رفتن به نوشته‌ها

Author: سعیده زارع

من سعیده زارع هستم. مشتاق ترویج عمومی علم. جایی بین فیزیک، ریاضیات، و علم داده‌ها پرسه می‌زنم.

چگونه با آمار دروغ بگوییم؟

من خوب به خاطر دارم که وقتی دبیرستانی بودم، تمام رشته‌های تحصیلی در دبیرستان درس آمار رو می‌گذروندن. بعدها که بیشتر با مسائل روز درگیر شدیم تنگاتنگ بودن ارتباط آمار با وقایع اطرافمون رو بهتر متوجه شدم. ناهم‌خوانی‌هایی این وسط وجود داشت. همه‌چیز گرون میشه اما نرخ گرون شدن اجناس با تورمی که از سوی بانک مرکزی اعلام میشه همخوانی نداره. آمار بیکاری با چیزی که واقعا می‌بینیم تضاد داره. اخبار وارونه جلوه داده میشه. اتفاقات مثبت با کمی بازی با کلمات، منفی جلوه داده میشه. گاهی برای نمایش نتیجه‌ی مطلوب همبستگی رو به جای علیت نشون میدن.و خلاصه کلی مثال این شکلی دیگه که وجود داره و آدم رو گیج می‌کنه.

من چند وقت پیش اتفاقی با کتاب چگونه با آمار دروغ بگوییم آشنا شدم و خوندمش. کتاب بسیار کوتاه نوشته شده و مثال‌هاش کاربردیه.این کتاب به ما کمک می‌کنه یک بار دیگه و با ذهن نقاد سراغ آمار و اخباری که هرروز درباره‌ی وقایع زندگی‌مون می‌شنویم بریم.

در بخشی از کتاب می‌خونیم:

فرض کنید که بعد از مدت‌ها جستجو و تحقیق از محله‌های مختلف شهر تهران، برای خرید خانه در منطقه‌ای به ظاهر متشخص، به بنگاه معاملات املاکی می‌رویم. بنگاه‌دار شروع می‌کند به بیان خوبی‌های آن منطقه و امکانات بیشمار آن و در نهایت اعلام می‌کند که علاوه بر تمامی مزایای این منطقه، مزیت مهم دیگر این منطقه این است که «اعیان‌نشین» به حساب می‌آید، زیرا که طبق آمار رسمی دولت، «میانگین درآمد سرانه ساکنین این منطقه در سال ۱۰۰ میلیون است». بعد هم اضافه می‌کند که در این منطقه کلی حاجی‌های بازار و دکترهای خارج‌رفته زندگی می‌کنند. ما هم مسحور این جملات می‌شویم و احتمالا در آرزوی برخورداری از کیفیت بالای زندگی در کنار حاجی‌های بازاری و دکترهای خارج‌رفته که پولدارند، خانه را به قیمت بالایی بدون چانه‌زدن می‌خریم زیرا احتمالا در چنین منطقه پولدار و متشخصی، چانه زدن دون شان و تشخص است.سرخوشی ما از این معامله سراسر سود و خوبی ادامه دارد که ناگهان یک ماه بعد نامه‌ای از شهرداری برای تمامی ساکنان منطقه ارسال می‌شود. مضمون نامه این است که چون منطقه سکونت ما جزو مناطق خوش‌نشین و پولدارنشین حساب می‌شود و هزینه‌های تمیزکاری و درختکاری آن بیشتر از مناطق دیگر است، شورای شهر تصمیم گرفته است که عوارض شهرداری این منطقه را چند برابر کند. ناگهان صدای اعتراض از همه مردم منطقه بلند می‌شود و گروهی به ریاست همان آقای بنگاهدار برای مذاکره با شهرداری تشکیل می‌شود. در جلسه با مسئولین شهرداری، آقای بنگاهدار کلا این ادعا را که این محله جزو مناطق اعیان‌نشین و پولدار است، از پایه و اساس رد می‌کند! او می‌گوید که در محله آنها، کلی آدم بیکار و کارمند وجود دارد به طوریکه طبق آمار رسمی نصف مردم محله زیر ۲۰ میلیون در سال درآمد دارند که تقریبا نزدیک خط فقر است!

این کتاب ترجمه‌ی کتاب How to lies with statistics? هست که البته مترجم مثال‌هایی از کشور خودمون رو وارد ترجمه‌ی کتاب کرده که متن کتاب به ذهن خواننده آشناتر باشه.

این شما و این هم کتابی کوتاه و مفید درباره‌ی آمار.

خم‌شدن نور در میدان گرانشی

تا حالا از خودتون پرسیدید که آیا گرانش می‌تونه روی مسیر حرکت نور هم تاثیر بذاره و اون رو از خط مستقیم منحرف کنه یا نه؟ با من باشید. می‌خوایم درباره‌ی این موضوع با هم صحبت کنیم. دو تا دیدگاه رایج نسبت به پدیده‌ی گرانش وجود داره؛دیدگاه نیوتونی و دیدگاه نسبیت عام. توصیف نیوتونی گرانش منجر به پیش‌بینی‌هایی شده بود که بعدها با اومدن نسبیت عام، این پیش‌بینی‌ها دقیق‌تر شد. یکی از این پیش‌بینی‌ها خم شدن نور در میدان گرانشیه.

نیوتون معتقد بود همونطور که ذرات مادی از مسیر خودشون به واسطه‌ی میدان گرانشی منحرف می‌شوند، نور هم این قابلیت رو داره. نیوتون این دیدگاه رو در کتاب اپتیک خودش منتشر کرد، و موفق شده بود مقداری برای انحراف نور ستارگان توسط میدان گرانشی خورشید محاسبه کنه.

مسئله‌ی خم‌شدگی نور در اطراف میدان گرانشی سال‌ها قبل از تدوین نسبیت عام ذهن آینشتین رو به خودش مشغول کرده بود.در سال ۱۹۱۱ تلاش‌هایی کرد که بتونه مقداری برای انحراف نور ستارگان در میدان گرانشی خورشید محاسبه کنه. اولین قدمی که برداشت این بود که از فرمالیزم نیوتونی استفاده کرد و به نتیجه‌ای نرسید. چون جرم فوتون صفره و طبق قانون گرانش نیوتون باید مقدار برهمکنش بین فوتون و خورشید صفر بشه. اما این‌طوری نبود و آینشتین هم کوتاه نیومد.آینشتین می‌دونست که ذرات فوتون از انرژی تشکیل شدن. معتقد بود انرژی گاهی رفتار جرم‌مانند داره. به این ترتیب موفق شد انحراف نور ستارگان در حضور میدان گرانشی خورشید رو محاسبه کنه. آینشتین در محاسبات خود عدد ۰/۸۷ ثانیه‌ی قوسی رو به دست آورده بود که این عدد با عددی که نیوتون به دست آورده بود برابر بود. بعد از ظهور نسبیت عام این محاسبات تصحیح شد و مقدار دقیق دو برابر مقداری بود که نیوتون به دست آورده بود.

بعد از ظهور نسبیت عام، آینشتین متوجه شد که در محاسبات قبلی خودش دچار اشتباه شده.در فضا-زمان تخت هر تغییر کوچکی در هندسه‌ی چهاربعدی با رابطه‌ی زیر نشون داده میشه.
$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}$$ که c سرعت نور، dt تغییرات زمان و dl تغییرات طوله. نور مسیری رو طی می‌کنه که $ds^{2}=0$ باشه. در نسبیت عام، فضا-زمان تخت نیست. پس نور هم مسیر مستقیم‌الخط رو طی نمی‌کنه.در حد میدان گرانشی ضعیف، هندسه‌ی فضا-زمان با رابطه‌ی زیر توصیف میشه.
$$ds^{2}=(1+ \frac{2GM}{r c^{2}}) c^{2} dt^{2} – (1-\frac{2GM}{rc^{2}}) dl^{2}$$
از آنجایی که تصحیحات در مرتبه‌ی $\frac{GM}{rc^{2}}$ کوچکه ، آینشتاین در محاسبات قبلی خودش از جملات مرتبه‌ی بالاتر صرف‌نظر کرده بود. محاسبات آینشتاین تا تقریب مرتبه‌ی اول منتهی به نتایج نیوتون می‌شد؛ اما بعد از اینکه تصحیحات مرتبه‌ی بالاتر رو وارد محاسباتش کرد به مقداری دو برابر مقدار قبلی برای میزان انحراف نور ستارگان در میدان گرانشی خورشید دست پیدا کرد.

