رفتن به نوشته‌ها

ماه: مارس 2020

پدیده‌های بحرانی ۱۵۰ سال پس از چارلز دلاتور

پیش‌تر نوشته‌ای تخصصی‌تر در مورد گذار فاز و پدیده‌های بحرانی نوشته بودم. این نوشته که ترجمه‌ای از یک مقاله است، بیشتر جنبه تاریخی دارد و برای مخاطب علاقه‌مند آشنا با پدیده‌های بحرانی می‌تواند جالب باشد!

پدیده‌های بحرانی ۱۵۰ سال قبل توسط چارلز کاگنیارد دلاتور در ۱۸۲۲ کشف شدند. به سبب این سالگرد، مفهوم و تاریخ اولیهٔ کشف او را بررسی کرده‌ایم و سپس با طرح مختصر تاریخ پدیده‌های بحرانی مسیر رشد و توسعه آن تا به امروز را دنبال می‌کنیم.


[arXiv:0905.1886 [physics.hist-ph

پدیده های بحرانی که امروزه یکی از مهمترین روش ها در بررسی گذار فازها در سیستم های پیچیده، فیزیک ذرات بنیادی و بسیاری دیگر از شاخه های علم فیزیک است به مجموعه‌ای از اتفاقات که در نقاط بحرانی رخ می‌دهند گفته می‌شود. پدیده های بحرانی اولین بار در بررسی گذار فازهای مواد دیده شدند. ساده ترین گذار فاز را می توان در تبخیر آب مایع و یا یخ زدن آب و گذار از فاز مایع به جامد و برعکس مشاهده کرد. در مورد آب گرمای ویژه و چگالی آب از متغیرهای قابل بررسی هستند که برای هر کدام می توان یک نمای بحرانی هم پیدا کرد و با استفاده از نظریه مقیاس و گروه های بازبهنجارش و یا نظریه ی میدان میانگین این نماهای بحرانی استخراج می‌شوند و برای هر پدیده یک کلاس جهان شمولی یافت می‌شود.

پدیده‌های بحرانی ۱۵۰ سال قبل توسط چارلز کاگنیارد دلاتور در ۱۸۲۲ کشف شدند. به سبب این سالگرد، در مقاله ی زیر به قلم برتراند برکه، مالته هنکل و رالف کنا، مفهوم و تاریخ اولیه‌ی کشف او را بررسی کرده‌ایم و سپس با طرح مختصر تاریخ پدیده‌های بحرانی مسیر رشد و توسعه آن تا به امروز را دنبال می‌کنیم.

paper-1

خم‌شدن نور در میدان گرانشی

تا حالا از خودتون پرسیدید که آیا گرانش می‌تونه روی مسیر حرکت نور هم تاثیر بذاره و اون رو از خط مستقیم منحرف کنه یا نه؟ با من باشید. می‌خوایم درباره‌ی این موضوع با هم صحبت کنیم. دو تا دیدگاه رایج نسبت به پدیده‌ی گرانش وجود داره؛دیدگاه نیوتونی و دیدگاه نسبیت عام. توصیف نیوتونی گرانش منجر به پیش‌بینی‌هایی شده بود که بعدها با اومدن نسبیت عام، این پیش‌بینی‌ها دقیق‌تر شد. یکی از این پیش‌بینی‌ها خم شدن نور در میدان گرانشیه.

نیوتون معتقد بود همونطور که ذرات مادی از مسیر خودشون به واسطه‌ی میدان گرانشی منحرف می‌شوند، نور هم این قابلیت رو داره. نیوتون این دیدگاه رو در کتاب اپتیک خودش منتشر کرد، و موفق شده بود مقداری برای انحراف نور ستارگان توسط میدان گرانشی خورشید محاسبه کنه.

