برخی معتقدند که قلب مکانیک کوانتومی «اصل عدمقطعیت» هایزنبرگ هست. این اصل بیان میکنه که در مکانیک کوانتومی، صرف نظر از خطاهایی که ممکن هست بهخاطر وسایل اندازهگیری و یا هرچیز دیگه پیشبیاد، همیشه یک عدم قطعیتی برای بعضی از کمیتها وجود داره که به هیچ وجه نمیشه از شرشون خلاص شد. به طور ویژه اصل عدم قطعیت بیان میکنه که حاصل ضرب عدم قطعیت «مکان» و «تکانه»ی یک ذره بیشتر از یک مقدار ثابت است:
با این وجود اگر طالب این باشیم که مکان ذره رو بهتر بدونیم اطلاعاتمون از تکانهی ذره کمتر میشه و همین طور اگر بخواهیم از تکانه ذره اطلاعات بیشتری کسب کنیم باید قید دونستن اطلاعات زیاد مکان رو بزنیم. به عبارت دیگه،دونستن دقیق مکان و تکانه، به طور همزمان، در مکانیک کوانتومی غیرممکنه! این عدمقطعیت همینطور سبب شده تا خیلیها به صورت فلسفی در مورد «چرایی» این اصل اندیشه کنند و بحثهای مفصلی رو راه بیاندازند!
بگذریم! دعوتتون میکنم که این ویدیو رو با عنوان «اصل عدمقطعیت هایزنبرگ چیه؟» ببینید:
«هر چیزی که ما آن را واقعی میپنداریم، از چیزهایی ساخته شده که نمیتوانیم آنها را واقعی قلمداد کنیم. اگر مکانیک کوانتومی شما را عمیقا شوکه نکرده، هنوز آن را نفهمیدهاید!» نیلز بور
در مورد مکانیک کوانتومی حرف و نقلهای فراوانی وجود داره که معمولا هر فیزیکپیشهای از اونها مطلع هست. واقعیت اینه که مکانیک کوانتومی گیجکننده هست ولی درسته، کار میکنه! خلاصه اینکه باید مکانیک کوانتومی رو یاد گرفت و ازش استفاده کرد. کتابهای زیادی با رویکردها و سطوح مختلفی نوشته شده و هر کسی میتونه بسته به نیازش یکی از اونها رو تهیه کنه و مطالعه کنه. ولی اگر دنبال یک دوره (کورس) خوب و معتبر برای مکانیک کوانتومی هستید به شما دورهی مکانیک کوانتومی (۱) امآیتی رو برای شروع معرفی میکنم.
یک دورهی ۲۴ جلسهای (هر جلسهش تقریبا ۱ساعت و ۲۰ دقیقه است) که دیدنش حتما پر از سود و فایده خواهد بود برای هرکسی که دنبال یادگیری مکانیک کوانتومیه! استاد این درسAllan Adams ، فوقالعاده این درس رو ارائه میکنه (متاسفانه ما از این قبیل اساتید پرانرژی خیلی خیلی کم داریم توی دانشگاههامون.)
تصویری از کلاس کوانتوم (۱)
به سایتMIT OCW برید و اطلاعات تکمیلی این دوره رو ببینید.
معمولا دانشجوهای سال دوم دروس پایه رو کامل گذروندند ولی اگر شما یک دانشجوی سال دوم هستید و هنوز دروسپایه رو کامل نگذروندید پیشنهاد میکنم پست «معرفی کتاب و دوره برای دانشجویان سال اول فیزیک» روبخونید. درسهای اصلی سال دوم شامل «ریاضی فیزیک» ،«مکانیک تحلیلی»، «فیزیک مدرن» و احتمالا «الکترومغناطیس» هست. (البته من توی این پست در مورد الکترومغناطیس نمینویسم.) بازم یادآوری کنم یادتون باشه گوگل دوست شماست! میتونید سرچ کنید و منابع خیلی خوبی پیدا کنید، یا اینکه از یوتیوب استفاده کنید و کلی دوره خوب پیدا کنید و از یادگیریتون لذت ببرید. فراموش نکنید که مسئله زیاد حل کنید و هیچ چیز مثل تمرین زیاد بهتون کمک نمیکنه. پست لیسانس فیزیک با بیژامه رو بخونید!