خم شدن نور در حضور جسم سنگین

تا این‌جای کار فقط محاسبات روی کاغذه. باید دید که پیش‌بینی آینشتاین درست بوده یا نه. آیا واقعا نور در میدان گرانشی منحرف میشه؟ آیا مقداری که برای انحراف نور ستارگان به دست اومده، با آزمایش تطبیق داره؟
آرتور ادینگتون، منجم انگلیسی، در سال ۱۹۱۵ توسط ویلیام دوسیته از ظهور نسبیت عام باخبر میشه.ادینگتون بسیار به نسبیت عام علاقمند شده بود، و خیلی سریع به جنبه‌های تجربی نسبیت عام پرداخته بود. خورشیدگرفتگی ۲۹ می سال ۱۹۱۹ زمان مناسبی بود که ادینگتون و همکارانش درستی پیش‌بینی انحراف نور در میدان گرانشی رو بررسی کنند.دایسون و ادینگتون به همراه تیم رصدی خودشون به نقاط مختلف سفر کردند. دایسون و همکارانش به شمال برزیل، و ادینگتون و همکارانش به جزیره‌ای در غرب آفریقا سفر کردند.در این رصد ادینگتون در حین خورشیدگرفتگی از ستارگان زمینه‌ی آسمان تصویربرداری کرد. و بعد تصاویر دیگه‌ای از ستارگان در آسمان شب گرفت. با مقایسه‌ی این تصاویر متوجه شد که موقعیت ستارگان در آسمان حین کسوف و شب با همدیگه فرق داره. واقعا نور ستارگان تحت تاثیر میدان گرانشی خورشید خم شده و جایگاه ستارگان متفاوت از حالت شب به نظر می‌رسد.

عدسی‌های گرانشی

خم‌شدن نور در میدان گرانشی، منجر به پدیده‌ی همگرایی میشه. یک عدسی رو تصور کنید که وقتی پرتو نور رو از چشمه‌ای دریافت می‌کنه، نور رو در نقطه‌ی دیگری همگرا می‌کنه. در کیهان خوشه‌ها، کهکشانها، و سایر اجرام پرجرم می‌تونن رفتاری شبیه عدسی داشته باشند. درواقع وقتی نور از ستاره‌ای پشت این اجرام به چشم ما روی زمین میرسه، این نور در میدان گرانشی حاصل از اون جرم خم شده و از مسیرهای مختلف به چشم ما می‌رسه. گاهی این نوری که از مسیرهای مختلف به چشم ما می‌رسه، یک حلقه‌ی نورانی برای ما تشکیل میده. پدیده‌ی همگرایی گرانشی منجر به این می‌شه که پژوهشگران بتونن اطلاعاتی درباره‌ی جرمی که باعث همگرایی شده به دست بیارن. امروز برای مطالعه‌ی ماده تاریک از همین پدیده‌ی همگرایی گرانشی استفاده می‌کنند.

نسبیت عام پیش‌بینی‌های زیادی داره. و همون‌طور که در سال‌های گذشته دیدید با پیشرفت ابزارهای آزمایشگاهی و رصدی پژوهشگران موفق به تایید این پیش‌بینی‌ها شدند. سال ۲۰۰۸ فیلمی ساخته شد به نام آینشتاین و ادینگتون . این فیلم درباره‌ی تلاش‌های ادینگتون برای تایید درستی خم‌شدن نور در میدان گرانشی‌ه. من بیشتر از این درباره‌ی این موضوع حرف نمی‌زنم. شما رو دعوت می‌کنم که در این روزهایی که در خانه‌هاتون نشستید و در آستانه‌ی سال نو، این فیلم دوست‌داشتنی و تاریخی رو ببینید.

اینشتین و ادینگتون (به انگلیسی: Einstein and Eddington) فیلمی به کاگردانی فیلیپ مارتین و نویسندگی پیتر موفات که در ۲۲ نوامبر ۲۰۰۸ به نمایش درآمد. این فیلم نگاهی به تکامل نظریهٔ نسبیت آلبرت اینشتین و رابطهٔ او با دانشمند بریتانیایی سر آرتور ادینگتون، اولین فیزیکدانی که ایده‌های او را درک کرد می‌اندازد. ویکی‌پدیا

اهمیت آموزش ریاضیات در بستر تاریخ ریاضیات و سایر علوم

به گفته‌ی مورخان، ریاضیات ابتدایی بخشی از نظام آموزشی جوامع باستانی را تشکیل می‌داده و یونان، روم و مصر باستان جوامعی بوده‌اند که در آن‌ها ریاضیات آموزش داده می‌شده است. در آن دوران، آموزش ریاضیات کاری مردانه تلقی می‌شده و فقط دانش‌آموزان پسر از آن بهره‌ می‌بردند. این تبعیض در آموزش ریاضیات تا سالیان سال ادامه داشته و هنوزم که هنوز است که برای برخی ریاضی چیزی است که بیشتر مناسب مردها است! در نگاه به زندگی امی نوتر -مادر جبر نوین- در آلمان قرن ۱۹ میلادی، ردپاهای جدی چنین تبعیضی به شدت مشخص است. البته این نکته قابل ذکر است که بنا بر آنچه که مورخین گزارش می‌کنند فیثاغورس در زمان خود به آموزش ریاضیات می‌پرداخته و برخلاف سنت گذشتگان، معاصران و آیندگان خود به دختران نیز آموزش ریاضیات می‌داده است. اولین کتاب آموزش ریاضیات در قرن شانزدهم میلادی توسط رابرت ریکورد به زبان انگلیسی و فرانسه نوشته شده است. همزمان با انقلاب صنعتی نیاز مردم در جامعه به ریاضیات بیشتر احساس شد. شمردن، نحوه‌ی خواندن ساعت، شمارش پول و… همه از نیازهایی بود که مردم برای زندگی روزانه در یک جامعه‌ی شهری احتیاج داشتند. به همین منظور ریاضیات بخش مهمی از نظام آموزش عمومی را تشکیل داد. با آغاز قرن بیستم میلادی ریاضیات به عنوان یکی از پایه‌های آموزش عمومی در تمام کشورهای توسعه‌یافته شناخته شد.

