رفتن به نوشته‌ها

دسته: معرفی کتاب

سورپرایزهای ریاضی در مکانیک کوانتومی: در ستایش دقت ریاضی

«دقت ریاضی بسیار زیاد در فیزیک استفاده چندانی ندارد. اما کسی نباید از ریاضی‌دان‌ها در این باره اشکالی بگیرد […] آن‌ها دارند کار خودشان را انجام می‌دهند.»

– ریچارد فاینمن، ۱۹۵۶

از دید بسیاری از فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی (mathematical rigor) در اکثر اوقات برای جامعه فیزیک غیر‌ضروری بوده و حتی با کند کردن سرعت پیشرفت فیزیک می‌تواند برای آن مضر نیز باشد.

شاید بتوان دلیل فاینمن را برای بیان این نظر درک کرد؛ برای لحظه‌ای تصور کنید که فاینمن فرمالیسم انتگرال مسیر خود را به دلیل وجود نداشتن تعریف دقیق ریاضی از این انتگرال‌های واگرا (که تا به امروز نیز تعریف جامع و دقیقی از آن‌ها در دسترس نیست) معرفی نمی‌کرد و یا فیزیکدان‌ها به دلیل وجود نداشتن تعریف اصول موضوعه‌ای از نظریه میدان‌های کوانتومی، از آن استفاده نمی‌کردند! قطعا انتظار سطح یکسانی از دقت ریاضی در اثبات قضایای ریاضی و در نظریه‌های فیزیکی انتظاری بیش از حد سنگین و غیر عملی است اما، بر خلاف برداشت رایج در بین فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی همیشه به معنی جایگزین کردن استدلال‌های بدیهی اما غیر دقیق با اثبات‌های خسته کننده نیست. در بیشتر اوقات دقت ریاضی به معنی مشخص کردن تعریف‌های دقیق و واضح برای اجزای یک نظریه است به طوری که استدلال‌های منطبق بر شهود با قطعیت درست هم باشند! شاید بتوان این مطلب را در نقل قول زیر خلاصه کرد:

«دقت ریاضی پنجره‌ای را غبارروبی می‌کند که نور شهود از طریق آن به داخل می‌تابد.»

اِلیس کوپر

در فرمول‌‌بندی نظریه‌های‌ فیزیکی، بی‌توجهی به پیش‌فرض‌ها و ظرافت‌های ریاضی می‌تواند به سادگی به نتایجی در ظاهر متناقض بی‌انجامد که در بسیاری از موارد عجیب و حیرت‌انگیز به نظر می‌رسند. این مثال ساده از مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: برای ذره‌ای کوانتومی در یک بعد، عملگر‌های تکانه خطی P و مکان Q از رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ پیروی می‌کنند

حال با گرفتن رد (trace) از دو طرف این رابطه مشاهده می‌کنیم که رد طرف چپ این معادله با استفاده از خاصیت جا‌به‌جایی عمل ردگیری صفر می‌شود در حالی که رد سمت راست این معادله غیر صفر است! از آنجا که این رابطه یکی از بنیادین‌ترین روابط مکانیک کوانتومی است و بسیاری از مفاهیم عمیق فیزیکی مکانیک کوانتوم نظیر اصل عدم قطعیت از آن نتیجه می‌شود، این نتیجه (به ظاهر) متناقض حیرت انگیز به نظر می‌رسد! برای پیدا کردن مشکل بیاید نگاه دقیق‌تری به رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ و دامنه اعتبار تعریف عمل ردگیری بی‌اندازیم: فرض کنید رابطه جا‌به‌جایی بالا برای دو عملگر P و Q، که روی فضای هیلبرت H با بعد متناهی n تعریف می‌شوند، برقرار باشد. در این صورت، عملگرهای P و Q با ماتریس‌های n*n مختلط داده خواهند شد و عمل ردگیری از آن‌ها خوش‌تعریف است. بنابرین، نتیجه متناقض