۱)ریاضی فیزیک (روشهای ریاضی در فیزیک):
یکی از بدقلقترین درسهای کل دورهی کارشناسی به نظر من همین درسه. چون که ۳واحده ولی در حقیقت ۶ واحده! هر واحدش یک برهمنهی از یک واحد ریاضی و یک واحد فیزیکه! خلاصه ملقمهای از موضوعهای مختلف رو باید یاد بگیرید طی دو ترم. برای همین پیشنهاد میکنم این درس رو خیلی جدی دنبال کنید و برای هر مبحثش یک کتاب در مورد اون مبحث پیدا کنید و دقیق مطالعه کنید. مثلا برای قسمت آنالیز مختلط کتاب«چرچیل»رو بخونید! در حالت کلی کتابهای «آرفکن» و «صدری حسنی» منابع اصلی هستند که به نظر من صدری حسنی بیان بهتری داره. در مورد آرفکن هم حتما از آخرین نسخهش استفاده کنید چون که خیلی بهتر شده ولی حتما به بقیه کتابها هم نگاه کنید:
در مورد دوره هم بهتره مبحث به مبحث دنبالش برید، مثلا وقتی به مبحث جبرخطی رسیدید سراغدوره جبرخطی MITبرید و …
۲) مکانیک تحلیلی (مکانیک کلاسیک):
درس بسیار جالب، جذاب و کلیدی به همراه فرمالیسمهای زیباتر و قویتری برای مکانیک کلاسیک هست! کتابهای متنوعی با سطحهای مختلفی هست که من پیشنهاد میکنم به همهشون رجوع کنید چون که ممکنه موضوعی رو خوب متوجه نشید اون موقع باید سراغ کتابی برید که سادهتر گفته. یا اینکه بعد از خوندن مطلبی بهوجد بیاید و بخوایید که بیشتر یا دقیقتر بدونید، اونموقع باید به یک کتاب قویتر یا جامعتر رجوع کنید تا یادگیریتون رو کامل کنید. بنابراین من کتابها رو به سه دستهی ابتدایی، مناسب و قوی تقسیم میکنم:
به نظر من خوبه که با کتاب «مریون» یا «گرینر» شروع کنید و هرزگاهی هم به «گلدستین» مراجعه کنید، همین طور مثالهای زیاد کتاب «مورین» رو دنبال کنید. در مورد دوره همکورس آقای ساسکیند (دانشگاه استفورد) هست، از دستش ندید!
۳) فیزیک مدرن:
هم فال هست و هم تماشا! یک درس پر از داستان بههمراه موضوعات جدید و موضوعات تازه که به عنوان یک مقدمه برای درسهایی که بعد از اون خواهید داشت، هست. شخصا کتاب شماره ۱ رو بیشتر پسندیدم و به نظرم از کتاب کرین بهتره!