در ایران نیز تا پیش از تاسیس دارالفنون آموزش ریاضیات ابتدایی در مدارس دینی رواج داشت. دوران صفویه و زندیه در مقایسه با دوران‌های پیش از خود از جهت حضور ریاضی‌دانان برجسته‌ای چون غیاث‌الدین جمشید کاشانی دورانی کم‌فروغ به شمار می‌آمده است اما به علت وجود حوزه‌های علمیه و لزوم دانستن محاسبات شرعی طلاب و علمای دینی ریاضیات ابتدایی را در حوزه‌های علمیه می‌آموختند. روی کار آمدن سلسله‌ی قاجار همزمان شد با پیشرفت‌های چشمگیر و تحولات سریع اروپا. پس از جنگ‌های ایران و روسیه و شکست نظامیان ایران عباس میرزا در پی اصلاحات اساسی برآمد که یکی از ثمرات این اصلاحات تاسیس مدرسه‌ی دارالفنون بود. با گسترش دارالفنون ریاضیات اروپایی در قالب آموزش، چاپ کتب آموزشی، و ترجمه‌ی آثار ریاضی‌دانان وارد ایران شد.پس از دارالفنون مدرسه‌ی دیگری به همین نام این‌بار در تبریز تاسیس شد. پس از آن میرزاحسن رشدیه با تلاش‌های خود موفق شد مدرسه‌ی دیگری برای آموزش نوین راه‌اندازی کند. با گسترش مدارس نیاز به معلمان دانش‌آموخته بیش از پیش احساس می‌شد و همین امر منجر به تاسیس دارالمعلمین عالی و پس از آن دانش‌سراهای عالی شد. دانش‌سرای عالی و روش علمی و آموزشی آن بعدها اثرات چشمگیری در گسترش ریاضیات در ایران داشت.

آموزش ریاضیات یکی از مهم‌ترین چالش‌های نظام‌های آموزشی در طی سالیان گذشته و اکنون در جهان به شمار می‌آید تا جایی که سالیانه پژوهش‌های زیادی درباره‌ی چگونگی آموزش ریاضی صورت می‌گیرد. ریاضیات از قدیمی‌ترین تلاش‌های بشر برای شناخت و توصیف جهان به شمار می‌رود. پیشرفت‌های چشمگیر سایر علوم نظیر فیزیک، شیمی و زیست‌شناسی نیز مرهون ریاضیات است. ریاضیات مانند سایر علوم پدیده‌ای اجتماعی است و شناخت و یادگیری آن نیز در بستر شناختن تاریخ و اجتماع و پدیده‌هایی که شهود انسان را می‌سازند بهتر اتفاق می‌افتد.

دلایل متعددی برای آموزش ریاضیات به همراه تاریخ آن وجود دارد؛ اگر ریاضیات را مستقل از تاریخ آن به دانش‌آموز آموزش داده شود، دانش‌آموز با روابطی مواجه می‌شود که احتمالا آنها را انتزاعی می‌پندارد و برای خود سهمی در گسترش آن روابط قائل نخواهد بود. دانستن تاریخ ریاضیات چشم‌انداز گسترده‌ای از تحول و حل مسائل ریاضی به دانش‌آموز می‌دهد و این امکان را فراهم می‌کند که مشکلات را شناسایی کنند و برای حل آنها دست به تعمیم و اثبات فرضیات علمی بزند. تاریخ ریاضیات بخشی از تاریخ کل جامعه‌ی بشری است که در آن به ما می‌گوید بشر چگونه ریاضیات را توسعه داده و از نتایج آن برای بهبود زندگی خود استفاده کرده است. بنابر نتایج تحقیقات به نظر می‌رسد که دانستن تاریخ علوم در فرآیند یادگیری دانش‌آموزان تاثیر به‌سزایی دارد.

ولادیمیر ایگورویچ آرنولد، ۱۹۳۷ در شوروی– ۲۰۱۰ در پاریس، فرانسه) – نگاره از ویکی‌پدیا

اما دانستن تاریخ ریاضیات فقط بخشی از آن است. همان‌طور که سایر علوم پیشرفت خود را مرهون ریاضیات‌اند، ریاضیات نیز بسیاری از ایده‌های خود را از سایر علوم گرفته است. برای فهمیدن ایده‌های مختلف ریاضیات لازم است که به سایر علوم نیز نظر بیفکنیم.

آرنولد، ریاضی‌دان روس، در سال ۱۹۹۷ در یک سخنرانی انتقادات شدیدی به نظام آموزش ریاضی وقت فرانسه وارد کرد. متن ترجمه شده‌ی این سخنرانی را می‌توانید از اینجا بخوانید. آنچه در سخنان آرنولد جالب توجه است انتقاد به جدا کردن ریاضیات از فیزیک و هندسه بود. در آن دوران آموزش ریاضی در فرانسه با تحولات عجیبی روبرو شده بود. ریاضیات به صورت کاملا مجرد و مجزا از سایر علوم آموزش داده می‌شد. زمانی از یک دانش‌آموز دبستانی پرسیدند ۲+۳ چه عددی می‌شود و او در پاسخ گفته بود ۲+۳=۳+۲ زیرا جمع خاصیت جابجایی دارد!

ریاضیات بخشی از فیزیک است. فیزیک علمی است تجربی، بخشی از علوم طبیعی. ریاضیات بخشی از فیزیک است که در آن آزمایش ارزان است. … از آنجا که ریاضیات اسکولاستیک جداشده از فیزیک، نه به کار آموزش می‌آید و نه به کار کاربرد در دیگر علوم، نتیجه چیزی نبود جز نفرت همگانی از ریاضیات – هم از طرف بچه مدرسه‌ای‌های بینوا (که برخی از آنها در همین حین وزیر و وکیل شدند) و هم از طرف کاربران.

ولادیمیر آرنولد، درباره آموزش ریاضیات
On teaching mathematics by V.I. Arnold

مثال‌هایی از این قبیل در آن زمان و در آن نظام آموزشی به‌وفور یافت می‌شده است. امروزه بنابر نتایج پژوهش‌ها به نظر می‌آید برای آموزش تاثیرگذار ریاضیات در کلاس درس باید به جنبه‌های تاریخی و فرهنگی ریاضیات و ارتباط ریاضی با سایر علوم توجه ویژه کرد. حین نوشتن این مطلب کمی به کتاب‌های تألیفی آموزش و پرورش ایران در ریاضیات نگاه کردم. پس از حدود یک دهه که از مدرسه خارج شده‌ام و به تحصیل فیزیک و ریاضی در دانشگاه پرداختم تازه متوجه شدم که چرا در مدرسه‌ی راهنمایی هم‌کلاسی‌هایم علاقه‌ی چندانی به ریاضیات نداشتند و در یادگیری آن ضعیف عمل می‌کردند. کتاب‌های درسی‌مان تقریبا خالی از هر داستان تاریخی و خالی از هر پیوندی بین ریاضیات و زندگی بودند. آموزش ریاضیات به بخشی از آموزش‌های کشورهای توسعه‌یافته در قرن بیستم بدل شد چرا که انسان شهری نیازمند مهارت‌های ریاضی برای زندگی خود بود. به نظر می‌رسد آموزش زمانی مفید و موثر است که پیوند تنگاتنگ ریاضیات و سایر جنبه‌های علم و زندگی به خوبی به دانش‌آموزان نشان داده شود. این یکی از حلقه‌های مفقوده‌ی آموزش ریاضیات است.

اگر معلم هستید و این نوشته را می‌خوانید، این بار قبل از شروع درس در کلاس‌تان برای دانش‌آموزان قصه‌ای از تاریخ علم بگویید و اجازه دهید ارتباط بین آنچه می‌آموزند و زندگی روزانه‌شان را کشف کنند. نتیجه‌ی خوب آن را تا پایان سال تحصیلی مشاهده خواهید کرد.

پی‌نوشت: درباره‌ی مقاله‌ی آرنولد توضیحات بیشتری توسط سیاوش شهشهانی استاد ریاضی دانشگاه شریف نوشته شده است که می‌توانید اینجا مطالعه کنید.

gamma_no_07_pp_11-18

انتگرال لبگ

در شاخه‌ی آنالیز حقیقی، انتگرال ریمانی مفهومی است که در آن به شکلی ارتباط بین یک تابع و مساحت زیر آن را در یک بازه مشخص می‌کند. انتگرال ریمانی کاربردهای فراوانی در علم دارد و البته دچار کاستی‌هایی نیز هست. به منظور رفع کاستی‌های انتگرال ریمانی، ریاضی‌دانان در پی ابداع کردن نظریات انتگرال دیگری برآمدند. یکی از این‌ نظریات، نظریه اندازه‌ و انتگرال لبگ است.

