شرلوک هولمز در کتاب نشانهٔ چهار روشی را برای کشف حقیقت به‌کار می‌برد که می‌توان اسمش را گذاشت روش حذف ناممکن‌ها: وقتی همهٔ حالت‌های ناممکن را کنار گذاشته باشی، آنچه باقی می‌ماند، هرچه‌قدر هم نامحتمل، باید حقیقت باشد.

این روش، مثل بسیاری از روش‌های دیگری که هولمز به کار می‌گیرد، جذاب و هیجان‌انگیز است ولی آیا در عمل و در شرایط واقعی هم می‌توان چنین روش‌هایی را به‌همان سادگی به‌کار برد؟ واقعیت این است که در عمل ممکن است موانع فراوانی کاربردپذیری این روش را به چالش بکشد. در این یادداشت به دو مورد از این موانع نگاه دقیق‌تری می‌اندازیم. نخست این که تشخیص ناممکن بودن بعضی حالت‌ها که در ابتدا محتمل بوده‌اند با چه دقتی انجام می‌شود؟ آیا ممکن نیست خطایی در این تشخیص وجود داشته باشد؟ مثلاً در همین مکالمه‌ که از کتاب نشانهٔ چهار نقل شد هولمز به واتسن می‌گوید: «می‌دانیم که او از در یا از پنجره یا دودکش وارد نشده» این «می‌دانیم» چه‌قدر دقیق است؟ آیا ممکن است خطایی در مشاهده یا جمع‌آوری شواهد وجود داشته باشد که این نتیجه‌گیری را نادقیق کند؟ دوم این که آیا همهٔ حالت‌های ممکن از ابتدا در نظر گرفته‌ شده‌اند؟ مثلاً آیا ممکن است که به‌جز در، پنجره، دودکش و سوراخ سقف راه دیگری هم برای ورود به اتاق بوده باشد که از نظر کارآگاه دور مانده باشد؟ چنین اتفاقاتی تا چه اندازه می‌تواند اعتبار نتیجه‌گیری نهایی را به‌ خطر بیندازد؟

هولمز در حالی‌ که سرش را تکان می‌داد گفت: تو به توصیهٔ من عمل نمی‌کنی. چند بار به تو گفته‌ام که وقتی ناممکن را حذف کرده باشی، آنچه باقی می‌ماند، هر قدر هم بعید، باید حقیقت باشد؟ می‌دانیم که او از در یا از پنجره یا دودکش وارد نشده. این را هم می‌دانیم که نمی‌توانسته در اتاق پنهان شده باشد، چون مخفیگاهی وجود ندارد. پس از کجا آمده؟

– من فریاد زدم از سوراخ سقف آمده؟
– معلوم است که از آنجا آمده.

نشانهٔ چهار، آرتور کانن دویل، ترجمهٔ مژده دقیقی، (انتشارات هرمس ۱۳۷۸).

خطا در تشخیص ناممکن بودن حالت‌ها

برای بررسی خطای آزمون‌هایی که حالت‌های ناممکن را مشخص می‌کنند مثال ساده‌ای در نظر می‌گیرم. فرض کنید $n+1$ جعبه داریم که در یکی از آن‌ها یک توپ وجود دارد. جعبه‌ها را با
$1,2,\cdots, n , z$ برچسب می‌زنیم. هیچ اطلاعات اضافهٔ دیگری که بتواند راهنمایی برای تشخیص جعبهٔ محتوی توپ باشد نداریم، بنابراین فرض می‌کنیم که توپ می‌تواند با احتمال یکسان در هر یک از این $n+1$ جعبه باشد. (می‌توان مسئله را به شکل عام‌تری هم طرح کرد، مثلاً می‌توان فرض کرد که احتمال این که توپ در جعبهٔ شمارهٔ $i$ باشد $p_i$ است و $\sum_{i=1}^n p_i+p_z=1$.)

