میل کنه اون‌موقع اون c دیگه عضو مجموعه مندلبرو نیست! شرمنده 😀

مجموعه‌ی مندلبرو یکی از موضوعات دینامیک مختلطه که برای اولین بار ایده‌ش اوایل قرن بیستم توسط ریاضی‌دانان فرانسوی بهنام «فاتو» و«ژولیا» مطرح شد. اون موقع‌ها هنوز کامپیوتر زیاد رونق نداشت برای همین مثلا فاتو نتونست شهود و تصویر خوبی از این مجموعه ارائه بده. تا اینکه مندلبرو اول مارس ۱۹۸۰(اواخر قرن بیستم!) به لطف کامپیوترهای شرکت IBM تونست این کار رو انجام بده و بعدش هم این موضوع رو گسترش زیادی داد. آدم‌های زیادی بعد از مندلبرو روی این موضوع کار کردند ولی به خاطر خدمات مندلبرو یا به احترام مندلبرو، اسم این مجوعه رو «مجموعه مندلبرو» گذاشتند!

این مجموعه در حقیقت یک فرکتال هست با مرز بسیار بسیار پیچیده، جوری که شیشیکورا ثابت کرد (۱۹۹۸) که بعد این مرز ۲ هست! این فرکتال برخلاف مجموعه‌ی ژولیا کاملا خودمتشابه نیست و اگر روی شکل زوم کنید این رو به راحتی متوجه خواهید شد!

همین طور این مجموعه توی صفحه‌ی مختلط، توی دیسکی یه شعاع ۲ قرار میگیره و  تقاطع اون با محور حقیقی بازه [۰/۲۵, ۲-] هست. حدودا دو سال پیش مساحت مجموعه مندلبرو 0.0000000028 ± 1.5065918849 واحدمربع تخمین زده شد! پیشنهاد می‌کنم حتما به صفحه‌ی ویکی پدیای این مجوعه عجیب و غریب  سر بزنید، مخصوصا اگر دوست دارید که الگوریتم‌هایی که برای تولید این دسته از فرکتال‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند چه جوری هستند!

برای مطالعه، پیشنهاد میکنم کتاب زیر رو بخونید، خیلی خوب توضیح داده هم فرکتال‌ها رو هم آشوب رو!

David P. Feldman, Chaos and Fractals, An Elementary Introduction, Oxford University

به عنوان حسن ختام، یک جمله از مندلبرو رو نقل میکنم (از سخنرانی تد ۲۰۱۰) : «خب، اجازه دهید تمام کنم. این شکل در اینجا تنها از یک تمرین در ریاضیات محض بوجود آمد. ظهور شگفتی های بی پایان از قواعد ساده، که بی نهایت تکرار می شوند.»