مسئله‌ی خم‌شدگی نور در اطراف میدان گرانشی سال‌ها قبل از تدوین نسبیت عام ذهن آینشتین رو به خودش مشغول کرده بود.در سال ۱۹۱۱ تلاش‌هایی کرد که بتونه مقداری برای انحراف نور ستارگان در میدان گرانشی خورشید محاسبه کنه. اولین قدمی که برداشت این بود که از فرمالیزم نیوتونی استفاده کرد و به نتیجه‌ای نرسید. چون جرم فوتون صفره و طبق قانون گرانش نیوتون باید مقدار برهمکنش بین فوتون و خورشید صفر بشه. اما این‌طوری نبود و آینشتین هم کوتاه نیومد.آینشتین می‌دونست که ذرات فوتون از انرژی تشکیل شدن. معتقد بود انرژی گاهی رفتار جرم‌مانند داره. به این ترتیب موفق شد انحراف نور ستارگان در حضور میدان گرانشی خورشید رو محاسبه کنه. آینشتین در محاسبات خود عدد ۰/۸۷ ثانیه‌ی قوسی رو به دست آورده بود که این عدد با عددی که نیوتون به دست آورده بود برابر بود. بعد از ظهور نسبیت عام این محاسبات تصحیح شد و مقدار دقیق دو برابر مقداری بود که نیوتون به دست آورده بود.

بعد از ظهور نسبیت عام، آینشتین متوجه شد که در محاسبات قبلی خودش دچار اشتباه شده.در فضا-زمان تخت هر تغییر کوچکی در هندسه‌ی چهاربعدی با رابطه‌ی زیر نشون داده میشه.
$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}$$ که c سرعت نور، dt تغییرات زمان و dl تغییرات طوله. نور مسیری رو طی می‌کنه که $ds^{2}=0$ باشه. در نسبیت عام، فضا-زمان تخت نیست. پس نور هم مسیر مستقیم‌الخط رو طی نمی‌کنه.در حد میدان گرانشی ضعیف، هندسه‌ی فضا-زمان با رابطه‌ی زیر توصیف میشه.
$$ds^{2}=(1+ \frac{2GM}{r c^{2}}) c^{2} dt^{2} – (1-\frac{2GM}{rc^{2}}) dl^{2}$$
از آنجایی که تصحیحات در مرتبه‌ی $\frac{GM}{rc^{2}}$ کوچکه ، آینشتاین در محاسبات قبلی خودش از جملات مرتبه‌ی بالاتر صرف‌نظر کرده بود. محاسبات آینشتاین تا تقریب مرتبه‌ی اول منتهی به نتایج نیوتون می‌شد؛ اما بعد از اینکه تصحیحات مرتبه‌ی بالاتر رو وارد محاسباتش کرد به مقداری دو برابر مقدار قبلی برای میزان انحراف نور ستارگان در میدان گرانشی خورشید دست پیدا کرد.

خم شدن نور در حضور جسم سنگین

تا این‌جای کار فقط محاسبات روی کاغذه. باید دید که پیش‌بینی آینشتاین درست بوده یا نه. آیا واقعا نور در میدان گرانشی منحرف میشه؟ آیا مقداری که برای انحراف نور ستارگان به دست اومده، با آزمایش تطبیق داره؟
آرتور ادینگتون، منجم انگلیسی، در سال ۱۹۱۵ توسط ویلیام دوسیته از ظهور نسبیت عام باخبر میشه.ادینگتون بسیار به نسبیت عام علاقمند شده بود، و خیلی سریع به جنبه‌های تجربی نسبیت عام پرداخته بود. خورشیدگرفتگی ۲۹ می سال ۱۹۱۹ زمان مناسبی بود که ادینگتون و همکارانش درستی پیش‌بینی انحراف نور در میدان گرانشی رو بررسی کنند.دایسون و ادینگتون به همراه تیم رصدی خودشون به نقاط مختلف سفر کردند. دایسون و همکارانش به شمال برزیل، و ادینگتون و همکارانش به جزیره‌ای در غرب آفریقا سفر کردند.در این رصد ادینگتون در حین خورشیدگرفتگی از ستارگان زمینه‌ی آسمان تصویربرداری کرد. و بعد تصاویر دیگه‌ای از ستارگان در آسمان شب گرفت. با مقایسه‌ی این تصاویر متوجه شد که موقعیت ستارگان در آسمان حین کسوف و شب با همدیگه فرق داره. واقعا نور ستارگان تحت تاثیر میدان گرانشی خورشید خم شده و جایگاه ستارگان متفاوت از حالت شب به نظر می‌رسد.