انتگرال ریمانی:

در فضای اعداد حقیقی بازه‌ای چون (a,b) را درنظر بگیرید. انتگرال ریمانی تابع f(x) برروی این بازه، معادل مساحت زیر نمودار تابع است.

مقدار این انتگرال برابر است با:

$ S= \int_{a}^{b}f(x) dx $

ریمان برای محاسبه‌ی مساحت زیر نمودار و معرفی انتگرال ریمانی، از ایده‌ی قسمت‌بندی کردن بازه‌ای که انتگرال بر روی آن محاسبه می‌شود، استفاده کرد.به بیان ریمان اگر بازه‌ها را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنیم به‌گونه‌ای که :$ a=x_{0} <x_{1} <… < x_{n} = b $ باشد و $ \Delta x_{i} = x_{i} – x_{i-1}$ . سپس با استفاده از دو مفهوم سوپریمم و اینفیمم (کوچکترین کران بالا و بزرگترین کران پایین) مجموع‌های زیر را تعریف کرد.

$\sum_{i=1}^{n}M_{i} \Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{n} \sup f(x) \Delta x_{i} $

$$ \sum_{i=1}^{n}m_{i} \Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{n} \inf f(x) \Delta x_{i} $$

یک تابع انتگرال‌پذیر ریمانی است، هرگاه:

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i} = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i} $$

هرگاه دو حد بالا موجود و برابر باشند، تابع انتگرال‌پذیر ریمانی است. انتگرال ریمان در شاخه‌های علم محاسبات را تسهیل کرده است، اما با نارسایی‌هایی مواجه است که در ادامه به آن می‌پردازیم.

۱. انتگرال ریمان، یک انتگرال وابسته به وجود حد است.

به این معنی که برای وجود پاسخ انتگرال ریمانی باید دو حد $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} \sup f(x) \Delta x_{i} $$ و $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} \inf f(x) \Delta x_{i} $$ موجود باشد. در غیر این صورت، تابع انتگرال‌پذیر نیست.

۲. انتگرال ریمانی به پیوستگی تابع وابسته است.

توابعی که دچار ناپیوستگی‌های اساسی باشند، انتگرال‌پذیر نیستند. (توابع تکه‌ای پیوسته انتگرال‌پذیرند.)

۳.انتگرال ریمانی از R به R تعریف شده است.

یعنی اگر دامنه انتگرال به جای R ، $R^{2}$ باشد انتگرال ریمانی تعریف نشده است.

انتگرال لبگ و نظریه‌ی اندازه‌ها، کاستی‌های انتگرال لبگ را رفع کرده است و کلاس خاصی از فضای هیلبرت را نیز ساخته است.

اندازه چیست؟

نظریه انتگرال لبگ نیازمند روشی ساختاریافته است که در آن بتواند مفهوم اندازه را معرفی کند. به بیان ساده اندازه تعمیمی از طول، مساحت، و حجم است. بازه‌ی [a,b] را درنظر بگیرید. طول این باز معادل b-a است. حالا دو بازه‌ی کاملا مستقل [a,b] و [c,d] را درنظر بگیرید. به نظر می‌رسد که طول مجموع این دو بازه (b-a)+(d-c) است. اگر بازه‌ها زیرمجموعه‌ی اعداد گنگ باشد چه می‌شود؟ آیا می‌توان به سادگی مفهوم طول را معرفی کرد؟ به نظر می‌رسد این‌جا نیازمند تعاریف دقیق‌تر ریاضی هستیم.

سیگما -جبر

مجموعه‌ای به نام X را درنظر بگیرید. $ \Sigma $ یک مجموعه از زیرمجموعه‌های X است. آن را سیگما-جبر می‌گوییم، هرگاه ویژگی‌های زیر را داشته باشد.

  • X و تهی عضو سیگما باشند.
  • اگر E عضو سیگما بود، متمم آن نیز عضو سیگما باشد.
  • اجتماع تعداد شمارایی از اعضای سیگما، مجددا عضو سیگما باشند.

حال با دانستن تعریف سیگما- جبر به سراغ مفهوم اندازه می‌رویم؛

تابع اندازه ، $\mu (X)$،برروی مجموعه‌ی X تعریف می‌شوند که X سیگما-جبر است. این تابع دارای خواص زیر است.

۱. اگر X مجموعه تهی یا تک‌عضوی باشد، اندازه آن صفر است. در غیر این صورت، اندازه آن همواره مثبت است.

۲.اندازه‌ی مجموع دو مجموعه‌ی بدون اشتراک برابر با مجموع اندازه‌های هرکدام از مجموعه‌هاست. یعنی:

$$ \mu(X_{1} + X_{2})= \mu (X_{1}) + \mu(X_{2})$$

هرگاه

$$ X_{1} \cap X_{2} = \phi$$

اندازه لبگ

مهم‌ترین قسمت انتگرال‌گیری لبگ، یافتن اندازه برروی مجموعه‌ای است که روی آن انتگرال اعمال می‌شود. اگر یک مجموعه شامل ناپیوستگی‌های بسیار باشد، باید راهی پیدا کنیم تا بتوانیم اندازه را بر روی این مجموعه‌ تعریف کنیم. حاصل کار اندازه‌ی لبگ است. با یک مثال ساده، انتگرال لبگ را تعریف می‌کنیم. بازه‌ی بسته‌ [a,b] به طول L را در نظر بگیرید. این بازه را می‌توانیم به دو بازه با اشتراک صفر تقسیم کنیم. مجموعه X شامل نقاطی که عضو [a,b] هستند و ‘X (متمم مجموعهX) شامل نقاطی از [a,b] است که در X وجود ندارد. تصویر زیر را نگاه کنید.

مجموعه X و متمم آن

می‌خواهیم اندازه لبگ را بر روی این دو مجموعه تعریف کنیم. بدین منظور، X را با بازه‌های بدون اشتراک$\Lambda_{i}$نشان می‌دهیم. در بیان نظریه مجموعه‌ها، داریم:

$$ \Lambda_{i} \subset [a,b]$$

$$\Lambda_{i} \cap \Lambda_{j} = \phi$$

$$X \subset (\Lambda_{1} + \Lambda_{2} +…)$$

اگر طول بازه $\Lambda_{k}$ را معادل $l_{k}$ بدانیم، از آنجا که طول بازه [a,b] برابر L است، نامساوی زیر صادق است.

$$ 0 \leqslant \Sigma_{k}l_{k} \leqslant L$$

کمترین مقدار $\Sigma_{k}l_{k}$ را اندازه بیرون می‌نامیم. به بیان دیگر :

$$ \mu_{out}(X) = inf (\Sigma_{k} l_{k} )$$

به همین ترتیب، مجموعه‌های $ \Lambda_{k}^{\prime} \subset [a,b]$ را معرفی می‌کنیم.

$$ X^{\prime} \subset (\Lambda_{1}^{\prime} +\Lambda_{2}^{\prime} +…) $$

$$ 0\leqslant \Sigma_{k} l_{k}^{\prime} \leqslant L$$

و اندازه داخل را به فرم $\mu_{in}(X)= L- \mu_{out}(X^{\prime}) = L- inf(\Sigma_{k} l{k}^{\prime})$ معرفی می‌کنیم. ضمنا

$$ 0 \leqslant \mu_{in}(X) \leqslant \mu_{out} (X) $$

زمانی $\mu_{in}(X) =\mu_{out}(X)$ شود، آنگاه $\mu_{in}(X)=\mu_{out}(X)=\mu(X)$ و $\mu(X)$ اندازه لبگ است.