فرض کنید $A_i$ پیشامد قرار داشتن توپ در جعبهٔ شمارهٔ $i$ باشد. همچنین فرض کنید برای تشخیص این که یک جعبه توپی در درونش ندارد از آزمایشی مانند تکان دادن جعبه یا اسکن کردن آن با پرتو ایکس استفاده کنیم. پیشامدی را که در آن نتیجهٔ آزمایش روی جعبهٔ شمارهٔ $i$ خالی بودن آن را نشان می‌دهد $E_i$ می‌نامیم. این آزمایش ممکن است خطا داشته باشد، به‌این معنی که ممکن است توپ در جعبهٔ شمارهٔ $i$ باشد ولی نتیجهٔ آزمایش خلاف این را گزارش کند. احتمال چنین خطایی را با $r$ نشان می‌دهیم. به بیان ریاضی $P(E_i|A_i)=r$.

جعبه‌های شمارهٔ $1$ تا $n$ را آزمایش می‌کنیم و نتیجهٔ آزمایش این است که توپ در هیچ‌ یک از این جعبه‌ها نیست. طبق روش هولمز می‌توانیم بگوییم که توپ قطعاً در جعبهٔ $z$ است. اما احتمال خطا در آزمایش‌های ما وجود دارد و بنابراین ممکن است توپ در یکی از جعبه‌هایی باشد که آزمایش خالی بودن آن را نشان داده. در چنین شرایطی نمی‌توان گفت که توپ قطعاً در جعبهٔ $z$ است. سؤال درست این است که احتمال قرار داشتن توپ در جعبهٔ $z$ چه‌قدر است. چنین احتمالی با عبارت ریاضی زیر بیان می‌شود
$$P(A_z|\bigcap_{i=1}^{n} E_i) = P(A_z|E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n) = P(A_z \mid \mathcal{E}).$$ در اینجا $\mathcal{E} := \bigcap_{i=1}^{n} E_i$ اشتراک بین همه پیشامدهاست. با به کارگیری قاعدهٔ بیز: $$\begin{aligned}
P(A_z \mid \mathcal{E}) = \frac{P(A_z \cap \mathcal{E})}{P(\mathcal{E})}
\end{aligned}$$ و در نتیجه $$P(A_z \mid \mathcal{E})= \frac{P(\mathcal{E} \mid A_z)\, P(A_z)}{P(\mathcal{E} \mid A_z)\, P(A_z) + \sum_{i=1}^{n} P(\mathcal{E} \mid A_i)\, P(A_i)}$$

فرض می‌کنیم آزمایش‌های جعبه‌های مختلف مستقل باشند یعنی آزمایش یک جعبه روی نتیجهٔ آزمایش یک جعبهٔ دیگر اثری نداشته باشد. در این‌صورت خواهیم داشت $$P(\mathcal{E}|A_z)=(1-r)^n$$
زیرا اگر توپ در جعبهٔ شمارهٔ $z$ باشد یعنی همهٔ آزمایش‌ها نتیجهٔ درست داده‌اند و احتمال درست بودن نتیجهٔ هر آزمایش $1-r$ است. به‌همین ترتیب به‌سادگی می‌توان دید که
$$P(\mathcal{E}|A_i)=r(1-r)^{n-1}\,, i=1,2,\cdots , n$$ و بنابراین
\begin{eqnarray}
P & = & \frac{(1-r)P(A_z)}{r\left(1-P(A_z)\right)+(1-r)P(A_z)}\nonumber\
& = & \frac{1-r}{nr+1-r}\nonumber
\end{eqnarray} که در آن از $P(A_z)=\frac{1}{n+1}$ استفاده کرده‌ایم.

بیایید نگاهی به نتیجهٔ این رابطه برای یک حالت مشخص بیندازیم. فرض کنید ده جعبه داریم (یعنی $n=9
$) و آزمایش ما برای تشخیص خالی بودن جعبه‌ها ده درصد خطا دارد (به‌ این معنی که به طور میانگین از هر ده آزمایش یکی نتیجهٔ نادرست می‌دهد). در این صورت رابطهٔ بالا می‌گوید که $P=0.5$. یعنی احتمال این که توپ در جعبهٔ آخر (جعبه‌ای که آزمایش نشده) باشد پنجاه درصد است. به‌طور کلی اگر احتمال خطا در آزمایش تشخیص حالت‌های ناممکن برابر با احتمال همان حالتی باشد که در آخر و پس از حذف ناممکن‌ها قرار است به‌عنوان «حقیقت» معرفی شود، خطای تشخیص حقیقت پنجاه درصد خواهد بود!