عدسی‌های گرانشی

خم‌شدن نور در میدان گرانشی، منجر به پدیده‌ی همگرایی میشه. یک عدسی رو تصور کنید که وقتی پرتو نور رو از چشمه‌ای دریافت می‌کنه، نور رو در نقطه‌ی دیگری همگرا می‌کنه. در کیهان خوشه‌ها، کهکشانها، و سایر اجرام پرجرم می‌تونن رفتاری شبیه عدسی داشته باشند. درواقع وقتی نور از ستاره‌ای پشت این اجرام به چشم ما روی زمین میرسه، این نور در میدان گرانشی حاصل از اون جرم خم شده و از مسیرهای مختلف به چشم ما می‌رسه. گاهی این نوری که از مسیرهای مختلف به چشم ما می‌رسه، یک حلقه‌ی نورانی برای ما تشکیل میده. پدیده‌ی همگرایی گرانشی منجر به این می‌شه که پژوهشگران بتونن اطلاعاتی درباره‌ی جرمی که باعث همگرایی شده به دست بیارن. امروز برای مطالعه‌ی ماده تاریک از همین پدیده‌ی همگرایی گرانشی استفاده می‌کنند.

نسبیت عام پیش‌بینی‌های زیادی داره. و همون‌طور که در سال‌های گذشته دیدید با پیشرفت ابزارهای آزمایشگاهی و رصدی پژوهشگران موفق به تایید این پیش‌بینی‌ها شدند. سال ۲۰۰۸ فیلمی ساخته شد به نام آینشتاین و ادینگتون . این فیلم درباره‌ی تلاش‌های ادینگتون برای تایید درستی خم‌شدن نور در میدان گرانشی‌ه. من بیشتر از این درباره‌ی این موضوع حرف نمی‌زنم. شما رو دعوت می‌کنم که در این روزهایی که در خانه‌هاتون نشستید و در آستانه‌ی سال نو، این فیلم دوست‌داشتنی و تاریخی رو ببینید.

اینشتین و ادینگتون (به انگلیسی: Einstein and Eddington) فیلمی به کاگردانی فیلیپ مارتین و نویسندگی پیتر موفات که در ۲۲ نوامبر ۲۰۰۸ به نمایش درآمد. این فیلم نگاهی به تکامل نظریهٔ نسبیت آلبرت اینشتین و رابطهٔ او با دانشمند بریتانیایی سر آرتور ادینگتون، اولین فیزیکدانی که ایده‌های او را درک کرد می‌اندازد. ویکی‌پدیا

یادی از آینشتین در میان مشکلات زندگی این‌ روزها

آلبرت آینشتین یک غول است! یک روایتگر بی‌نظیر در علم! بدون تعارف او برای همیشه نماد فیزیک معاصر خواهد ماند. آینشتین قهرمان دنیای نوجوانی بسیاری از کسانی است که امروز فیزیکدان شده‌اند یا قرار است فردا فیزیکدان شوند. همیشه در اعماق قلبم برای آینشتین جایگاه خاصی قائل هستم. دبیرستانی که بودم برایم هیجان‌انگیزترین چیز این بود که نسبیت آینشتین را بفهمم! بگذریم. غیرممکن است که شخصی در فیزیک معاصر جستاری داشته باشد و ردپایی از او پیدا نکند. عوام او را به خاطر نسبیتش و فرمول $E = mc^2$ می‌شناسند و صدالبته به خاطر ژولیدگی او! از نگاه من اما، آینشتین نماد واقعی یک فیزیکدان است! نماد کسی که فیزیک را بدون هر گونه دسته‌بندی به‌خوبی می‌شناسد و در توسعه هر قسمت آن مشارکت جدی داشته است. در این روزها که برخی از دوستان آینشتین را به نفع فیزیک نظری ثبت و ضبط می‌کنند و قهرمان دنیای کیهان‌شناسی و نسبیت می‌دانندش، دوست دارم به شخصیت‌ او از دریچه‌های مختلف نگاه کنم. برای من بیش از هر چیزی، او استاد بزرگ تمام فیزیک است، کسی که از اشتباهاتش هم درس‌های فراوان گرفته تاریخ! در این نوشته به چند گفتاورد که دوستشان دارم اشاره می‌کنم.

کم نیستند کسانی که از یک ملاقات نیم‌ساعته‌شان با آینشتین به عنوان یک اتفاق مهم در زندگیشان یاد نکرده باشند. نقل است که ریچارد فاینمن در اولین دیدارش در سمیناری با این پرسش از طرف آینشتین روبه‌رو شده که «شما می‌دانید چای کجاست؟» و فاینمن جوان از این که پاسخ پرسش آینشتین را می‌دانسته کیفش کوک شده! بعدها، فاینمن در مورد ژرفا و گستره نگاه آینشتین در شاخه‌های مختلف فیزیک گفت:

آینشتین یک غول بود؛ سرش در میان ابرها بود ولی پاهایش به روی زمین! اما از میان ما، آنان که قامتشان به آن بلندی نیست، بهتر است که انتخاب کنند!