انتگرال لبگ چیست؟

تابع f(x) را به‌گونه‌ای در نظر بگیرید که از بالا و پایین توسط بیشینه و کمینه خود محدود شده است.

$$ 0 \leqslant f_{min} \leqslant f(x) \leqslant f_{max}$$

تابع f(x) را به دنباله‌ی $ {f_{k}} $ تقسیم می‌کنیم به طوری که، $ f_{1}= f_{min}$ و $f_{n}=f_{max}$ باشد. با توجه به تناظر یک به یک بین x و f(x) مجموعه‌های $ X_{i}$ وجود دارند به گونه‌ای که:

$$ f_{k} \leqslant f(x) \leqslant f_{k+1} , x \in X_{k} , 1 \leqslant k \leqslant n-1 $$

برای هر مجموعه $ X_{k} $، اندازه‌ای درنظر می‌گیریم و اکنون می‌توانیم مجموع لبگ را تعریف کنیم.

$$ \Sigma_{k=1}^{n} f_{k} \mu(X_{k}) $$

اگر در $ n\to \infty$ این مجموع همگرا شود، آنگاه می‌توان انتگرال لبگ را تعریف کرد.

$$\int_{X} f d\mu \equiv lim_{max|f_{k}-f_{k-1}| \to 0} [\Sigma_{k=1}^{n} f_{k} \mu(X_{k})]$$

انتگرال لبگ

انتگرال ریمان و انتگرال لبگ

اکنون قصد دارم انتگرال ریمان را به روش انتگرال لبگ تعریف کنم تا بهتر متوجه شباهت‌ها و تفاوت‌های آنها شویم.

تابع f(x) که در بازه‌ی [a,b] تعریف شده را در نظر بگیرید. اگر $X=[a,b]$ را به بازه‌های بدون اشتراک $X_{i}$ تقسیم کنیم، مجموع ریمان به فرم زیر تعریف می‌شود.

$$ \Sigma_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\mu(X_{k}) , \xi_{k} \in X_{k}$$

این مجموع به‌گونه‌ای تعریف شده است که هر گاه $ n\to\infty$ برای هر $X_{k}$ ، $\mu(X_{k}) . . . \to 0$ در صورت وجود حد $\lim_{n \to \infty} \Sigma_{k=1}^{n} f(\xi_{k}) \mu(X_{k})$ این مجموع، انتگرال ریمان تابع f(x) بر X است.

اگرچه تعریف مجموع لبگ با مجموع ریمان که در بالا تعریف کردیم، شباهت‌هایی دارد،اما تفاوت‌های اساسی در این دو مجموع مشهود است. در مجموع ریمان، f(x) را در هر نقطه‌ی دلخواه $\xi_{i} \in X_{i}$ درنظر می‌گیریم. اما در مجموع لبگ مقدار f(x) را در هر زیرمجموعه $X_{k}$ درنظر می‌گیریم. به این‌ترتیب برای وجود انتگرال لبگ نیازی به شرط هموار بودن موضعی تابع نداریم. به دو شکل زیر نگاه کنید تا آنچه که اینجا بیان شده است، بهتر مشخص شود.

مجموع ریمان در هر نقطه از تابع تعریف می‌شود.
مجموع لبگ در هر بازه تعریف می‌شود.

ویژگی‌های انتگرال لبگ

۱. انتگرال لبگ یک تابع صفر است، هرگاه اندازه‌ی مجموعه‌ی آن صفر باشد.

۲. انتگرال لبگ یک تابع متناهی است، لذا زیرمجموعه‌ی $X^{\prime}=\{x| f(x)= \pm\infty\}$ وجود دارد به‌طوری که$\mu(X^{\prime})=0$ به بیان دیگر، زمانی که f(x) همگراست، الزاما اندازه مجموعه‌هایی که در آن f(x) واگراست، صفر است.

۳.$\int_{X} f(x) d\mu$ متناهی است و $X^{\prime} \subset X$. اگر $ \mu(X^{\prime}) \to 0$، آنگاه $ \int_{X^{\prime}} f d\mu \to \infty $.

۴. زمانی که f(x) برروی X مقادیر مثبت و منفی را اختیار کند، انتگرال لبگ به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$ \int_{X} f d\mu = \int_{X} f^{+} d\mu + \int_{X} f^{-} d\mu$$

$$\int_{X} |f| d\mu = \int_{X} f^{+} d\mu – \int_{X} f^{-} d\mu$$

برابری تقریبا همه‌جا

در قسمت‌های قبل مشاهده کردیم زمانی که اندازه‌ی مجموعه‌ای صفر باشد، آنگاه آن مجموعه دخالتی در انتگرال لبگ ندارد. همین ویژگی منجر به مفهوم «برابری تقریبا همه‌جا» برای توابع اندازه‌پذیر شد. این ویژگی نقش بسیار مهمی در توسعه آنالیز تابعی دارد.

می‌گوییم دو تابع f(x) و g(x) که برروی مجموعه X تعریف شده‌اند، تقریبا همه‌جا با هم برابرند، هرگاه:

$$\mu \{x \in X : f(x) \neq g(x)\}=0$$

فضای $L^{p}$

فضای $L^{p}$، فضایی است که توسط توابع مختلط f(x) ساخته می‌شود. در این فضا $|f|^{p}$ انتگرال‌پذیرلبگ است. اگر p=2 باشد، $L^{2}$ عضوی از فضاهای هیلبرت است. زمانی که $p \neq 2 $ باشد، فضای $L^{p}$ خاصیت ضرب داخلی خود را از دست می‌دهد، اما $L^{p}$ همچنان فضای کامل است.

منابعی برای یادگیری نظریه اندازه و انتگرال لبگ:

در دانشکده‌های علوم ریاضی برای یادگیری این مباحث، عمدتا کتاب‌های قدیمی و معروف آنالیز حقیقی معرفی می‌شوند. از آنجا که من فکر می‌کنم با تغییر نسل‌ها، منابع آموزشی نیز باید تغییر کنند کتاب‌هایی را معرفی می‌کنم که اولا در دهه‌ی اخیر تالیف شده‌اند. ثانیا، ادبیات و نحوه‌ی روایت آن با ذهن کسانی که کمتر با ریاضیات مجرد آشنایی دارند، قرابت بیشتری دارد.

Functional anlysis for physics and engineering, Shima Hiroyuki 2016

A short course on the Lebesgue integral and measure theory, Steve Cheng

Elementary introduction to the lebesgue integral. Steve G.Krantz 2018

کمی درباره‌ «ارتباط‌‌گری» و «روایتگری» در علم

سوال مهم من این بود که آیا راهی وجود داره که بشه برمبنای اون دیگران رو از فعالیت‌های متخصصان آگاه کرد؟چرا این سوال برام به وجود اومد؟ چون من خیلی در فضای مجازی می‌گردم و مطالب رو دنبال می‌کنم. فضای مجازی پر بود از شایعاتی که پشت سر هم پراکنده میشد، متخصصانی که به جای تعامل و گفت‌وگو، نگاه از بالا به پایین داشتند و مردمی که باور خودشون رو به حرف‌های متخصصان از دست دادند. بخشی از فضای حاکم بر کشور در فضای مجازی بازتاب می‌شد و به نظر هیچ‌ چیزی خوب نبود. من همیشه در دوران دانشجوییم وقتی که پیش میومد و کار ترویج علم میکردم به این فکر می‌کردم که امکانش هست از مسائل خیلی تخصصی هم با مردم حرف زد یا در همین حد که آونگ نیوتون و آونگ موجی به مردم نشون بدیم کافیه؟ این حرف‌ها رو زدم تا بگم که بعد از این‌که دنبال پاسخ سوالاتم گشتم، متوجه شدم که در دنیا افراد زیادی وجود دارند تحت عنوان ارتباط‌ گران علم و البته پژوهشکده‌های زیادی درباره ارتباط‌ گری علم وجود داره که اتفاقا برای همه‌ی سوال‌های من پاسخ داره.

