رفتن به نوشته‌ها

دسته: مکانیک آماری

انتروپی

انتروپی یکی از سهل ممتنع‌ترین مفاهیم فیزیکه. همه فکر می‌کنند که می‌دونند چیه و همه هم‌زمان درست نمی‌دونند که چیه! مسئله انتروپی و پیکان زمان هنوز جزو مسائل حل نشده در فیزیکه. قانون دوم ترمودینامیک ارتباط تنگاتنگی با این مفهوم داره و از قضا این قانون، جای پای خیلی محکمی توی فیزیک داره. برای همین انتظار می‌ره که بدونیم انتروپی چیه، نه؟! بعضی‌ها به اشتباه قانون دوم رو تفسیر به زیاد شدن بی‌نظمی می‌کنن که لزوما درست نیست.

انتروپی یک کمیت قابل اندازه‌گیری و یک متغیر جفت‌شده (همیوغ) برای دما در ترمودینامیکه. از طرف دیگه، به واسطه توسعه مکانیک آماری، تعریف‌های جدیدتر با فرمول‌بندی‌هایی بر اساس توزیع‌های آماری برای بیان انتروپی یک سامانه بر اساس حالت‌هایی که می‌تونه داشته باشه ارائه شده. وصل کردن فیزیک آماری به نظریه اطلاعات معمولا با کارهای جینز شناخته میشه. اما از لحاظ مفهومی و فلسفه علمی، آزمایش فکری شیطانک مکسول برای اولین بار این درک رو ایجاد کرد که اطلاعات یک کمیت فیزیکیه.

Leonard Susskind, Statistical Mechanics (Spring, 2013), Lec. 7: Entropy vs. reversibility
Leonard Susskind

I will try to explain the second law to the best of my ability. There should be lots of questions which I will try to answer. I know a little bit about the second law; it may be two or three people in the world who know more, but I’ve never met any, so we’ll talk a little about the second law [and] what it means

Leonard Susskind, Statistical Mechanics (Spring, 2013), Lec. 7: Entropy vs. reversibility

دنبال کردن تغییرات انتروپی به صورت نظری یا تجربی در فیزیک تعادلی و غیرتعادلی متفاوته. برخلاف انتظار ما، اندازه‌گیری تغییرات انتروپی در تعادل می‌تونه کار خیلی سختی در آزمایشگاه باشه. در فیزیک دور از تعادل، روابط افت‌وخیز چارچوب به نسبت معقولی برای مطالعه انتروپی به ما میده.

انتروپی برای همگردی (ensemble) از چیزها معنی داره. انتروپی یک مولکول چندان چیز معنا داری نیست، بلکه انتروپی‌حالت‌هایی که یک مولکول می‌تونه داشته باشه عبارت معنی داریه. با نگاه کردن به فرمول شنون هم خیلی راحت میشه دید که برای یک توزیع خاص میشه انتروپی تعریف کرد. مثال دیگه، که یک مثال فیزیکی نیست، صحبت کردن در مورد انتروپی شبکه‌های پیچیده است. انتروپی یک شبکه می‌تونه منجر به گمراهی مخاطب بشه. چون مشخص نیست که این انتروپی به توزیع درجه اون شبکه برمی‌گرده یا همگردی از گراف‌ها یا چی!؟ مثلا قاعده انتروپی بیشینه برای همگردی از گراف‌ها با چگالی یال ثابت منجر به مدل اردوش رنیی میشه. این مدل، شبکه‌ای با توزیع درجه پواسونی میده که اون توزیع، توزیع بیشترین انتروپی نیست!

نکته بعدی اینه که انتروپی یک کمیت فردیه (subjective) به این معنا که ربطی به قوانین بنیادی طبیعت و برهمکنش ذرات با هم نداره. معمولا کسایی که بعد از گذروندن درس مکانیک کلاسیک وارد درس مکانیک آماری تعادلی میشن با این سوال رو به رو میشن که طبق تعریف، لگاریتم حجم فضای فاز (در یک انرژی خاص) برابر با انتروپیه. از طرف دیگه قضیه لیوویل می‌گه که برای یک سامانه طی زمان، هندسه فضای فاز عوض میشه ولی حجمش نه! پس یعنی انتروپی ثابت می‌مونه! آیا این مشکلی داره؟! اول اینکه قانون دوم ترمودینامیک میگه که انتروپی یک سامانه بسته در حد ترمودینامیکی تقریبا هیچ‌موقع کم نمیشه، یعنی $\mathrm{d}s$ یا صفره یا مثبت. پس کی $\mathrm{d}s>0$ هست؟ ایده اصلی اینه که انتروپی یک کمیت وابسته به سامانه و ناظره. در واقع انتروپی رو طی فرایند درشت‌-دانه‌‌بندی اندازه‌گیری می‌کنیم و این ما (ناظر) هستیم که انتروپی رو زیاد می‌کنیم!