Carver Mead – Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism (2002), p. xix

در این روزها که بلا و سختی از هر دریچه‌ای بیرون زده، از زمین و زمان برایمان می‌بارد، دانشگاه‌هایمان تبدیل به بنگاه‌های معاملاتی و محل برگزاری یک سری مراسم‌ تشریفاتی شده‌اند شاید بد نباشد که به زندگی کسانی که عمری قهرمانشان دانسته‌ایم زیرچشمی نگاهی داشته باشیم و ببینیم که در نهایت، با خودمان چندچندیم!

«هر عمل آدمی تابعی است از اراده‌ی خود او یا اراده‌ی کسی دیگر. اگر این همه آدم اراده‌ی خود را تابع اراده‌ی نازی‌ها نکرده بودند، چیزی به نام اردوگاه‌های مرگ به وجود نمی‌آمد.» (هرمان، ۱۳۹۰: ۱۰۰؛ به نقل از آلبرت آینشتین)

ـ هرمان، ویلیام؛ اینشتین و شاعر؛ ترجمه‌ی ناصر موفقیان؛ تهران: انتشارات علمی و فرهنگی، (۱۳۹۰) چاپ چهارم.

در قرنطینه خانگی مانده‌ایم، سختمان است؟ تجربه تحریم و گرانی و بیچارگی داشته‌ایم؟! دچار درد مهاجرت و غربت هستیم؟ قبول! شرایط سخت است. اما می‌شود این گونه هم نگاه کرد که قهرمان‌هایی که عمری ستایششان کرده‌ایم در دوران سختی درخشیده‌اند، آن‌گاه روحیه می‌گیریم! معروف است که نیوتون، قانون گرانش عمومی را زمانی کشف کرد که به خاطر طاعون مجبور شده بود از کمبریج به لینکلن‌شر (خانه مادری) برود. همین‌طور ویلیام شکسپیر، «لیر شاه» را در زمان طاعون نوشت! کتاب «جز و کل» هایزنبرگ را بخوانیم و ببینیم که در آن بحبحه جنگ و بگیر و ببند این عزیزان چگونه هم به علم می‌پرداختند، هم به سیاست و هم به شرافت! در کتاب «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» ببینیم که زندگی چگونه بر فاینمن سخت گذشت و هنگامه جنگ چگونه آن‌ها را مجبور به کارهایی کرد که دوست نمی‌داشتند! برگردیم به آینشتین، نشنال جئوگرافیک در مجموعه سریال‌های «نابغه» ، سریالکی ساخته در مورد او که دیدنش خالی از لطف نیست. در زندگی آلبرت آینشتین چیزی که کم نیست، درد است و رنج:

«در زوریخ من اغلب گرسنه بودم. هیچکس نمی‌داند که هر روز چندتا در را برای پیدا کردن کار می‌کوبیدم.» (هرمان، ۱۳۹۰: ۸۴؛ به نقل از آلبرت آینشتین)

ـ هرمان، ویلیام؛ اینشتین و شاعر؛ ترجمه‌ی ناصر موفقیان؛ تهران: انتشارات علمی و فرهنگی، (۱۳۹۰) چاپ چهارم.

آثار آینشتین را در اینجا می‌توانید ببینید. این نوشته را فقط به این خاطر منتشر کردم که در این شرایط که همه چیز سیاه است بد نیست که به چیزهای بهتری هم فکر کنیم. امید داشته باشیم به آینده و عزم داشته باشیم به یادگیری. در دنیایی که علم و پژوهش تبدیل به دکان شده، یاد کردن از این گونه انسان‌ها خاطرمان را آسوده می‌کند.

این‌ روزها در میان گفتاوردهای آینشتین، این جمله را هر روز با خود زمزمه می‌کنم:

هر احمقی می‌تواند بداند، نکته فهمیدن است!

Any fool can know. The point is to understand
Albert Einstein
تصویری از آینشتین به همراه والتر مایر (ریاضیدان و دستیار آینشتین) در پاسادینا، کالیفرنیا، اوایل ۱۹۳۱. والتر مایر به ماشین حساب آینشتین معروف بود!