تصویری نمادین از حوزه ارتباط‌گری در علم. از نظر Carsten Könneker. نگاره از ویکی‌پدیا

ارتباط‌ گری علم چیه و هدفش چیه؟ ارتباط‌‌گری علم درواقع ارتباط عمومی بین متخصصان، یا متخصصان و غیر متخصصان مثلا شهروندان درباره موضوعات علمیه. ارتباط‌گران علم موظفند با مردم از اتفاقاتی که در حوزه‌های مختلف علمی می‌افته صحبت کنند. علم رو به معنی ساینس در نظر نگیریم. محدودیتی وجود نداره. ارتباط گری علم طیف وسیعی از علوم پایه تا اقتصاد، مهندسی، پزشکی، جامعه‌شناسی و… رو در برمیگیره. درواقع هر متخصصی میتونه با افراد جامعه چه به صورت مستقیم و بی‌واسطه و یا غیرمستقیم و باواسطه در ارتباط باشه. سال ۲۰۱۴ مقاله‌ای منتشر شد توسط دو نفر از دانشمندان اهل کشور رومانی که در اون مقاله به اهمیت ارتباط‌گری علم اشاره‌هایی کرده بودند. یکی از مواردی که در اون مقاله نام برده بودند این بود که ارتباط‌گری علم باعث افزایش اعتماد عمومی جامعه میشه. درواقع ارتباط‌گری علم فرصت گفت وگو بین مردم جامعه رو به خوبی فراهم می‌کنه و در فضایی که امکان گفت وگو به راحتی وجود داره، امکان رشد شایعه و داده‌های غلط در جامعه کمتر میشه. تابستانی که گذشت رو به یاد بیارید. افزایش نرخ تورم و نرخ ارز چه بر سر روان جامعه آورد؟ من اون روزها هرقدر دنبال یک تحلیل قابل فهم از شرایط اقتصادی از زبان یک اقتصاددان گشتم، چیزی پیدا نکردم. در همین توییتر فارسی تحلیل‌های متفاوت زیاد بود و البته به هیچ کدامشون هم نمی‌تونستم اعتماد کنم. ویدیویی از وزیر قبلی بهداشت درباره‌ی عدم اختصاص بودجه درمانی برای بیماران  اِس اِم اِی در فضای مجازی منتشر شد و واکنش مردم نسبت به این ماجرا واکنش اخلاقی بود. واکنش پزشکان چه بود؟ صادقانه این بود که بیشتر پزشکانِ فعال در توییتر با به سخره گرفتن واکنش‌های مردم، کمترین توضیحی درباره‌ی سلامت عمومی و نحوه‌ی اختصاص منطقی بودجه به درمانِ بیماری‌ها ندادند. مدتی قبل وزیر جوان در توییتی اعلام کرد که برای مردم خبرهای خوشی داره. فردای اون روز با اعلام موفقیت‌آمیز نبودن پرتاب ماهواره‌ی پیام، مردم رو در جریان پرتاب ماهواره قرار داد. عمده‌ی واکنش مردم در توییتر فارسی تمسخر این ماجرا بود. من این‌طوری فکر می‌کنم که عمده‌ی این واکنش‌های تمسخرآمیز به دلیلِ آگاه نبودنِ مردم به اهمیت وجود فناوری در کشوره.

این مثال‌ها رو زدم تا بگم به نظر میاد که ارتباط‌‌گری علم راهی رو جلوی ما قرار میده که بتونیم از دستاوردهای علمی، اهمیت پژوهش، اصولی که برمبنای اون کشور و جامعه اداره میشه با همدیگه صحبت کنیم. آخرای این مقاله یک جمله خیلی دقیق بیان میکنه. میگه کسی که تحصیلات رایگان داشته در کشوری، اخلاقا موظفه مردم رو از کارش آگاه کنه. چون با هزینه‌ی مردم در دانشگاه درس خونده. حالا اگر هم این پیشفرضِ اخلاقی رو در مورد تمام کسانی که تحصیلات رایگان داشتن کنار بذاریم، ارتباط‌گری علم در جامعه منجر به گسترش علم در جامعه میشه. و به سبب این گسترش اتفاق خوبی که میفته بالاتر رفتن سطح آگاهی عمومی‌ه. در جامعه‌ای که مردم هرروز اطلاعاتِ تازه و قابل درکی از اقتصاد، ریاضیات، زیست شناسی، پزشکی و … کسب میکنن،مجالِ اندکی برای سو استفاده افراد فراهم میشه. ارتباط‌ گری علم باعث تقویت اعتماد در جامعه میشه. مادامی که یک متخصص نتونه به زبان مردم باهاشون صحبت کنه و اطلاعاتش رو منتقل کنه، جامعه بهش اعتماد نخواهد کرد.


مادامی که یک متخصص نتونه به زبان مردم باهاشون صحبت کنه و اطلاعاتش رو منتقل کنه، جامعه بهش اعتماد نخواهد کرد.

 فکر کنم الان کمی واضح شد که در ایران چرا هنوز بخش قابل توجهی از مردم رفتن پیش عطار رو به مراجعه به پزشک ترجیح میدن، در مقابل هشدارهای ایمنی توجهی نمی‌کنن و پشت در صرافی‌ها صف می‌کشن. هر حرف شبه علمی و نادرستی رو با یه پسوند کوانتومی باور میکنن، تاریخِ تحریف‌شده رو می‌پذیرند و… حلقه‌ی مفقود همین جاست. عدم ارتباط‌گری علمی. خب الان فکر می‌کنم اهمیت ارتباط‌گری علم تا حدی روشن شد.ارتباط‌گری علم به شیوه‌های مختلفی در جریانه. روزنامه‌نگاری، مستند سازی، روایتگری و سرگرمی و… .

من قصد دارم اینجا کمی درباره‌ی روایتگری (قصه‌گویی) در علم صحبت کنم.در کتاب بهترین قصه‌گو برنده است کمی درباره‌ی معنی قصه‌اندیشی صحبت شده. بخونیم با هم:

روزی روزگاری قبل از اینکه یاد بگیرید نگاه عینی و واقع‌بینانه‌تر داشته باشید، فکر می‌کردید آدم مهمی هستید و اطرافیان‌تان هم آدم‌های مهمی‌اند. احتمالا سوال‌هایی می‌پرسیدید که دیگران را معذب می‌کرد. برای اینکه دچار خودشیفتگی و بی‌ثباتی عاطفی نشوید، شما را فرستادند مدرسه تا یاد بگیرید چه‌طور انسان مفیدی باشید. روش علمی را یاد گرفتید. فهمیدید که آدم مهمی نیستید. در واقع فقط نقطه‌ای هستید بر روی یک منحنی زنگی شکل. اگر خوش‌شانس باشید، نقطه‌ی شما دو درجه از معیار انحراف داشته و بهتان میگویند «بااستعداد» که در اصل خیلی شبیه مهم بودن است. بعد یاد گرفتید هیچ چیزی تا نتوانید آزمایشش کنید و تا نتوانید درستی‌اش را با آزمایش‌های مکرر ثابت کنید، درست نیست. تفکر انتقادی، تحلیل عقلانی و تفکر عینی شما را آماده کرد تا احساسات را کنار بگذارید و تصمیم‌های بهتری بگیرید. از آن زمان تاکنون تصمیم‌های عینی و به دور از احساسات خیلی به دردتان خورده. با استفاده از تحلیل‌های هزینه/ فایده و مدل‌ها و نمودارهای ستونی، می‌توانید درستی ِ چیزی را ثابت کنید و به بقیه نشان دهید که حق با شماست و توصیه‌هایتان درست است. ولی حرف درست دیگر جذابیت چندانی ندارد. مثل یک دانشمند خوب اطلاعاتی جمع کرده‌اید که ثابت می‌کند درست گفته‌اید ولی درست گفتن باعث نمی‌شود دیگران به حرفتان گوش کنند. حتی ممکن است کم‌کم به این نتیجه برسید که همکارانتان هم دو درجه از معیار انحراف دارند منتها در جهت ِ عکس بااستعدادها. درواقع به نظر می‌رسد حرف درست زدن و پیروی دیگران از حرف درست هیچ ربطی به هم ندارند. شما هم مثل بیشتر ما که در قرن بیستم درس خوانده‌اید به این نتیجه رسیده‌اید که ارتباط‌های شفاف، تفکر عینی و تصمیم‌گیری‌های عقلانی در دنیای غیر شفاف و ذهنی‌ای که تکثر عقلانی در آن بی‌داد می‌کند با محدودیت‌هایی مواجه است. زبانِ ذهنی همان زبانِ قصه است. قصه‌گویی کمک می‌کند افراد از جهات مختلف به موضوع نگاه کنند و در نتیجه بتوانند برداشتی را که از واقعیات شما دارند از نو تفسیر کنند یا شکل بدهند.