یکی از مشکلاتی که معمولا سالاولیها باهاش مواجه میشند اینه که دیگه مثل دبیرستان خبری از یک کتاب و سیستم آموزشی یکپارچه نیست و هر استادی بنابر تجربیات شخصی و علاقمندیهاش از روی یک (یا چند کتاب) استفاده میکنه که ممکنه با یک استاد دیگه کاملا متفاوت باشه. برای همین ممکنه که دانشجوی تازهوارد یکمی سردرگم بشه! توی این پست میخوام یک سری از کتابها و دورههایی که به کار یک دانشجوی سال اول میاد رو معرفی کنم. ولی قبل از شروع اجازه بدید یک نکتهی خیلی مهم رو بگم؛ تلاش کنید کتابهای درسیتون رو به فارسی نخونید و از نسخههای انگلیسی استفاده کنید!میدونم که خیلیها زبان خوبی ندارند ولی خونسرد باشید لطفا! من خیر و صلاحتون رو میخوام 🙂 مطالعه به زبان انگلیسی (زبان علم) مزیتهای زیادی داره؛ از جمله اینکه شما دسترسی فوقالعاده بیشتری به منابع دارید، کتابهای مختلف، دورههای متنوع، مقالهها و مجلههای معتبر و … . در حقیقت شما وقتی دارید علم رو دنبال میکنید باید با زبان علم دنبال کنید (امروز زبان علم زبان انگلیسیه). به هر حال روزی فرامیرسه که شما باید مقالهای بنویسید یا توی کنفرانسی شرکت کنید یا … اون روز دیگه نمیتونید بگید که من فارسی مینویسم! خلاصه اینکه اگر از ترم اول دانشگاه شروع کنید به انگلیسی خوندن کمکم به سطح مطلوبی میرسید. فراموش نکنید که کتابهای علمی با سادهترین زبان نوشته میشند برای همین به راحتی قابل فهم هستند، کافیه یکمی باهاشون درگیر بشید تا دستتون بیاد که چی میگند و منظور از فلان اصطلاح چیه!
خیلی از بچهها به اشتباه فکر میکنند که ترمهای اول برای انگلیسی خوندن زوده و بعد از گذشت چند ترم باید این کار رو شروع کرد، درصورتی که این یک طرز فکر کاملا نادرسته، به چند دلیل؛ اول اینکه شما کلیت مباحثی که توی سال اول مطرح میشه رو باهاش آشنا هستید، همگی با مفهوم نیرو، سرعت و قوانین نیوتون آشنایید، بنابراین خود مفهوم رو میدونید و با خوندن کتابها به انگلیسی از همون اول، سریع با اصلاحات انگلیسی آشنا میشید و خیلی راحتتر ارتباط برقرار میکنید. مثلا وقتی نوشتههای زیر رو ببینید به وضوح معنی جمله رو میفهمید:
Newton first law = قانون اول نیوتون second derivative of a function= مشتق دوم یک تابع
اما اگر اینکار رو به ترمهای بالاتر بسپارید اولا اینکه چون عادت کردید به فارسی خوندن دیگه رغبت نمیکنید که سراغ منابع با زبان انگلیسی برید، در ثانی دیگه اصلا نمیتونید بفهمید که کتاب داره چی میگه، چون نه تنها زبان بلکه خود مفهوم هم برای شما تازگی داره. دلیل دوم هم اینه که معمولا سال اول فرصت بیشتری هست، شما همزمان میتونید زبان خودتون رو تقویت کنید یا اگه جایی رو خوندید و نفهمیدید به یک کتاب فارسی نگاه کنید و مفهوم رو یادبگیرید و دوباره به مطالعه به انگلیسی برگردید! پس از اولین لحظات سعی کنید انگلیسی بخونید و یادتون باشه که دانشجویی که انگلیسی میخونه یک سر و گردن از دانشجویی که فارسی میخونه بالاتره!
منظور از دوره (کورس – course) دیدن، دیدن ویدیوهای آموزشی که یا به صورت کلاس یا به صورتهای دیگه ارائه میشه هست. به نظر من همزمان با هر درس مهمی که میگذرونید دیدن دورههای معتبر (همون درس) خیلی بهتون کمک میکنه. برای همین اگر با جاهایی مثل: MIT OCW، edx و Coursera آشنا نیستید، سریع آشنا بشید! با مراجعه به این سایتها میتونید ویدیوهای آموزشی خوبی پیدا کنید. در ضمن دیدن دوره خیلی کمک میکنه تا انگلیسی شما قوی بشه و بتونید با علم درست ارتباط برقرار کنید! پست لیسانس فیزیک با بیژامه رو بخونید!