نشان می‌دهد که رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ نمی‌تواند روی فضاهای هیلبرت با بعد متناهی برقرار باشد. در نتیجه مکانیک کوانتومی باید روی‌ فضای هیلبرت با بعد نامتناهی (اما شمارا) تعریف شود: روی چنین فضاهایی عمل ردگیری برای تمام عملگرها خوش‌تعریف نبوده (به طور مشخص رد عملگر واحد روی این فضاها تعریف نشده است) و نمی‌توان تناقض بالا را روی این دسته از فضاها نتیجه‌گیری کرد! با تعمیم تناقض بالا به فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی حتی می‌توان نتیجه قوی‌تری نیز درباره عملگرهای تکانه و مکان گرفت ــ حداقل یکی از این عملگرها باید بی‌کران (unbounded) باشد؛ این بدان معنی است که مقادیر ویژه کران‌دار نبوده و این عملگر روی تمام فضای هیلبرت خوش‌تعریف نخواهد بود! این نتیجه خود به آن معنی است که نه عملگرهای خلق و فنا و نه عملگر هامیلتونی (انرژی) روی تمام حالات فضای هیلبرت نوسانگر هماهنگ خوش‌تعریف نیستند (هر چند می‌توان بستار این عملگرها را روی کل فضای هیلبرت تعریف نمود). هر کدام از این نتایج خود منجر به نتیجه‌گیری‌های شگفت‌انگیز دیگری می‌شوند که ما را مجبور می‌سازند در تعریف بسیاری از مفاهیم به نظر بدیهی تجدید نظر کنیم: برای مثال، در فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی و در حالتی که تمام عملگر‌های فیزیکی کران‌دار باشند، می‌توان حالتی را متصور شد که فضا هیلبرت شامل هیچ حالت غیر درهمتنیده‌ای بین دو ‍‍‍‍«زیر سیستم» نباشد و در نتیجه نتوان آن را به صورت ضرب تانسوری دو فضای هیلبرت متعلق به هر زیر سیستم نوشت! این مسئله نیاز به تعریف دقیق‌تری از مفهوم «زیر سیستم» در نظریه میدان‌های کوانتومی و تعمیم‌های آن (مانند نظریه گرانش کوانتومی) را نشان می‌دهد که خود می‌تواند به حل شدن بخشی از تناقض‌های عمیق‌تر مانند مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها منجر شود! توجه کنید که دقت به دامنه اعتبار رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ به نوبه خود چگونه می‌تواند ما را در درک بهتر درهمتنیدگی در نظریه میدان‌های کوانتومی و سوالاتی عمیق‌تر از جمله ساختار علی فضا و زمان و یا مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها یاری کند! مثال‌هایی از این دست در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان‌های کوانتومی به فراوانی یافت می‌شوند که چند مثال دیگر و توضیح مفصل در مورد چگونگی حل آن‌ها را می‌توانید در مقاله آموزشی (و بسیار هیجان‌انگیز) زیر پیدا کنید:

Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics

François Gieres 2000 Rep. Prog. Phys. 63 1893

By a series of simple examples, we illustrate how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics. The basic mathematical notions allowing for a precise formulation of the theory are then summarized and it is shown how they lead to an elucidation and deeper understanding of the aforementioned problems. After stressing the equivalence between wave mechanics and the other formulations of quantum mechanics, i.e. matrix mechanics and Dirac’s abstract Hilbert space formulation, we devote the second part of our paper to the latter approach: we discuss the problems and shortcomings of this formalism as well as those of the bra and ket notation introduced by Dirac in this context. In conclusion, we indicate how all of these problems can be solved or at least avoided.

هایزنبرگ – علم، جنگ و سیاست

هایزنبرگ که به اصل عدم قطعیتش معروف است، فیزیکدان آلمانی بود که در توسعه فرمول‌بندی ماتریسی مکانیک کوانتومی نقش بسزایی داشت. در زمان جنگ دوم، او جزو آن دسته از فیزیکدانانی بود که در آلمان ماند و با این‌که عضو حزب نازی نشد ولی نقش کلیدی در برنامه هسته‌ای آلمان ایفا کرد. هایزنبرگ غیر از علم، علاقه‌ زیادی به موسیقی کلاسیک داشت و پیانیست چیره‌دستی هم بود. خودش تعریف می‌کند که زمستان ۱۹۳۷، در عصر سردی که برای نواختن قطعه‌ای از بتهوون به خانه بوکینگ رفته بوده، یکی از حضار جوان مجلس دست او را گرفته و از انزوای عمیقی بیرونش کشیده و بعدها مادر هفت فرزندش شده! هایزنبرگ از آن فیزیکدانانی است که برای نسل ما قطعا منبع الهام خواهد بود.