اهمیت آموزش ریاضیات در بستر تاریخ ریاضیات و سایر علوم

به گفته‌ی مورخان، ریاضیات ابتدایی بخشی از نظام آموزشی جوامع باستانی را تشکیل می‌داده و یونان، روم و مصر باستان جوامعی بوده‌اند که در آن‌ها ریاضیات آموزش داده می‌شده است. در آن دوران، آموزش ریاضیات کاری مردانه تلقی می‌شده و فقط دانش‌آموزان پسر از آن بهره‌ می‌بردند. این تبعیض در آموزش ریاضیات تا سالیان سال ادامه داشته و هنوزم که هنوز است که برای برخی ریاضی چیزی است که بیشتر مناسب مردها است! در نگاه به زندگی امی نوتر -مادر جبر نوین- در آلمان قرن ۱۹ میلادی، ردپاهای جدی چنین تبعیضی به شدت مشخص است. البته این نکته قابل ذکر است که بنا بر آنچه که مورخین گزارش می‌کنند فیثاغورس در زمان خود به آموزش ریاضیات می‌پرداخته و برخلاف سنت گذشتگان، معاصران و آیندگان خود به دختران نیز آموزش ریاضیات می‌داده است. اولین کتاب آموزش ریاضیات در قرن شانزدهم میلادی توسط رابرت ریکورد به زبان انگلیسی و فرانسه نوشته شده است. همزمان با انقلاب صنعتی نیاز مردم در جامعه به ریاضیات بیشتر احساس شد. شمردن، نحوه‌ی خواندن ساعت، شمارش پول و… همه از نیازهایی بود که مردم برای زندگی روزانه در یک جامعه‌ی شهری احتیاج داشتند. به همین منظور ریاضیات بخش مهمی از نظام آموزش عمومی را تشکیل داد. با آغاز قرن بیستم میلادی ریاضیات به عنوان یکی از پایه‌های آموزش عمومی در تمام کشورهای توسعه‌یافته شناخته شد.

در ایران نیز تا پیش از تاسیس دارالفنون آموزش ریاضیات ابتدایی در مدارس دینی رواج داشت. دوران صفویه و زندیه در مقایسه با دوران‌های پیش از خود از جهت حضور ریاضی‌دانان برجسته‌ای چون غیاث‌الدین جمشید کاشانی دورانی کم‌فروغ به شمار می‌آمده است اما به علت وجود حوزه‌های علمیه و لزوم دانستن محاسبات شرعی طلاب و علمای دینی ریاضیات ابتدایی را در حوزه‌های علمیه می‌آموختند. روی کار آمدن سلسله‌ی قاجار همزمان شد با پیشرفت‌های چشمگیر و تحولات سریع اروپا. پس از جنگ‌های ایران و روسیه و شکست نظامیان ایران عباس میرزا در پی اصلاحات اساسی برآمد که یکی از ثمرات این اصلاحات تاسیس مدرسه‌ی دارالفنون بود. با گسترش دارالفنون ریاضیات اروپایی در قالب آموزش، چاپ کتب آموزشی، و ترجمه‌ی آثار ریاضی‌دانان وارد ایران شد.پس از دارالفنون مدرسه‌ی دیگری به همین نام این‌بار در تبریز تاسیس شد. پس از آن میرزاحسن رشدیه با تلاش‌های خود موفق شد مدرسه‌ی دیگری برای آموزش نوین راه‌اندازی کند. با گسترش مدارس نیاز به معلمان دانش‌آموخته بیش از پیش احساس می‌شد و همین امر منجر به تاسیس دارالمعلمین عالی و پس از آن دانش‌سراهای عالی شد. دانش‌سرای عالی و روش علمی و آموزشی آن بعدها اثرات چشمگیری در گسترش ریاضیات در ایران داشت.

آموزش ریاضیات یکی از مهم‌ترین چالش‌های نظام‌های آموزشی در طی سالیان گذشته و اکنون در جهان به شمار می‌آید تا جایی که سالیانه پژوهش‌های زیادی درباره‌ی چگونگی آموزش ریاضی صورت می‌گیرد. ریاضیات از قدیمی‌ترین تلاش‌های بشر برای شناخت و توصیف جهان به شمار می‌رود. پیشرفت‌های چشمگیر سایر علوم نظیر فیزیک، شیمی و زیست‌شناسی نیز مرهون ریاضیات است. ریاضیات مانند سایر علوم پدیده‌ای اجتماعی است و شناخت و یادگیری آن نیز در بستر شناختن تاریخ و اجتماع و پدیده‌هایی که شهود انسان را می‌سازند بهتر اتفاق می‌افتد.