چند دقیقه فکر کنید که در جایگاه یک متخصصِ تراز اول قرار دارید و قصد دارید مهم‌ترین دستاوردهاتون رو برای عموم مردم که عمدتا کمترین دانشی از تخصصِ شما ندارند، بیان کنید. بهترین راه چیه؟ آیا میشه با مردم از زبان اعداد و ارقام و تخصصی‌ترین اطلاعات سخن گفت؟ آیا این امکان وجود داره که به اندازه‌ی سالهایی که شما تحصیل کردید مردم رو معطل کرد و تمام دانشی که در طی سالهای عمرتون کسب کردید رو به مردم منتقل کنید؟ قطعا جواب منفی‌ه. باید راه مطمئنی پیدا کرد که همزمان به هرکسی خارج از دایره‌ی تخصص شما مفاهیم رو به سادگی و دور از تکلف عالِمانه آموزش داد. راه حلی که به ذهن خیلی از دانشمندان بزرگ تا امروز رسیده قصه‌گویی یا روایتگری در علم‌ه. بالاتر گفتم زبان ذهنی افراد همان زبان قصه است. پس به نظر میاد که اگر مفاهیم علمی رو از پشت نقاب اعداد خارج کنیم و رنگ و بوی قصه بهش بدیم میتونیم اون رو در اختیار هرکسی خارج از دایره‌ی تخصص خودمون بذاریم.


اگر مفاهیم علمی رو از پشت نقاب اعداد خارج کنیم و رنگ و بوی قصه بهش بدیم میتونیم اون رو در اختیار هرکسی خارج از دایره‌ی تخصص خودمون بذاریم.

چند وقت قبل آقای کرولویچ که یک خبرنگار علمیه به جشن دانش‌آموختگی دانشجویان دانشگاه کلتک دعوت میشه. کرولویچ در سخنرانی‌اش شروع میکنه به حرف زدن درباره‌ی اهمیت بیان قصه‌ها در علم.

کرولویچ میگه شما از این دانشگاه فارغ‌التحصیل شدید و میخواهید برای پدربزرگ، مادربزرگ‌تون بگید در این سالها چه کردید، چی میگید؟ آیا باهاشون با کلمات عجیب و غریب و تخصصی حرف میزنید یا تلاش میکنید قصه بگید؟ کرولویچ از ای. او .ویلسون نقل می‌کنه که علم مثل بقیه‌ی فرهنگ بر ساخت قصه‌ها استواره. ما با قصه‌ها زندگی می‌کنیم. کرولویچ میگه که در دنیای امروز، قصه ها با هم رقابت می کنند. یک لحظه تلویزیون رو روشن می‌کنید و آقای کرولویچ داره تمام سعیش رو می‌کنه که سخت‌ترین مفاهیم فیزیک رو برای عموم توضیح بده، و لحظه بعد برنامه ایست نه فقط غیرعلمی که ضدعلم. آقای کرولویچ می‌گه که در دنیای رقابت قصه‌ها، کدوم قصه می خواهید که بمونه و پایدار باشه؟ بعد میگه از این در که رفتید بیرون، برای اون عمه و خاله و مادربزرگ از کوارک و انواع پروتئین که گفتید، یه قصه هم بگید. حرف تون رو با قصه باز کنید و جزییاتش رو با قصه توضیح بدید. اگر نه، قصه‌های زیادی آماده جایگزین کردن قصه‌هایی هستند که شما می تونستید بگید و نگفتید.


علم مثل بقیه‌ی فرهنگ بر ساخت قصه‌ها استواره. ما با قصه‌ها زندگی می‌کنیم.

تلاش برای توصیف جهان از زاویه‌ی گرانش

داستان معروف سیبی که از درخت افتاد و به سبب اون نیوتون کشف کرد که زمین جاذبه داره رو همه از بریم. این داستان چندان واقعی نیست نیوتون سالها توی اتاقش داشت با انواع و اقسام روابط سر و کله میزد تا بالاخره تونست که فیزیک جدیدی رو پایه‌گذاری کنه و واقعا با یک سیب نبود که نظریه‌ای متولد شد.

اگه گرانش رو به زبان خیلی ساده بخوام بگم، میشه فرمول‌بندی نیوتون از حرکات سیاره‌ها. قبل‌تر از نیوتون فردی به نام کپلر سه قانون رو در مورد حرکات سیاره‌ها پیدا کرده بود.کپلر معتقد بود که سیاره‌ها دارن در مدارهایی بیضوی به دور خورشید میچرخند که خورشید در یکی از کانون‌های بیضی قرار گرفته.. زمانی که سیاره به خورشید نزدیکتره با سرعت بیشتری حرکت میکنه نسبت به زمانی که از خورشید دورتره و رابطه ی بین فاصله سیارات از خورشید و پریود حرکتشون هم به دست آورده بود.

بعدتر از کپلر، نیوتون حرکات سیارات رو با صورت بندی گرانش ارائه کرد. نیوتون میگفت گرانش یک نیروی بلندبرده و بین اجرام مختلف برقراره. اگر دو تا جرم مختلف به نحوی بتونن همدیگه رو مشاهده کنن،شروع میکنن به جذب کردن همدیگه. شدت نیرویی هم که حس میکنن متناسب با حاصل ضرب جرمشون تقسیم بر مجذور فاصله دو تا جرم از همدیگه است.

این تا اوایل قرن نوزده بهترین تصویر ما از جهان بوده. اینکه اجرام به شکلی پراکنده‌اند در جهان و طبق گرانش نیوتونی رفتار میکنن. اما از اونجایی که علم همواره در حال تحوله و تصویر ما از جهان ثابت نمی‌مونه، شواهدی پیدا شدن که باعث شد دانشمندان درباره ی این نظریه به تردید بیفتند.اوایل قرن نوزدهم اینشتین با ارائه نظریه نسبیت عام تصویر جدیدی از جهان رو ارائه کرد.در این نظریه گرانش نه یک نیرو که یک ویژگی از فضا- زمان درنظر گرفته میشه.تغییرات در فضا-زمان هم به دلیل پراکندگی اجرام در فضا به وجود میاد.یک مثال آشنا از این اجرام میتونه سیاهچاله ها باشند. سیاهچاله ها در واقع بخشی از فضا زمان هستند که حتی نور هم امکان گریختن از افق رویداد سیاهچاله ها رو نداره. معادله‌ی میدان در نسبیت عام با رابطه‌ی زیر نشون داده میشه.