این روزها که دومرتبه جنگ گریبانگیر اروپا شده، ماجرای زندگی پر فراز و نشیب هایزنبرگ به عنوان دانشمند برجسته‌ای که طعم تلخ درد و رنج جنگ را چشیده حتی اگر برای ما خالی از حکمت باشد، قطعا خالی از لطف نیست! «جزء و کل» نام کتابی است که در آن هایزنبرگ ماجرای زندگی‌اش را در خلال گفت‌وگوهایی با افراد سرشناس تاریخ تعریف می‌کند. خط زمانی ماجرا از سال ۱۹۲۰ شروع می‌شود و رفته‌رفته به جنگ دوم و شکل‌گیری و به‌کارگیری فیزیک مدرن می‌رسد. هایزنبرگ در این کتاب نه تنها به سراغ فیزیک که به ارتباط آن با فلسفه، تاریخ، سیاست، زبان، شیمی و زیست‌شناسی هم می‌رود. آن‌چه که این کتاب را برای من متمایز می‌کند نوع روایت هایزنبرگ از زندگی یک فیزیکدان یا یک انسان است. او خاطراتش را در قالب مجموعه‌ای از گفت‌وگوها به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که موقع خواندن کتاب این حس متبادر می‌شود که گویی با یک فنجان چایی در حال گوش دادن به خاطرات یک پیر دانا هستی! این کتاب هم فال است و هم تماشا؛ هم درس زندگی است و هم یک روایت‌ هیجان‌انگیز برای خواندن!

جزء و کل سال‌ها پیش توسط حسین معصومی همدانی ترجمه و توسط نشر دانشگاهی منتشر شده. در ادامه، سه بخش از این کتاب که مربوط به جنگ و سیاست است آمده:

  • درس‌هایی در سیاست و تاریخ (۱۹۲۴ – ۱۹۲۲)
  • رفتار فردی در مواجهه با مصائب سیاسی (۱۹۴۱ – ۱۹۳۷)
  • مباحثات علمی و سیاسی (۱۹۵۷ – ۱۹۵۶)

زندگی گالیله

گالیلئو گالیله قطعاً یکی از مشهورترین چهره‌های تاریخ علم است؛ نه فقط به‌دلیل نقش برجسته‌اش در گسترش و پیشرفت علم فیزیک و نجوم، بلکه به‌خاطر ماجرای اختلافش با کلیسا بر سر حمایت از نظریهٔ خورشیدمرکزیِ کوپرنیک. همین امر باعث شده است آثار زیادی تا به امروز در رابطه با زندگی گالیله تألیف شود. نمایشنامهٔ «زندگی گالیله» نوشتهٔ برتولت برشت، نویسندهٔ بزرگ آلمانی، یکی از آثار شاخص ادبی در این زمینه است که تابه‌حال چندین‌بار به زبان های مختلف روی صحنه رفته.

علاوه بر دردسترس‌بودن نسخهٔ فیزیکی این کتاب در کتاب‌فروشی‌های مختلف، این اثر را می‌توانید در قالب‌های دیگر نیز از طریق لینک‌های زیر بخوانید و بشنوید و ببینید:

همچنین در ادامه می‌توانید گفتگوی مهدی موسوی را با دکتر امیرمحمد گمینی، عضو هیئت علمی پژوهشکدهٔ تاریخ علم دانشگاه تهران، در رابطه با نمایشنامهٔ «زندگی گالیله» مشاهده کنید. در این گفتگو که در بستر لایو اینستاگرامی برگزار شده، کتاب برشت از منظر تاریخی و فلسفی مورد بررسی قرار گرفته و درمورد سؤالات زیر بحث شده است:

  • آیا گالیله سوسیالیست بود؟
  • آیا اختلاف گالیله با کلیسا بر سر ایمان و عقلانیت بود؟
  • آیا گالیله نظریه خورشید مرکزی را اثبات کرده بود؟
  • آیا رصدهای گالیله نجوم بطلمیوسی را به طور قطع مردود کرده بود؟

(اصلاحیه: خانم منجم یونانی در قرن چهارم میلادی هوپاتیا نام داشت.)

به‌علاوه نسخهٔ صوتی این اثر را می‌توانید در پادکست تاریخ علم و اندیشه بشنوید.