دلایل متعددی برای آموزش ریاضیات به همراه تاریخ آن وجود دارد؛ اگر ریاضیات را مستقل از تاریخ آن به دانش‌آموز آموزش داده شود، دانش‌آموز با روابطی مواجه می‌شود که احتمالا آنها را انتزاعی می‌پندارد و برای خود سهمی در گسترش آن روابط قائل نخواهد بود. دانستن تاریخ ریاضیات چشم‌انداز گسترده‌ای از تحول و حل مسائل ریاضی به دانش‌آموز می‌دهد و این امکان را فراهم می‌کند که مشکلات را شناسایی کنند و برای حل آنها دست به تعمیم و اثبات فرضیات علمی بزند. تاریخ ریاضیات بخشی از تاریخ کل جامعه‌ی بشری است که در آن به ما می‌گوید بشر چگونه ریاضیات را توسعه داده و از نتایج آن برای بهبود زندگی خود استفاده کرده است. بنابر نتایج تحقیقات به نظر می‌رسد که دانستن تاریخ علوم در فرآیند یادگیری دانش‌آموزان تاثیر به‌سزایی دارد.

ولادیمیر ایگورویچ آرنولد، ۱۹۳۷ در شوروی– ۲۰۱۰ در پاریس، فرانسه) – نگاره از ویکی‌پدیا

اما دانستن تاریخ ریاضیات فقط بخشی از آن است. همان‌طور که سایر علوم پیشرفت خود را مرهون ریاضیات‌اند، ریاضیات نیز بسیاری از ایده‌های خود را از سایر علوم گرفته است. برای فهمیدن ایده‌های مختلف ریاضیات لازم است که به سایر علوم نیز نظر بیفکنیم.

آرنولد، ریاضی‌دان روس، در سال ۱۹۹۷ در یک سخنرانی انتقادات شدیدی به نظام آموزش ریاضی وقت فرانسه وارد کرد. متن ترجمه شده‌ی این سخنرانی را می‌توانید از اینجا بخوانید. آنچه در سخنان آرنولد جالب توجه است انتقاد به جدا کردن ریاضیات از فیزیک و هندسه بود. در آن دوران آموزش ریاضی در فرانسه با تحولات عجیبی روبرو شده بود. ریاضیات به صورت کاملا مجرد و مجزا از سایر علوم آموزش داده می‌شد. زمانی از یک دانش‌آموز دبستانی پرسیدند ۲+۳ چه عددی می‌شود و او در پاسخ گفته بود ۲+۳=۳+۲ زیرا جمع خاصیت جابجایی دارد!

ریاضیات بخشی از فیزیک است. فیزیک علمی است تجربی، بخشی از علوم طبیعی. ریاضیات بخشی از فیزیک است که در آن آزمایش ارزان است. … از آنجا که ریاضیات اسکولاستیک جداشده از فیزیک، نه به کار آموزش می‌آید و نه به کار کاربرد در دیگر علوم، نتیجه چیزی نبود جز نفرت همگانی از ریاضیات – هم از طرف بچه مدرسه‌ای‌های بینوا (که برخی از آنها در همین حین وزیر و وکیل شدند) و هم از طرف کاربران.

ولادیمیر آرنولد، درباره آموزش ریاضیات
On teaching mathematics by V.I. Arnold

مثال‌هایی از این قبیل در آن زمان و در آن نظام آموزشی به‌وفور یافت می‌شده است. امروزه بنابر نتایج پژوهش‌ها به نظر می‌آید برای آموزش تاثیرگذار ریاضیات در کلاس درس باید به جنبه‌های تاریخی و فرهنگی ریاضیات و ارتباط ریاضی با سایر علوم توجه ویژه کرد. حین نوشتن این مطلب کمی به کتاب‌های تألیفی آموزش و پرورش ایران در ریاضیات نگاه کردم. پس از حدود یک دهه که از مدرسه خارج شده‌ام و به تحصیل فیزیک و ریاضی در دانشگاه پرداختم تازه متوجه شدم که چرا در مدرسه‌ی راهنمایی هم‌کلاسی‌هایم علاقه‌ی چندانی به ریاضیات نداشتند و در یادگیری آن ضعیف عمل می‌کردند. کتاب‌های درسی‌مان تقریبا خالی از هر داستان تاریخی و خالی از هر پیوندی بین ریاضیات و زندگی بودند. آموزش ریاضیات به بخشی از آموزش‌های کشورهای توسعه‌یافته در قرن بیستم بدل شد چرا که انسان شهری نیازمند مهارت‌های ریاضی برای زندگی خود بود. به نظر می‌رسد آموزش زمانی مفید و موثر است که پیوند تنگاتنگ ریاضیات و سایر جنبه‌های علم و زندگی به خوبی به دانش‌آموزان نشان داده شود. این یکی از حلقه‌های مفقوده‌ی آموزش ریاضیات است.