خطا در تعیین همهٔ حالت‌های ممکن

ایراد دیگری که می‌تواند کارایی این روش را به‌ چالش بکشد این است که از ابتدا همهٔ حالت‌های ممکن را تشخیص نداده باشیم و بعضی از آن‌ها از چشم ما دور مانده باشند. اگر به مثال بخش قبل برگردیم می‌توانیم فرض کنیم که مثلاً یک جعبهٔ دیگر (جعبهٔ شمارهٔ $m$ وجود دارد) که در میان $n+1$ جعبهٔ موجود نیست و مثلاً پشت یک پرده مخفی شده است ولی توپ می‌تواند درون آن جعبه هم باشد. احتمال وجود توپ در آن جعبه را با $P(A_m)$ نشان می‌دهیم. به‌عبارت دیگر اگرچه ما تصور می‌کنیم که حاصل‌جمع احتمال‌های وجود توپ در $n+1$ جعبهٔ موجود برابر با یک است ولی درواقع این احتمال کوچک‌تر از یک است:
$$\sum_{i=1}^n P(A_i)+P(A_z)=1-P(A_m)$$. بنابراین حتی اگر آزمایش‌های ما بی‌خطا باشند و بگویند که توپ در جعبه‌های شمارهٔ $1$ تا $n$ نیست باز هم ممکن است جعبهٔ شمارهٔ $z$ ‌را باز کنیم و ببینیم که خالی است. احتمال چنین نتیجهٔ ناگواری $P(A_m)$ است. برای اجتناب از مواجه شدن با چنین وضعیتی باید حداکثر تلاش را برای تشخیص و به‌حساب‌آوردن همهٔ حالت‌های ممکن به خرج داد.

به‌عنوان آخرین مثال حالتی را در نظر می‌گیریم که هم آزمایش‌ها احیاناً خطا داشته باشند و هم از ابتدا همهٔ حالت‌های ممکن تعیین نشده‌ باشند و مثلاً جعبهٔ شمارهٔ $m$ از قلم افتاده باشد. در این صورت به‌سادگی می‌توان دید که وقتی آزمایش‌ها نشان می‌دهند که توپ در هیچ‌ یک از جعبه‌های $1$ تا $n$ نیست، احتمال پیدا کردن توپ در جعبهٔ $z$ برابر است با
$$P=\frac{(1-r)P(A_z)}{r(1-P(A_z)-P(A_m))+(1-r)(P(A_z)+P(A_m))}$$
و باز اگر همهٔ جعبه‌ها را هم‌احتمال بگیریم، یعنی
$$P(A_z)=P(A_m)=P(A_i)=\frac{1}{n+2}$$ خواهیم داشت $$P=\frac{1-r}{nr+2(1-r)}.$$
برای مقایسهٔ این نتیجه با نتیجه‌ٔ بخش قبل فرض می‌کنیم تعداد همهٔ جعبه‌های در اختیار ما ده تاست (یعنی $n=9$) ولی تعداد کل جعبه‌ها درواقع یازده تاست و احتمال وجود توپ در این یازده جعبه یکسان است ($\frac{1}{11}$).
احتمال خطای آزمایش را هم مانند قبل ۰/۱ می‌گیریم. در این‌صورت احتمال یافتن توپ در جعبهٔ $z$ برابر خواهد بود با $P=\frac{1}{3}$. به‌عبارت دیگر آن حالتی را که با روش حذف ناممکن‌ها حقیقت محض می‌دانیم فقط کمی بیش از سی درصد احتمال دارد که حقیقت باشد!

سخن پایانی

دنیای واقعی بر خلاف دنیای قصه‌ها پر از عدم قطعیت، خطا و بی‌دقتی است. در چنین دنیایی دست یافتن به حقیقت به سادگی قصه‌ها نیست. بنابراین برای پرهیز از نتیجه‌گیری نادرست یا پیش‌بینی نادرست بهتر است تا حد امکان نگاه همه‌جانبه به پدیده‌ها داشته باشیم و امکان بروز خطا در مشاهده‌ها و آزمایش‌ها را نیز نادیده نگیریم.