🎞 گفت‌وگو در مورد علم شبکه و علم داده

این برنامه به منظور آشنایی بیشتر با علم شبکه و علم داده در قالب یک گفت‌وگوی زنده اینستاگرامی برگزار شد. در این برنامه به این کتاب‌ها و مطالب اشاره شد:

میهمانان

مژگان خانجانیان پاک 🇮🇷
دانشجوی دکتری فیزیک سیستم‌های پیچیده، انتشار بیماری در شبکه‌های پیچیده، دانشگاه تحصیلات تکمیلی زنجان

سارا حیدری 🇫🇮
دانشجوی دکتری سیستم‌های پیچیده، جامعه‌شناسی محاسباتی، دانشکده علوم کامپیوتر، دانشگاه آلتو

سینا سجادی 🇦🇹
دانشجوی دکتری علم شبکه، علوم اجتماعی محاسباتی، مرکز علوم پیچیدگی وین

پرسش‌های اصلی که در این برنامه دنبال شد به شرح زیر است:

  • اسم دقیق این گرایش چیست؟
  • هدف و پرسش‌های معروف در این گرایش چیست؟ متخصصان به چه نوع از مسائل علاقه دارن؟
  • به نظر شما چه تصویر رایج غلطی در ذهن عوام در مورد این گرایش وجود دارد؟
  • چگونه با این رشته آشنا شدین؟ 
  • چه‌طور متوجه شدید که این گرایش مناسب شماست؟
  • محیط کار شما چه شکلی است؟ (آزمایشگاه، رصدخانه، پشت میز، کار با کامپیوتر و …)
  • یک روز عادی در زندگی حرفه‌ای شما چگونه سپری می‌شود؟
  • آیا از انتخابتان راضی هستید؟
  • سختی‌های زندگی شما شامل چه چیزهایی می‌شود؟
  • آیا به سایر علاقه‌مندان به این گرایش توصیه می‌کنید که به‌طور حرفه‌ای به این گرایش بپردازند؟
  • مقدمات علمی و فنی لازم برای ورود به این گرایش
  • درس‌های اصلی (ارائه شده و نشده در مقطع کارشناسی)
  • مهارت‌های جانبی (توانایی محاسباتی و کار کردن با نرم‌افزارهای خاص)
  • کدام دانشگاه و یا مراکز تحقیقاتی در ایران به این گرایش می‌پردازند؟
  • بازار کار در ایران و خارج چگونه است؟
  • امکان تحصیل در خارج از کشور و پذیرش گرفتن در این گرایش چگونه است؟
  • آینده کاری و وضعیت رفاهی خود را چگونه می‌بینید؟ در ایران/خارج

در اینستاگرام ببینید:

در یوتیوب بینید:

اطلاعات بیشتر:

فیزیک آماری و سیستم‌های پیچیده

یادگیری آمار به صورت آدمیزادی!

کتاب «استنباط آماری در عصر کامپیوترها» نوشته بردلی افرون و ترور هستی یک کتاب مدرنِ عمیق در مورد الگوریتم‌ها، ماشین لرنینگ و علم داده است. کتاب برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی رشته آمار و هر کسی که دانش کافی و علاقه وافی برای خوندنش داشته باشه طبیعتا مناسبه!

Computer Age Statistical Inference
Algorithms, Evidence, and Data Science
Bradley Efron Trevor Hastie

این کتاب به شما کمک می‌کنه تا هم یادبگیرین از الگوریتم‌ها استفاده کنید و هم بفهمین که چرا این کارو انجام می‌دین! کتاب با پرداختن به استنباط آماری کلاسیک شروع می‌کنه، سراغ مکاتب فراوانی‌گرایانه (frequentism) و مکتب بیزی (bayesian) و در بخش دومش به الگوریتم‌ها روش‌های جدید کامپیوتری می‌پردازه. آخر سر هم میره سراغ مباحث روز مثل لاسو، جنگل تصادفی، بوستینگ، شبکه‌های عصبی و یادگیری عمیق!

🎞 در یوتیوب ببینید.

این کتاب توسط دکتر میرصادقی در دانشکده ریاضی شریف تدریس شده و ویدیو کلاس‌هاش موجوده.

📱در اینستاگرام ببینید

شرمنده، ولی، جبرخطی یاد بگیرید!