اگر معلم هستید و این نوشته را می‌خوانید، این بار قبل از شروع درس در کلاس‌تان برای دانش‌آموزان قصه‌ای از تاریخ علم بگویید و اجازه دهید ارتباط بین آنچه می‌آموزند و زندگی روزانه‌شان را کشف کنند. نتیجه‌ی خوب آن را تا پایان سال تحصیلی مشاهده خواهید کرد.

پی‌نوشت: درباره‌ی مقاله‌ی آرنولد توضیحات بیشتری توسط سیاوش شهشهانی استاد ریاضی دانشگاه شریف نوشته شده است که می‌توانید اینجا مطالعه کنید.

gamma_no_07_pp_11-18

آگار، گذارفاز و بازگشت‌ناپذیری

در گذار فاز، سیستم ویژگی بازگشت‌پذیری ترمودینامیکی رو از دست میده و معمولا گسستگی در فضای ترمودینامیکی دیده میشه. یک لحظه مثال آب و یخ رو مرور کنیم: دمای انجماد آب (H2O مایع) و دمای ذوب برای یخ (H2O جامد) برابره. حدود صفر درجه آب یخ می‌زنه و یخ آب میشه!

اما مثلا برای «آگار» این‌جوری نیست! یعنی دمای ذوب آگار جامد و دمای انجماد آگار مایع یکی نیستند! آگار جامد در دمای ۸۵ درجه سانتی‌گراد ذوب میشه. اما وقتی آگار مایع داشته باشین و شروع به سرد کردنش کنید، در دمای ۴۰ درجه منجمد میشه (نه در ۸۵ درجه). یعنی چی؟!

وقتی آگار جامد رو در دمای ۸۵ درجه ذوب کنید، تا زمانی که به دمای ۴۰ درجه میرسه مایعه! یعنی اگه آگار ذوب شد و خواستین منجمدش کنید باید صبر کنید که به ۴۰ درجه برسه! برای همین اگه در بازه زمانی ۴۰ تا ۸۵ درجه آگار هم به صورت مایع می‌تونه وجود داشته باشه هم به صورت جامد! «بستگی داره که مسیر گرما دادن به سیستم چه جوری باشه» (ببینید که مسیر مهمه!)

این ایده وابستگی به مسیر رو توی فیزیک با واژه پسماند یا hysteresis در موردش حرف می‌زنند. مثال آشناترش وقتیه که میدان مغناطیسی روی یه تیکه آهن اعمال می‌کنیم و آهن خاصیت آهن‌ربایی (مغناطیسی) پیدا می‌کنه ولی وقتی میدان اعمال شده رو قطع می‌کنیم، برخلاف انتظارمون سیستم به حالت قبلی (عدم وجود خاصیت‌ آهن‌ربایی) بر نمی‌گرده

مدل تئوری مغناطش m، در برابر میدان مغناطیسی h. با شروع از مبدأ نمودار صعودی نشان‌دهنده منحنی مغناطش اولیه است. نمودار نزولی پس از اشباع، به همراه منحنی بازگشت پایین، حلقه اصلی را شکل می‌دهند.
نگاره از ویکی‌پدیا

این ایده اساسی شیوه کار کردن دیسک‌های مغناطسی (هارد کامپیوتر) هست.