در دو دهه گذشته، مدل‌سازی پخش بیماری‌های عفونی در جوامع به کمک ابزارهای فیزیک آماری و علم شبکه گسترش فراوانی داشته. دوره دکتری من هم معطوف به مدل‌سازی پخش بیماری‌ها و همه‌گیری در جوامع بود. پژوهش اصلی من پیرامون این ایده بود که ارتباطات افراد مختلف در یک جامعه چه‌طور بر شدت و حدت شیوع یک بیماری اثر می‌گذارند و بعد از آن چگونه می‌شود اثربخشی مداخله‌هایی مانند واکسیناسیون یا رهگیری تماس را بهینه کرد.

پایان‌نامه دکتری من علاوه بر مقالات پژوهشی شامل سه فصل آموزشی پیرامون علم شبکه و همه‌گیرشناسی محاسباتی است. در این اثر، به اثرات ویژگی‌های شبکه‌‌های اجتماعی مانند ناهمگنی‌های ارتباطی، هوموفیلی رفتاری، اندازه گروه‌های اجتماعی و تحولات زمانی شبکه‌‌ها بر بهبودبخشی اثرات مداخله‌ها پرداخته شده.

نسخه الکتروینکی این اثر را در اینجا می‌توانید ببینید.

علم شبکه و مدل‌سازی پخش بیماری‌ در حضور مداخله‌‌ها

برای یادگیری بیشتر به مطالب این نوشته یا این ویدیو نگاه کنید:

مقدمه‌ای بر شبکه‌های پیچیده

انتروپی یکی از سهل ممتنع‌ترین مفاهیم فیزیکه. همه فکر می‌کنند که می‌دونند چیه و همه هم‌زمان درست نمی‌دونند که چیه! مسئله انتروپی و پیکان زمان هنوز جزو مسائل حل نشده در فیزیکه. قانون دوم ترمودینامیک ارتباط تنگاتنگی با این مفهوم داره و از قضا این قانون، جای پای خیلی محکمی توی فیزیک داره. برای همین انتظار می‌ره که بدونیم انتروپی چیه، نه؟! بعضی‌ها به اشتباه قانون دوم رو تفسیر به زیاد شدن بی‌نظمی می‌کنن که لزوما درست نیست.

انتروپی یک کمیت قابل اندازه‌گیری و یک متغیر جفت‌شده (همیوغ) برای دما در ترمودینامیکه. از طرف دیگه، به واسطه توسعه مکانیک آماری، تعریف‌های جدیدتر با فرمول‌بندی‌هایی بر اساس توزیع‌های آماری برای بیان انتروپی یک سامانه بر اساس حالت‌هایی که می‌تونه داشته باشه ارائه شده. وصل کردن فیزیک آماری به نظریه اطلاعات معمولا با کارهای جینز شناخته میشه. اما از لحاظ مفهومی و فلسفه علمی، آزمایش فکری شیطانک مکسول برای اولین بار این درک رو ایجاد کرد که اطلاعات یک کمیت فیزیکیه.

I will try to explain the second law to the best of my ability. There should be lots of questions which I will try to answer. I know a little bit about the second law; it may be two or three people in the world who know more, but I’ve never met any, so we’ll talk a little about the second law [and] what it means

Leonard Susskind, Statistical Mechanics (Spring, 2013), Lec. 7: Entropy vs. reversibility

دنبال کردن تغییرات انتروپی به صورت نظری یا تجربی در فیزیک تعادلی و غیرتعادلی متفاوته. برخلاف انتظار ما، اندازه‌گیری تغییرات انتروپی در تعادل می‌تونه کار خیلی سختی در آزمایشگاه باشه. در فیزیک دور از تعادل، روابط افت‌وخیز چارچوب به نسبت معقولی برای مطالعه انتروپی به ما میده.