برای کسایی که فیزیک می‌خونند خیلی مهمه که جبر خطی رو درست حسابی یاد بگیرن؛ چون هم فاله و هم تماشا! هم خیلی کاربرد داره و هم خیلی درک و شهود ما رو بالا می‌بره. از مکانیک کوانتومی گرفته تا سیستم‌های پیچیده، همه به ابزارهای جبرخطی نیاز دارن! همین‌طور خارج از فیزیک، مثلا در علم داده (دیتا ساینس) هم خیلی کاربردیه. خلاصه که این تابستون از دوره‌های آنلاین استفاده کنید و جبر خطی یادبگیرین 🙂

کلاس‌های گیلبرت استرنگ:

چگونه با آمار دروغ بگوییم؟

من خوب به خاطر دارم که وقتی دبیرستانی بودم، تمام رشته‌های تحصیلی در دبیرستان درس آمار رو می‌گذروندن. بعدها که بیشتر با مسائل روز درگیر شدیم تنگاتنگ بودن ارتباط آمار با وقایع اطرافمون رو بهتر متوجه شدم. ناهم‌خوانی‌هایی این وسط وجود داشت. همه‌چیز گرون میشه اما نرخ گرون شدن اجناس با تورمی که از سوی بانک مرکزی اعلام میشه همخوانی نداره. آمار بیکاری با چیزی که واقعا می‌بینیم تضاد داره. اخبار وارونه جلوه داده میشه. اتفاقات مثبت با کمی بازی با کلمات، منفی جلوه داده میشه. گاهی برای نمایش نتیجه‌ی مطلوب همبستگی رو به جای علیت نشون میدن.و خلاصه کلی مثال این شکلی دیگه که وجود داره و آدم رو گیج می‌کنه.

من چند وقت پیش اتفاقی با کتاب چگونه با آمار دروغ بگوییم آشنا شدم و خوندمش. کتاب بسیار کوتاه نوشته شده و مثال‌هاش کاربردیه.این کتاب به ما کمک می‌کنه یک بار دیگه و با ذهن نقاد سراغ آمار و اخباری که هرروز درباره‌ی وقایع زندگی‌مون می‌شنویم بریم.

در بخشی از کتاب می‌خونیم:

فرض کنید که بعد از مدت‌ها جستجو و تحقیق از محله‌های مختلف شهر تهران، برای خرید خانه در منطقه‌ای به ظاهر متشخص، به بنگاه معاملات املاکی می‌رویم. بنگاه‌دار شروع می‌کند به بیان خوبی‌های آن منطقه و امکانات بیشمار آن و در نهایت اعلام می‌کند که علاوه بر تمامی مزایای این منطقه، مزیت مهم دیگر این منطقه این است که «اعیان‌نشین» به حساب می‌آید، زیرا که طبق آمار رسمی دولت، «میانگین درآمد سرانه ساکنین این منطقه در سال ۱۰۰ میلیون است». بعد هم اضافه می‌کند که در این منطقه کلی حاجی‌های بازار و دکترهای خارج‌رفته زندگی می‌کنند. ما هم مسحور این جملات می‌شویم و احتمالا در آرزوی برخورداری از کیفیت بالای زندگی در کنار حاجی‌های بازاری و دکترهای خارج‌رفته که پولدارند، خانه را به قیمت بالایی بدون چانه‌زدن می‌خریم زیرا احتمالا در چنین منطقه پولدار و متشخصی، چانه زدن دون شان و تشخص است.سرخوشی ما از این معامله سراسر سود و خوبی ادامه دارد که ناگهان یک ماه بعد نامه‌ای از شهرداری برای تمامی ساکنان منطقه ارسال می‌شود. مضمون نامه این است که چون منطقه سکونت ما جزو مناطق خوش‌نشین و پولدارنشین حساب می‌شود و هزینه‌های تمیزکاری و درختکاری آن بیشتر از مناطق دیگر است، شورای شهر تصمیم گرفته است که عوارض شهرداری این منطقه را چند برابر کند. ناگهان صدای اعتراض از همه مردم منطقه بلند می‌شود و گروهی به ریاست همان آقای بنگاهدار برای مذاکره با شهرداری تشکیل می‌شود. در جلسه با مسئولین شهرداری، آقای بنگاهدار کلا این ادعا را که این محله جزو مناطق اعیان‌نشین و پولدار است، از پایه و اساس رد می‌کند! او می‌گوید که در محله آنها، کلی آدم بیکار و کارمند وجود دارد به طوریکه طبق آمار رسمی نصف مردم محله زیر ۲۰ میلیون در سال درآمد دارند که تقریبا نزدیک خط فقر است!

این کتاب ترجمه‌ی کتاب How to lies with statistics? هست که البته مترجم مثال‌هایی از کشور خودمون رو وارد ترجمه‌ی کتاب کرده که متن کتاب به ذهن خواننده آشناتر باشه.

این شما و این هم کتابی کوتاه و مفید درباره‌ی آمار.