خلاصه خیلی مهمه که در چه شرایطی و برای چه سامانه‌ای (اندازه و نوع برهمکنش‌ها) داریم صحبت می‌کنیم. انتروپی می‌تونه خیلی خیلی موضوع ظریفی باشه خصوصا وقتی که دور از تعادل هستیم. در سامانه‌های کوچیک مثلا انتروپی می‌تونه کم یا زیاد بشه. برای دونستن بیشتر به اینجا و اینجا نگاه کنید.

برای مطالعه بیشتر:

چرا مدل آیزینگ اینقدر برای فیریکدونا جذابه؟ چرا اینقدر کاربردیه حتی بیرون فیزیک؟!

مدل آیزینگ، به عنوان معرف‌ترین مدل در فیزیک آماری، یک مدل ساده برای توصیف گذار فاز در مواد مغناطیسی است. این مدل از متغیرهای گسسته (اسپین) به روی یک گراف مشبکه (Lattice) تشکیل شده است.

ویدیو در یوتیوب

ویدیو در اینستاگرام

برای بیشتر عمیق شدن

شبیه‌سازی مدل آیزینگ

فرکتال‌ها، قوانین توانی، توزیع‌های دم‌کلفت و پدیده‌های بحرانی

سرخس‌ها گیاهانی هستند که شکلی هندسی خاصی دارند. اگر قسمتی از آن‌ها را جدا کنید، با کمی دوران و بزرگ‌نمایی می‌توانید قسمت دیگری را بازسازی کنید. این ویژگی هندسی فرکتال‌ها است. در مورد هندسه فرکتالی و کاربرد آن در فیزیک نکات جالبی وجود دارد. مثلا به نوشته‌های زیر سر بزنید:

تصویری از یک سرخس به عنوان موجودی با ساختار فرکتالی – نگاره از عباس ک. ریزی (ارسفیورد – نروژ)

برای آشنایی با هندسه فرکتالی:

مطالب کمی‌ پیشرفته‌تر:

ویدیو در یوتیوب

ویدیو در اینستاگرام

تراوش جهت‌دار در شبکه‌های زمانی

به فیزیک چکه کردن آب از سقف خونه تاحالا فکر کردید؟! آب روی پشت‌بوم به خاطر جاذبه وارد سقف به عنوان یک محیط متخلخل میشه و بعد از طی کردن یک مسیر پر پیچ و خم ممکنه به پایین سقف برسه و در نهایت چکه کنه! این فرایند خیلی شبیه به سازوکار قهوه درست کردنه؛ اونجا آب یا بخار با فشار زیادی از محیطی به اسم پودر قهوه می‌گذره و در نهایت نوشیدنی قهوه ایجاد میشه. به این پدیده «تراوش» گفته میشه. اگر آب از پشت بوم به داخل اتاق نرسه یا وقتی نوشیدنی قهوه از قهوه‌ساز خارج نشه اصطلاحا می‌گیم تراویدن موفقیت‌آمیز نبوده و تراوش انجام نشده. ساز و کار تراوش به عنوان یک مسئله گذارفاز پیوسته، از نظر فیزیک پدیده‌های بحرانی خیلی جالبه. خصوصا وقتی که تراوش جهت‌دار باشه. مثلا اگه آب فقط بتونه از بالا به پایین بره، تراوش فقط در یک جهت خاص انجام میشه.

شبکه برهمکنشی در مدل آیزینگ – نگاره از مجله کوانتا

مدل آیزینگ ساده‌ترین مدلی هست که گذار فاز پیوسته در شرایط تعادل رو نشون میده.

مسئله دسترسی و مدل تراوش – ویدیو از مجله کوانتا

مدل تراوش جهت‌دار ساده‌ترین مدلیه که گذار فاز پیوسته در شرایط دور از تعادل رو نشون میده.