انتروپی برای همگردی (ensemble) از چیزها معنی داره. انتروپی یک مولکول چندان چیز معنا داری نیست، بلکه انتروپی‌حالت‌هایی که یک مولکول می‌تونه داشته باشه عبارت معنی داریه. با نگاه کردن به فرمول شنون هم خیلی راحت میشه دید که برای یک توزیع خاص میشه انتروپی تعریف کرد. مثال دیگه، که یک مثال فیزیکی نیست، صحبت کردن در مورد انتروپی شبکه‌های پیچیده است. انتروپی یک شبکه می‌تونه منجر به گمراهی مخاطب بشه. چون مشخص نیست که این انتروپی به توزیع درجه اون شبکه برمی‌گرده یا همگردی از گراف‌ها یا چی!؟ مثلا قاعده انتروپی بیشینه برای همگردی از گراف‌ها با چگالی یال ثابت منجر به مدل اردوش رنیی میشه. این مدل، شبکه‌ای با توزیع درجه پواسونی میده که اون توزیع، توزیع بیشترین انتروپی نیست!

نکته بعدی اینه که انتروپی یک کمیت فردیه (subjective) به این معنا که ربطی به قوانین بنیادی طبیعت و برهمکنش ذرات با هم نداره. معمولا کسایی که بعد از گذروندن درس مکانیک کلاسیک وارد درس مکانیک آماری تعادلی میشن با این سوال رو به رو میشن که طبق تعریف، لگاریتم حجم فضای فاز (در یک انرژی خاص) برابر با انتروپیه. از طرف دیگه قضیه لیوویل می‌گه که برای یک سامانه طی زمان، هندسه فضای فاز عوض میشه ولی حجمش نه! پس یعنی انتروپی ثابت می‌مونه! آیا این مشکلی داره؟! اول اینکه قانون دوم ترمودینامیک میگه که انتروپی یک سامانه بسته در حد ترمودینامیکی تقریبا هیچ‌موقع کم نمیشه، یعنی $\mathrm{d}s$ یا صفره یا مثبت. پس کی $\mathrm{d}s>0$ هست؟ ایده اصلی اینه که انتروپی یک کمیت وابسته به سامانه و ناظره. در واقع انتروپی رو طی فرایند درشت‌-دانه‌‌بندی اندازه‌گیری می‌کنیم و این ما (ناظر) هستیم که انتروپی رو زیاد می‌کنیم!

خلاصه خیلی مهمه که در چه شرایطی و برای چه سامانه‌ای (اندازه و نوع برهمکنش‌ها) داریم صحبت می‌کنیم. انتروپی می‌تونه خیلی خیلی موضوع ظریفی باشه خصوصا وقتی که دور از تعادل هستیم. در سامانه‌های کوچیک مثلا انتروپی می‌تونه کم یا زیاد بشه. برای دونستن بیشتر به اینجا و اینجا نگاه کنید.

برای مطالعه بیشتر:

• Maximum Entropy Methods (MaxEnt)
• From Zero to Positive Entropy

مدل آیزینگ، به عنوان معرف‌ترین مدل در فیزیک آماری، یک مدل ساده برای توصیف گذار فاز در مواد مغناطیسی است. این مدل از متغیرهای گسسته (اسپین) به روی یک گراف مشبکه (Lattice) تشکیل شده است.

ویدیو در یوتیوب

ویدیو در اینستاگرام

View this post on Instagram

A post shared by Sitpor (@sitpor_media)

برای بیشتر عمیق شدن

• جلسه ۹ و ۱۰ دوره مکانیک آماری ساسکایند
• حل دقیق مدل آیزینیگ
• درس‌گفتارهای دکتر وحید کریمی‌پور – دانشگاه صنعتی شریف
• کتاب گلدنفلد
• لینک‌های مفید: گرداوری شده توسط MIT
• مدل آیزینگ در عمل (به منابع این نوشته حتما رجوع کنید!)

شبیه‌سازی مدل آیزینگ

• شبیه‌سازی آیزینگ با نت‌لوگو
• شبیه‌سازی آیزینگ: الگوریتم متروپلیس-هیستینگز
• درک عمیق‌تری از الگوریتم‌های مربوط به مدل آیزینگ ( گلابر، متروپلیس و …)
• برای عمیق شدن در شبیه‌سازی: کتاب «روش‌های مونت کارلو در فیزیک آماری» نیومن