خب بریم سراغ معرفی! من اسم کتابها رو به انگلیسی مینویسم:
معمولا کتاب«هالیدی» منبع کتاب فیزیک پایه هست ولی متاسفانه هرچی نسخههای جدیدتر اینکتاب اومده قدرت نسخههای قبلی
رو نداشته. مخصوصا اون نسخه هایی که با عنوان «مبانی فیزیک هالیدی» هستند به جای «فیزیک هالیدی». پس به نظر من اگر دانشجوی فیزیک هستید اصلا سراغ کتاب «مبانی فیزیک هالیدی» نرید! اجازه بدید بچههای مهندسی این کتاب رو بخرند و نه شما! بنابراین یک کتاب دیگه معرفی میکنم به اسم «فیزیک دانشگاهی» که کتاب خیلی خوببه و تصاویر خیلی گویایی داره البته به همراه سوالات زیاد!
در مورد دوره هم شدیدا توصیه میکنم که دوره فیزیکپایهی والتر لویین رو از دانشگاه MIT تهیه کنید و ببینید!
در نهایت اینکه یادتون باشه گوگل دوست شماست! میتونید سرچ کنید و منابع خیلی خوبی پیدا کنید، یا اینکه از یوتیوب استفاده کنید و کلی دوره خوب پیدا کنید و از یادگیریتون لذت ببرید. فراموش نکنید که مسئله زیاد حل کنید و هیچ چیز مثل تمرین زیاد کمک کننده نیست. به عنوان یک حقه، سایت libgen.org رو به خاطر بسپارید، هر کتابی که لازم داشتید رو میتونید اونجا رایگان دانلود کنید. کار خوبی نیست ولی ما مجبوریم فعلا!
چندوقت بود میخواستم راجع به این «گربهی شرودینگر» یه چیزی بنویسم، بگم چیه و ماجرای مطرح کردنش چیه تا اینکه کاملا تصادفی، بین ویدئوهای Ted-ed یه ویدئوی خوب دیدم. سورپرایز خیلی خوبی بود! برای همین شروع کردم به تهیهی زیرنویس فارسی برای اون ویدئو تا توی سیتپور منتشرش کنم و همه با هم ببینیمش و کلی کیف کنیم 😉
ماجرا از اینجا شروع میشه که ما همهجا با تقارن سروکار داریم. از ساختار بدن خودمون گرفته تا اشکالی که توی طبیعت هست، معماریهای قدیمی و مدرن،فرش زیرپامون، وسایلی مثل تلفن همراه و … . تقارن توی هنر ارزش خاصی داره مخصوصا توی هنر اسلامی. اکثر مساجد درون و بیرونشون کاملا متقارن ساخته میشه! پپیشنهاد میکنم نوشتهی «گفتگو با استاد» از کتاب «اطاق آبی» سهراب سپهری رو بخونید! توی این نوشته، سپهری در مورد تقارن در نقاشی با یکی از اساتیدش بحث میکنه.
توی ریاضیات و فیزیک هم تقارن اهمیت خاصی داره، یکی از کارهای فیزیکدانها پیدا کردن تقارنه! هر چند که شکستن تقارن هم خودش یه موضوع خیلی جالب و چالشی هست ولی موضوع این پست نیست. همینطور برای فیزیکدانها اهمیت داره که بدونند که چه چیزهایی ثابت هستند و به بیان بهتر، فیزیکدانها دوست دارند بدونند که چه کمیتهایی پایسته (پایستار) هستند. حتما اسم قانونهایی مثل پایستگی انرژی به گوشتون خورده حتی اگر اهل فیزیک نباشید!