با این که مدل تراوش جهت‌دار (directed percolation) خیلی ساده‌ به نظر می‌رسه و بیشتر از ۶۰ سال از مطرح شدنش می‌گذره، اما این مسئله روی اکثر شبکه‌ها حل تحلیلی نداره. همین‌طور تا امروز شواهد بسیار محدود در شرایط بسیار کنترل شده‌ی آزمایشگاهی برای این پدیده داشتیم. یعنی تا همین چندسال پیش تردید وجود داشت که آیا این مدل فقط یک مسئله انتزاعی ریاضیه یا این‌که واقعا در طبیعت تراوش جهت‌دار رخ می‌ده؟! خلاصه کلی خون دل خورده شده برای قسمت تجربی ماجرا تا این چیزها رو مردم در آزمایشگاه هم ببینند! مثلا اخیرا یک گروه ژاپنی-فرانسوی این پدیده رو در بلورهای مایع (electrohydrodynamic convection of liquid crystal) مشاهده کردن.

ما در مقاله جدیدمون نشون دادیم که اتفاقا این پدیده زیاد در طبیعت رخ می‌ده؛ فَارْجِعِ الْبَصَر! در واقع نشون دادیم که گذار فاز در مسئله دسترسی (reachability) در شبکه‌های زمانی، تحت شرایطی نگاشت میشه به مسئله تراوش جهت‌دار و گذار فاز دسترسی عضو کلاس عمومی تراوش‌جهت‌داره. میکّو جزئیات فنی‌ بیشتری در این رشته توییت نوشته.

https://twitter.com/bolozna/status/1413046032666177538

می‌تونید این مقاله از مجموعه کارهای ما روی پدیده‌های بحرانی در شبکه‌های زمانی رو اینجا ببینید. همکار ما در این پروژه مارتن کارزای از CEU بود و آرش بدیع‌-مدیری زحمت اصلی این پروژه رو کشیده. این کار از جهت‌های مختلف برای من هیجان‌انگیزه: هم فیزیک داره، هم ریاضی و هم شبیه‌سازی‌های بسیار بسیار بزرگ! هم فاله و هم تماشا! از همه مهم‌تر این‌که هر کس که برای اولین بار به این مسئله فکر کنه ممکنه به این نتیجه برسه که خب این مسئله کاملا بدیهی به نظر می‌رسه! شما چیو نشون دادین پس؟! اما اولا اونقدرا که مردم تصور می‌کنن بدیهی نیست (همون طور که بحث کردیم در مقاله) و از اون مهم‌تر بالاخره بعد از مدت‌ها حدس و گمان باید تکلیف این مسئله روشن می‌شد و گروهی نشون میدادن که وضعیت آگاهی ما از این مسئله در شرایط و تنظیمات مختلف چیه.

2107.015101

پدیده‌های بحرانی و علم شبکه

این ویدیو در مورد کار پژوهشی من یعنی پدیده‌های بحرانی و شبکه‌های پیچیده است. اینجا میگم که چی شد که به این موضوع علاقه‌مند شدم و الان مشغول چه کاری هستم:

منابعی برای یادگیری

یادگیری آمار به صورت آدمیزادی!

کتاب «استنباط آماری در عصر کامپیوترها» نوشته بردلی افرون و ترور هستی یک کتاب مدرنِ عمیق در مورد الگوریتم‌ها، ماشین لرنینگ و علم داده است. کتاب برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی رشته آمار و هر کسی که دانش کافی و علاقه وافی برای خوندنش داشته باشه طبیعتا مناسبه!

Computer Age Statistical Inference
Algorithms, Evidence, and Data Science
Bradley Efron Trevor Hastie

این کتاب به شما کمک می‌کنه تا هم یادبگیرین از الگوریتم‌ها استفاده کنید و هم بفهمین که چرا این کارو انجام می‌دین! کتاب با پرداختن به استنباط آماری کلاسیک شروع می‌کنه، سراغ مکاتب فراوانی‌گرایانه (frequentism) و مکتب بیزی (bayesian) و در بخش دومش به الگوریتم‌ها روش‌های جدید کامپیوتری می‌پردازه. آخر سر هم میره سراغ مباحث روز مثل لاسو، جنگل تصادفی، بوستینگ، شبکه‌های عصبی و یادگیری عمیق!

🎞 در یوتیوب ببینید.

این کتاب توسط دکتر میرصادقی در دانشکده ریاضی شریف تدریس شده و ویدیو کلاس‌هاش موجوده.