معادله ی میدان اینشتین

سمت چپ این معادله تانسور انیشتین رو میبینید. این تانسور درواقع حامی تمام اطلاعات هندسه‌ی فضا- زمان هست.سمت راست معادله هم تانسور انرژی- تکانه‌ رو میبینید. که درواقع حاوی تمام اطلاعات یک جرم گرانشی یا بهتر بگم یک ماده است.این جرم گرانشی میتونه زمین باشه، ستاره نوترونی باشه، یا حتی یک سیال باشه.

نسبیت عام موفقیت‌های چشم‌گیری تا به امروز داشته. پیش‍بینی ام‍واج گرانشی، توصیف سیاهچاله‌ها، سفر در زمان و… همگی از دستاوردهای نسبیت عام هستند.اما نسبیت عام در اواسط قرن بیستم و بعدتر با چالش‌های جدی مواجه شد. همین اتفاق باعث شد که دریچه‌ی جدیدی به سوی گرانش باز بشه و نظریات جدید گرانشی متولد بشن.

اینشتین وقتی معادله‌ی میدان گرانشی در نسبیت عام رو نوشت با یک سوال مواجه شد. چرا جهان تحت گرانش خودش فرو نمیریزه؟ نیوتون برمبنای بی‌نهایت بودن و همسانگردی جهان مطمئن بود که جهان تحت گرانش خودش فرو نمیریزه. نیوتون بر مبنای این فرضیات معتقد بود که هر نقطه از جهان نیروی برابری رو حس میکنه، بنابراین جهان هرگز تحت گرانش فرونمیریزه. انیشتین برای رفع این مسئله جمله‌ای رو دستی وارد معادلاتش می‌کنه. این جمله به صورت یک نیروی دافعه‌ی کیهانی، که به عنوان ثابت کیهان‌شناسی معرفی شده، وارد این معادلات میشه. جالبه بدونید اینشتین بعدها از این کارش به عنوان یک اشتباه بزرگ یاد میکنه.

بعد از وارد شدن جمله ی ثابت کیهان شناسی معادله‌ی میدان اینشتین به فرم زیر در میاد.

$$G_{\mu \nu}+ \Lambda g_{\mu \nu}=T_{\mu\nu}$$

با فرض عدم وجود ماده، یعنی در حالتی که مقدار تانسور انرژی- تکانه در این معادله صفر باشه، میتونیم به جمله‌ی ثابت کیهان‌شناسی انرژی خلا رو نسبت بدیم. در این حالت لمبدا رو معادل چگالی انرژی خلا میدونیم.

اما مشکلی که تا به امروز هنوز حل نشده چی بود؟

ما باید بدونیم مقدار این ثابت کیهان شناسی چقدره و از چه مرتبه‌ایه. نظریه‌ی میدان‌های کوانتومی مقداری رو که برای انرژی خلا پیش‌بینی می‌کنه بسیار بسیار بیشتر از عددی است که از رصدها بدست میاد. چیزی در حدود شصت تا صد و بیست مرتبه‌ی بزرگی بزرگتر. همین اختلاف مقدار در نظریه و رصد باعث شد نظریات جدید گرانشی‌ای متولد بشن تا شاید این مشکل رو حل کنند.

مشکل بعدی‌ای که نسبیت عام نتونست از پسش بربیاد مسئله‌ی ماده تاریک بود. اگه بخوام مختصرا بگم ماجرای ماده تاریک از کجا جدی شد، باید برگردیم به رصدهایی که انجام شده و مهم‌ترین شاهد حضور ماده تاریک نمودارهای سرعت چرخش ستاره‌ها و کهکشان‌ها بودند.ما از گرانش نیوتونی میدونیم که سرعت حرکت دایره‌ای یک ستاره از رابطه‌ی زیر بدست میاد.

معادله سرعت چرخش کهکشان‌ها

در این رابطه G ثابت جهانی گرانش، M جرم محصور و r فاصله شعاعی است. برای فواصل بیشتر از دیسک کهکشانی قانون گاوس بیان می‌کند که با فرض اینکه تمام جرم در مرکز محصور شده در فواصل دور مقدار جرم ثابته و سرعت باید با r-1/2  کاهش پیداکنه. اما آن چیزی که رصدها نشون میده چنین نیست. رصد ها میگه از فاصله ای به بعد سرعت حرکت به مقدار ثابتی میل میکنه. انگار که برخلاف اون چیزی که از قانون گاوس میدونیم، جرم اینجا متغیره و داره با فاصله تغییر میکنه. در واقع  تغییرات جرم متناسب با تغییرات فاصله است. این جرم اضافی از کجا میاد؟ به نظر میاد این وسط ماده‌ای فراتر از ماده‌ی مرئی وجود داره که بهش میخوایم بگیم ماده‌ی تاریک. ماده‌ی مرموزی که خیلی خوب نمیشناسیمش. وجود داره ولی مشاهده نمیکنیمش. برهمکنش نمیکنه و هرجایی خودش رو نشون نمیده، اما این وسط داره تو معادلاتمون و در کیهان‌شناسی نقش مهمی بازی میکنه.

نمودار سرعت چرخش کهکشان‌ها

نظریات گرانشیِ بعد از نسبیت عام  تلاش هایی برای توصیف ماده تاریک هم داشته اند. البته عده‌ای از فیزیکدانان انرژی‌های بالا معتقدند که ماده تاریک واقعا به صورت ذراتی وجود داره. و تلاش‌های زیادی چه از بابت نظری و چه عملی برای توصیف و آشکارسازی ذرات ماده تاریک کرده‌اند.

نظریات جدید گرانشی که عمدتا ازشون به عنوان گرانش تعمیم یافته یاد میشه، اضافه کردن درجات آزادی به نظریه‌ی نسبیت عام هست. در واقع ماجرا از این قراره که فیزیکدانان تلاش میکنن با اضافه کردن درجات آزادی به کنش نسبیت عام راهی پیدا کنند که بتونن سوالاتی که نسبیت عام نمیتونه بهشون پاسخ بده رو پاسخ بدن. این درجات آزادی در ساده‌ترین حالت میتونه اضافه کردن یک میدان اسکالر باشه. یا عده‌ای هم دوست دارن بردار، تانسور یا میدان‌های با رنک بالاتر اضافه کنند به این کنش. هر مدلی از گرانش که ساخته میشه باید تست‌پذیر باشه. یعنی نتایجی که پیش‌بینی میکنه با نتایج آزمایش و رصد سازگار باشه. و اساسا قابلیت در معرض آزمایش قرارگرفتن رو داشته باشه.

از دل این تلاش‌ها مدل‌های زیادی برای توصیف جهان ساخته شده اند، که اینجا مختصرا اشاره میکنم و در پست‌های بعدی بهشون می‌پردازم.نظریه‌های اسکالر-تانسور، دینامیک تعمیم یافته نیوتونی، نظریه‌ی انیشتین- اِتِر، نظریه‌های بایمتریک، نظریه‌های f(R )، گرانش غیر موضعی و گرانش ابعاد بالا مشهورترین نظریه‌های گرانشی اند.

سرنوشت نظریات گرانشی به کجا رسیده؟

هنوز فیزیکدانان در حال تلاش‌اند تا بتونن برای سوالاتی که مطرح شده نظریه‌ای بسازند که پاسخ سوالاتشان رو بده. برای محقق شدن این امر نیاز به ایده‌های بهتر و داده‌های رصدی و آزمایشگاهی بیشتر دارن.

پی نوشت:

  1. برای تعریف  تانسور به این آدرس سر بزنید.
  2. برای اینکه مختصری درباره‌ی درجه‌ی آزادی در فیزیک بدونید به این آدرس مراجعه کنید. البته درجه‌ی آزادی در متن بالا کمی متفاوت از چیزیه که در متن پیوست شده مشاهده میکنید.