حالا با این مقدمهای که گفتم فکر کنید که یک نفر پیدا بشه و «تقارن» و «پایستگی» کمیتها رو به هم متصل کنه! چه اتفاق فرخندهای خواهد شد! این کار رو خانم امی نودر ریاضیدان تاثیرگزار آلمانی در سال ۱۹۱۵ انجام داد، چیزی که به عنوان قضیهی اول نودر امروز فیزیکدانها میشناسندش. سال ۱۹۱۵ دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از نودر دعوت کردند تا به دانشکدهی ریاضی دانشگاه گوتینگن بیاد و به اونها توی فهم نسبیت عام که توسط اینشتین مطرح شده بود کمک کنه.
گنبد متقارن مسجد شیخلطفالله، اصفهان
همینطور که میدونید نسبیتعام یک نظریهی هندسی از گرانشه و بعضیها بر این باورند که اگر اینشتین نسبیتعام رو کشف نمیکرد، حتما توسط آدمهایی مثل هیلبرت و امثال هیلبرت این نظریه کشف میشد؛ با این وجود ریاضیدانها، فیزیک نمیدونستند و سرانجام افتخار این کشف به آینشتاین رسید! دعوت از نودر حاشیههای زیادی هم به همراه داشت، از جمله اینکه در اون زمان حضور زنها در دانشگاه مخالفان زیادی داشت ولی هیلبرت محکم جلوی این طرز تفکر نادرست ایستاد و از نودر به خوبی حمایت کرد! قضیه نودر، سال ۱۹۱۵ بیان و اثبات شد ولی نودر تا سال ۱۹۱۸ از انتشار اون خودداری کرد. بعد از این که کار نودر به دست اینشتین رسید، اینشتین نامهای به هیلبرت مینویسه و توی اون میگه:«دیروز مقالهای بسیار جالب در مورد ناوردایی از خانم نودر دریافت کردم. من از اینکه این چیزها با این کلیت قابل فهم هستند تحت تاثیر قرار گرفتهام! پاسداران قدیمی گوتینگن باید از خانم نودر درس بگیرند، به نظر میرسد که او کارش را بلد است!» جالبه که بدونید آدمهایی از جمله اینشتین، نودر رو مهمترین خانم در تاریخ ریاضیات خطاب کرده اند!
قضیه نودر بیان میکنه که:
«برای هر تقارن (پیوسته)موجود در یک سامانه، یک کمیت پایستار وجود دارد.»
این قضیه منجر به این شد که دو مقولهی ظاهرا متفاوت بهم متصل بشند و نتیجهی این وصلت هم، وصل شدن فیزیک نظری به سیستمهای دینامیکی و بالعکس شد. این قضیه یک ابزار بسیار قدرتمند برای فیزیک وحساب وردشهاست و در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی (که فرمالیسمی مشابه با مکانیک نیوتونی هستند) کاربرد اساسی داره. در حقیقت واژهی «تقارن» در صورت قضیه به طور دقیقتری، اشاره میکنه به هموردایی فورمی که یک قانون فیزیکی نسبت به تبدلات گروه لی دریک بعد (با ارضا کردن شرایط فنی) داره. بد نیست بدونید که معمولا قانون پایستگی برای هر کمیت فیزیکی با یک معادلهی پیوستگی بیان میشه که خب مجال توضیحش توی این پست نیست! تغییر نکردن یک کمیت در اثر تحول سیستم (ناوردا باقی موندن) به معنی پایستگی اون کمیت هست و به بیان ریاضی اگر تغییرات یک کمیت نسب به زمان صفر باشه. اون کمیت ثابته: \( dA/dt =0 \)
From left to right, you can see topology (the donut and coffee mug), ascending/descending chains, Noetherian rings (represented in the doodle by the Lasker-Noether theorem), time, group theory, conservation of angular momentum, and continuous symmetries–and the list keeps going on and on from there!