📱در اینستاگرام ببینید

از «اثر امپمبا» جدیدا چی می‌دونیم؟!

شاید در مورد اثر امپمبا (Mpemba effect) تا حالا چیزی شنیده باشین. ماجرا این بوده که پسربچه‌‌ای به اسم امپمبا موقع بستنی درست کردن متوجه میشه که هر چی مخلوط شیر رو داغ‌تر بذاره توی فریزر، زودتر بستنی درست میشه و این چیز عجیبیه چون مایع «گرم‌» نسبت به مایع «گرم‌تر»، «دیرتر» سرد میشه! پس صورت مسئله اینه:

سیستم گرمی که با یک منبع سرد در تماس سریع است (quenched) زودتر از یک سیستم سرد به تعادل گرمایی با آن منبع می‌رسد!

بیان اثر امپمبا
نمایش اثر امپمبا – نگاره از Nature
خم قرمز که نماینده تحویل سیستم داغ است نشان می‌دهد که این سیستم در زمان th به تعادل رسیده در حالی که سیستم سرد (آبی) در زمان th<tw به تعادل رسیده که زمان بیشتری است! محور عمودی در واقع فاصله هر آن از سیستم تا تعادل است که به عنوان نماینده‌‌ای برای دما در سیستم‌های غیرتعادلی استفاده می‌شود. نمودار بالا-راست پتاسیل دو‌چاهه‌ای را نشان می‌دهد که یک وضعیت پایدار و یک وضعيت شبه‌پایدار با اختلاف انرژی ΔE ایجاد می‌کند. نیرویی که به ذره‌ای در مکان x وارد می‌شود به جزئیات این چاه پتانسیل بستگی دارد. جزئیات بیشتر در اینجا.
DOI: https://doi.org/10.1038/s42254-021-00349-8

سال‌هاس که سر این ماجرا بحثه که چرا و چگونه!؟ یکی از مشکلات عمده هم طراحی آزمایش‌هایی هست که بشه چندین بار این پدیده رو با دقت مناسبی مشاهده کرد. مشکل دیگه اینه که آیا نظریه خوبی برای توجیه این مسئله میشه پیدا کرد؟! و در صورت پیدا شدن آیا این فقط مختص یک سیستم خاصه یا فهمیدن جواب این پرسش درک ما رو از چیزهای دیگه هم بیشتر می‌کنه؟

چند ماه گذشته آقای کومار به همراه استادش در دانشگاه سایمون فریزر کانادا مقاله‌ای در مجله نیچر منتشر کردن حاکی از این که توی یک سیستم‌ چسب‌سان موفق شدن که اثر امپمبا رو به کرات آزمایش کنند. ایده آزمایش هم اینه که می‌خوایم یه سیستم رو از دو حالت با دماهای مختلف ببریم به یک حالت سرد به این امید که سیستمی که از حالت داغ‌تر شروع کرده، با اینکه از حالت سردتر هم می‌گذره ولی در نهایت زودتر به حالت سرد نهایی می‌رسه. کاری هم که در عمل انجام دادن اینه که بارها گذاشتن یک ذره در یک پتانسیل با شکل خاصی ول‌بگرده (Brownian particle). نتیجه این بوده که برخلاف باور قدیمی‌تر، این پدیده نیاز به یک «گذار فاز» نداره و سازوکار غنی‌تری وجود داره که این پدیده عضوی از اونه.

توی این ویدیو در مورد این اثر و چالش‌هاش نظری و آزمایشگاهی مربوط بهش حرف می‌زنیم و می‌گیم که در حال حاضر چقدر این پدیده رو درک می‌کنیم.

اگه حوصله دیدن این ویدیو رو ندارین، اینجا رو بخونید.