یادگیری متلب و گنو اُکتاو

من معمولا از پایتون برای برنامه‌نویسی استفاده می‌کنم، چون پایتون آزاده، رایگانه و یه حالت آچار فرانسه‌طوری داره که کارهای مختلف میشه باهاش کرد. همین‌طور پایتون کتاب‌خونه‌های زیادی داره که برای کارهای مختلف علمی (محاسباتی) میشه ازشون استفاده کرد. خوبی این کتاب‌خونه‌ها اینه که به زبان‌های سطح پایین‌تری نوشته شدن به همین خاطر به قدر کافی سریع هستند! اگر هم کسی قصد کارهای تحلیل داده و یادگیری ماشین داشته باشه هم پایتون گزینه اوله، دست کم برای شروع! خلاصه همیشه به همه پیشنهاد می‌کنم که با پایتون شروع کنید و اگه کار دانشگاهی می‌کنید با پایتون ادامه بدین! از همه مهم‌تر وقتی شما با پایتون کد می‌زنید معمولا آدم‌هایی رو پیدا می‌کنید که مثل شما روی پروژه یا مسئله مشابهی کار کردن یا کار میکنند و از تجربیاتشون می‌تونید استفاده کنید یا ازشون سوال بپرسین.

با این وجود گاهی پیش میاد که آدم مجبور به استفاده از زبان‌های دیگه بشه. تجربه شخصی من اینه که عمده دانشگاهی‌ها به این دلیل مجبور میشن از یک زبان خاص استفاده کنند که به قدر کافی آدم‌های حرفه‌ای در تیمشون نیست! گاهی استاد و تیمی که پروژه‌ای رو پیش برده سال‌ها با یک زبان خاص کد زدند و ترجیحشون اینه که آدم‌های جدید هم با همون زبون ادامه بدن. راه کم‌دردسرتری هست معمولا، هر چند که گاهی می‌تونه به شدت احمقانه باشه! خلاصه ممکنه که هر کسی مجبور بشه سراغ زبان‌ها یا محیط‌های دیگه برنامه‌نویسی بره. یکی از این محیط‌ها متلب هست. توی لینوکس می‌تونید از Octave به جای متلب استفاده کنید و لذتش رو ببرید!

متلب یک محیط نرم‌افزاری برای انجام محاسبات عددی و یک زبان برنامه‌نویسی نسل چهارم است. واژهٔ متلب هم به معنی محیط محاسبات رقمی و هم به معنی خود زبان برنامه‌نویسی مورد نظر است که از ترکیب دو واژهٔ MATrix (ماتریس) و LABoratory (آزمایشگاه) ایجاد شده‌است. این نام حاکی از رویکرد ماتریس محور برنامه است، که در آن حتی اعداد منفرد هم به عنوان ماتریس در نظر گرفته می‌شوند.

گنو اُکتاو ( GNU Octave) زبان برنامه‌نویسی سطح بالایی است که بیشتر برای محاسبات عددی به کار می‌رود. این برنامه امکانات زیادی را از طریق رابط خط فرمان برای حل عددی مسائل خطی و غیر خطی می‌دهد. این برنامه را می‌توان جایگزین مناسبی برای همتای غیر آزاد خود متلب به حساب آورد.

ویکی‌پدیا

در ادامه یک سری منبع برای یادگیری متلب و اکتاو رو معرفی می‌کنم.

برای شروع

از بین این دوره‌ها، ببینید کدوم یکی به مذاقتون بیشتر خوش میاد:

برای محسابات عددی

به طور کلی

پیشنهاد من اینه که کلیات متلب رو یاد بگیرین و از منابع مختلف مربوط به کارتون استفاده کنید. مخصوصا از مثال‌های خود Mathworks استفاده کنید. مثلا اینجا ۵۰۰ تا مثال خیلی خوب برای ریاضیات، آمار و یادگیری ماشین هست. خوبه به این‌ها حتما نگاه کنید. حواستون باشه که به روی ایران بسته‌س و شما نیاز به چیزی برای دور زدن تحریم دارین که حتما راه‌های مختلفی بلدین براش!

این کتاب پر از مثال‌های خیلی قشنگه و اساسا آموزشش بر پایه مثال زدن. فصل اولش هم برای کسایی که آشنایی با متلب ندارن یک سری مثال آموزشی خوب داره.

خوبی این کتاب اینه که جواب تمرین‌ها رو هم داره و می‌شه به عنوان کتاب کمکی برای تدریس ازش استفاده کرد.

به عنوان پیشنهاد به دوستانی که معلم این درس یا درس‌های دیگه میشن : میتونید به جای حل‌تمرین سنتی پایه کلاس‌هاتون رو بر همچین چیزی بذارید. همین کار کوچیک میتونه تغییر محسوسی توی آموزش فیزیک به‌وجود بیاره. این کتاب نسخه‌ پایتونی هم داره!