اجازه بدید کمی تخصصی تر حرف بزنیم:
توی فرمالیسم مکانیک لاگرانژی برای سادگی بیشتر از مختصات تعمیم یافته استفاده میشه. اگر با مختصات تعمیمیافته آشنا نیستید نگران نباشید، ایدهی ساده ولی کاربردی هست، توی اکثر کتابهای درسی مکانیک کلاسیک (مکانیک تحلیلی) در موردش بحث شده؛ در حالت کلی مختصات تعمیم یافته، میتونند چیزهایی غیر از x,y,z باشند، مثلا زاویه! بعد از مشخص شدن مختصات تعمیم یافته، لاگرانژی به صورت اختلاف انرژی جنبشی و پتاسیل سامانه به صورت \(L=T-V , L=L(q,p, t) \) مشخص میشه. لاگرانژی تابعی از مختصات تعمیم یافته(q)، تکانهی تعمیم یافته (p) ( تکانه تعمیم یافته مشتق زمانی مختصات تعمیم یافته است) و احیانا زمان هم هست. با استفاده از لاگرانژی و استفاده از معادلهی اویلر-لاگرانژ میتونیم به راحتی معادلات حرکت رو به دست بیاریم.
معادله اویلر-لاگرانژ
منظور از qنقطه همون مشتق زمانی q یا تکانه تعمیم یافته (p) هست. اندیس k یعنی kامین مختصهی تعمیم یافته و… . حالا اگر تغییرات لاگرانژی نسبت به یکی از اون مختصات تعمیم یافته صفر باشه، یعنی طرف راست معادله صفر باشه ، اونموقع طرف چپ معادله هم صفر میشه و این یعنی تغییرات لاگرانژی نسبت به تکانهی تعمیم یافته ثابته!
خب حالا این یعنی چی؟!
مثال۱)فرض کنید که شما یک توپی رو به هوا پرتاب میکنید، مختصات تعمیم یافته توی این حالت، همون x,y,z در دستگاه دکارتی هست. برای این توپ لاگرانژی به صورت زیر نوشته میشه:همون جوری که میبینید توی این لاگرانژی خبری از y , x نیست! پس مشتق L نسبت به y یا x صفر هست که نتیجهش ثابت بودن مشتق L نسبت yنقطه (سرعت در جهت y) و xنقطه (سرعت در جهت x) هست. با حل معادله اویلر-لاگرانژ (حل کنید!) به این میرسیم که تکانه در جهت x , y ثابته: توی این مثال دیدیم که تکانه (حاصلضرب m در xنقطه یا yنقطه) در دو جهت پایسته بود و در صورت لزوم میتونیم از قانون پایستگی تکانه هم استفاده کنیم!
مثال۲)فرض کنید که یک ذره در پتانسیلی باشه که فقط به فاصلهش از محور z ها وابسته است، اونموقع اگر لاگرانژی رو در دستگاه مختصات استوانهای بنویسیم، خواهیم داشت: میبینید که توی لاگرانژی خبر از z و θ نیست. دوباره با حل معادله اویلر لاگرانژ به این نتیجه میرسیم که تکانه در جهت z و θ پایسته است که این به معنی ثابت بودن تکانهی خطی در جهت z و پایستگی تکانهی زاویهای در جهت θ هست.
خب ما توی این دو تا مثال به پایستگی دو کمیت به نامهای تکانهی خطی و تکانهی زوایهای رسیدیم. طبق قضیهی نودر چیزی که این کمیتهای پایسته رو بهوجود اورده، چیزی نیست جز تقارن! توی مثال اول تقارن توی صفحهی xy (صفحهی موازی سطح زمین)وجود داشت. یعنی اینکه فرقی نمیکرد که توپ ما در کجای این صفحه بود، مهم این بود که چقدر از زمین بالا یا پایین باشه، به عبارت دیگه تقارنی که در انتقال توپ ما در صفحه xy (یا در جهت x و جهت y) وجود داشت سبب پایستگی تکانهی خطی در جهت x,y شد! توی مثال دوم هم تنها چیزی که اهمیت داشت انتقال در جهت r یا همون جابه جایی از محور z بود و این اصلا مهم نبود که شما در جهت z یا در جهت θ انتقال یا جابهجایی انجام بدین. بنابراین به خاطر تقارن موجود در انتقال در جهت z ، پایستگی تکانهی خطی در جهت z و به خاطر تقارنی که در جهت θ بود پایستگی تکانهی زاویهای در جهت θ داشتیم. یعنی با استفاده از قضیه نودر،بدون حل معادله اویلر-لاگرانژ،میتونستیم کمیتهای پایسته رو از روی لاگرانژی تشخیص بدیم.