آنیون‌ها و آمار کوانتومی در ۲-بعد

﷽ توی فیزیک، بسته به شرایط مسئله‌ای که مطالعه می‌کنیم، به یه سری چیزها می‌تونیم بگیم ذره. از یک نگاه، فیزیک چیزی نیست جز بررسی ذرات و میدان‌ها. کیهان‌شناس‌ها به منظومه شمسی میگن یه ذره! به عبارت دیگه در فیزیک بسته به مقیاس، وقتی میگن ذره، لزوما منظور شی کوچیکی نیست وقتی با چشم بهش نگاه می‌کنیم. فقط در حوزه «فیزیک ذرات» یا «فیزیک انرژی بالا» مردم منظورشون از ذره معمولا ذرات بنیادیه. تعریف دم‌دستی از ذره بنیادی هم یه چیزیه که ساختار ریزتری نداره؛ مثلا ما ساختار ریزتری برای الکترون نمی‌شناسیم گویا. اما در مورد نوکلئون‌ها (پروتون و نوترون)، اونا رو می‌تونیم با کوارک‌ها بسازیم. پس الکترون و کوارک ذره بنیادی حساب میشن اما پروتون نه. از طرف دیگه، منظور ما از یک «ذره کوانتومی» یا به‌طور کلی یک «پدیده کوانتومی» اینه که فیزیک کلاسیک در توصیف رفتار اون ذره یا پدیده ناکافی یا ناکارآمده و اصطلاحا باید در یک رژیم کوانتومی به دنبال توصیف مناسب بگردیم.

کهکشان‌ها به قدری بزرگ هستند که به ستاره‌ها بشود عنوان یک «ذره» را نسبت داد!
این نوشته از کوانتا مگزین را بخوانید.

حالا اگه علاقه‌مند به مطالعه سیستم‌های بس‌ذره‌ای کوانتومی باشیم، یعنی بخوایم بدونیم که مجموعه‌ای از ذرات کوانتومی با یک مدل برهمکنشی خاص چه‌طوری رفتار می‌کنن اون موقع فیزیک آماری کلاسیکی که برای سیستم‌های بس‌ذره‌ای بلدیم باید قاعدتا به یک نسخه‌ کوانتومی تغییر کنه. در دنیای کوانتومی، ذرات به دو گروه فرمیون‌ها و بوزون‌ها تقسیم میشن. این طبقه‌بندی در دنیای کلاسیک اصلا نیاز نیست. به خاطر این طبقه‌بندی جدید ذرات، وقتی نیاز داشته باشیم که یک سیستم‌ کوانتومی رو به طور آماری بررسی کنیم، باید دقت کنیم که در بررسی اجزا اون سیستم با دو آمار مختلف رو به رو هستیم. یک آمار ویژه فرمیون‌ها به نام «آمار فرمی-دیراک» و یک آمار ویژه بوزون‌ها به نام «آمار بوز-اینشتین». پس منظور از «آمار کوانتومی» مجموعه‌ای از ذرات، یک بررسی فیزیک آماری کوانتومی از اون سیستمه.

یک سری چیزها مثل پروتون، نوترون و الکترون پیرو آمار فرمی-دیراک هستن. این‌ها ذراتی هستن که اسپین‌هاشون کسریه و مضرب یک‌دوم، به اینا میگیم فرمیون. اصل طرد پائولی هم فقط برای فرمیون‌ها برقراره. اصل طرد هم یک جور فاصله‌گذاری اجتماعی بین ذراته! یکی از نتایج اصل طرد اینه که برای داشتن ماده (به معنی اکثر ساختارهای فیزیکی که اطرافمون هست) باید فرمیون‌ها رو کنار هم قرار بدیم و نه بوزون‌ها رو. چون اجتماع فرمیون‌ها منجر به ساختارهای گوناگونی میشه که منجر به ایجاد ماده‌های مختلفی میشن. اما اجتماع بوزون‌ها این شکلی نیست!

مثلا فوتون که کوانتا (ذره) سازنده نوره یک بوزونه و از آمار بوز-آینشتین پیروی می‌کنه. اسپین بوزون‌ها صحیحه و اصل طرد برشون حاکم نیست. به همین خاطر میشه تعداد زیادی فوتون رو جایی جمع کرد بدون اینکه ساختار خاصی شکل بدن. به این کار اصطلاحا میگن چگالش بوز-آینشتین. در نگاه «فیزیک ذرات» برای توصیف هر پدیده‌ای علت رو میندازن گردن یه «ذره»؛ به عنوان مثال، دو تا جسم جرم‌دار رو تصور کنید که به خاطر گرانش بهم نیرو وارد میکنن. در نگاه فیزیک کلاسیک، گرانش انگار پیوسته بین دو جسم وجود داره و سبب میشه که این دو جسم بهم نزدیک بشن. مثلا زمین همیشه داره به خورشید نزدیک میشه به خاطر جاذبه گرانشی، ولی به جای اینکه سقوط کنه روی خورشید دورش میچرخه. حالا سوال اساسی اینه که این برهمکنش چه‌طور انجام میشه؟ از نگاه فیزیک ذرات، این برهمکنش گرانشی با تبادل ذره‌ای به اسم گراویتون بین خورشید و زمین انجام میشه. هنوز از لحاظ تجربی گراویتون مشاهده نشده، اما انتظار میره در صورت مشاهده، بوزونی بی‌جرم اسپین-۲ باشه!

بوز یک فیزیکدان هندی بود. قطار سوار شدن هندی‌ها رو به عنوان چگالش بوز-آینشتین در نظر بگیرید!

خلاصه تا این اواخر ما فکر می‌کردیم که ذرات کوانتومی یا باید فرمیون باشن یا بوزون و وقتی به یک سیستم کوانتومی نگاه می‌کنیم فقط با دو جور آمار روبه‌رو هستیم.

در فیزیک یک طبقه‌بندی دیگه‌ای هم وجود داره که به بعضی چیزها به جای ذره، میگیم شبه‌ذره یا Quasi-particle. این‌ها در حقیقت موجوداتی هستن که از برانگیختگی‌ میدان‌ها بیرون میان، مثل فنون‌ها. در فیزیک ماده‌چگال، فنون‌ها ذراتی هستن که سبب رسانش گرمایی توی فلزات میشن. این شبه‌ذرات همون چیزایی هستن که ما بهشون میگیم ذره پدیداره یا emergent particle. انگار ذره‌ای در عمل نیست توی یه تکه فلز، اما ذره‌ای خلق شده جوری که مسئولیت رسانش گرمایی رو برعهده گرفته. برای همین، غیر از ذرات کوانتومی معروفی مثل پروتون، نوترون و الکترون یک سری ذره دیگه هم وجود دارده مثل فونون و گراوتیون که ذرات کوانتومی هستن. برای همین انتظار اینه که همه این ذرات آمارهای کوانتومی داشته باشن.

پس:

  • بسته به مقیاس مورد مطالعه‌مون به هر چیزی می‌تونیم بگیم ذره.
  • اگه ذره‌ای کوانتومی حساب بشه اون موقع اجتماعی از اون ذرات باید از آمار کوانتومی پیروی کنه.
  • آمار کوانتومی دو نوع داشت: آمار فرمی-دیراک و آمار بوز-آینشتین

راستش همه این حرفا برای ۳-بعد بود. توی ۱۰ – ۱۲ سال گذشته مردم به صورت نظری راجع به این حرف زدن که در ۲-بعد ذرات می‌تونن آمار خیلی غنی‌تری از خودشون نشون بدن! یعنی در ۲-بعد نمیشه همه رو به دو دسته فرمیون و بوزون دسته‌بندی کرد. در ۲ بعد خیلی خبرهای بیشتری داریم. از پیشگامان این عرصه نوبلیستی بود به اسم فرانک ویلچک. (با تاماش ویچک اشتباه گرفته نشه!)

اگه مردم بتونن نتایج آزمایش بالا رو بدون کم و کاست تکرار کنن، یک اتفاق بسیار مهم تو فیزیک به حساب میاد. به‌طور خلاصه، با این‌که ذرات در ۳-بعد یا آمار فرمیونی دارن یا بوزونی اما در ۲-بعد داستان خیلی پیچیده‌تره. اگر فازی که در اثر جابه‌جایی دو تا ذره به دست میاد رو به شکل $e^{i \theta}$ در نظر بگیریم برای بوزون‌ها θ صفره و برای فرمیون‌ها π. اما در ۲-بعد θ می‌تونه هر عددی باشه! حتی بالاتر از این میشه یه فضای برداری تعریف کرد و به جای یه فاز یه ماتریس یکانی اونجا گذاشت! (این اون چیزی‌است که محاسبات کوانتومی توپولوژیک قراره ازش استفاده کنه).

پیشنهاد می‌کنم این نوشته‌ رو بخونید و فرانک ویلچکو در توییتر دنبال کنید. ویلچک جزو فیزیکدونای بزرگیه که تلاش میکنه مردم عادی هم فیزیک رو بفهمن. مثلا در مورد شبه‌ذره‌ای مثل آنیون‌ هم مطالب و سخنرانی‌های جالبی داره:

جدید: این نوشته رو در مورد ویلچک بخونید: A Prodigy Who Cracked Open the Cosmos