به طور خلاصه میتونیم این جدول رو داشته باشیم:
تقارن در زمان یعنی اینکه اگر رفتار سامانهی ما مستقل از زمان باشه به این معنی که هرچقدر زمان بگذره سیستم تغییر نکنه، اون موقع انرژی برای اون ثابت و پایسته است. برای مثال، وقتی شما نوسانگری که درخلا در حال نوسان با دورهی تناوب T هست رو امروز میبیند و دوباره فردا هم با همون دوره تناوب میبینیدش، یعنی اینکه انرژی برای این نوسانگر پایسته است!
خیلی چیزها خلاصه میشه توی همین قضیه! زمین گرده چون که بیشترین تقارن رو کره داره و این گردی سبب میشه که تکانهی زاویه ای حفظ بشه! همین طور مدار سیاره ها و …
خب در انتها جا داره که یک بار دیگه درود بفرستیم به امی نودر!
برای عمیقتر شدن نگاهی داشته باشید به این نوشته از وبلاگ تائو:
توی قسمت قبلی دیدیم که اگر هر تابع f رو داشته باشیم میتونیم برای اون تابع مجموعهی ژولیای مربوط به اون رو پیدا کنیم که خب یکمی از کامپیوتر هم کمک گرفتیم. کار ما این بود که یک تابع رو بر میداشتیم شرایط اولیهای (یک سری نقطه توی فضای مختلطی (موهومی)) بهش میدادیم، مقدار تابع رو به ازای اون شرایط اولیه به دست میاوردیم و همین طور دوباره این مقدار رو به تابع میدادیم و این روند رو ادامه میدادیم تا ببینیم آیا شرایط اولیهای که انتخاب کردیم به بینهایت میل میکنه یا نه، اگر نمیکرد اون موقع مجموعهی ژولیا اون تابع رو تشکیل میداد. همین طور گفتیم که از بین همهی توابع، توابعی که به صورت چندجملهای های مربعی میباشند بیشتر مشهور هستند؛ توابعی با فورم: $$f(z)=z^2 +c$$توی این پست در مورد علت این شهرت توضیح میدم؛
تابع ${f(z)=z^2 +c}$ رو در نظر بگیرید؛ فراموش نکنید که c میتونه هر عددی – ولی حتما مختلط – باشه. حالا اگر با نقطهی z=0 شروع کنیم، به این دنباله میرسیم:
$$ c , c² + c , (c²+c)² + c , ((c²+c)²+c)² + c , (((c²+c)²+c)²+c)² + c , …$$
اگر این دنباله واگرا نباشه، یعنی اگر c هایی انتخاب کنیم که در نهایت این دنباله به بینهایت نرسه اون موقع مجموعهی ژولیایی که توسط این cها برای تابع ${f(z)=z^2 +c}$ ساخته میشه، «همبند» هست. احتمالای توی نظریهی گراف با مفهموم همبند بودن آشنا شدین (معمولا سال آخر دبیرستان بچههای رشتهی ریاضی فیزیک نظریهی گراف رو توی درس ریاضیات گسسته میخونند!) اگر نشدین، همبند بودن یک جور مفهموم متصل بودن رو داره، وقتی یک گراف یا شبکهای همبند باشه اونموقع اگر شما از یک نقطهای شروع به حرکت کردید، میتونید به هر نقطهای که دلتون میخواد برید وبدون اینکه جایی مسیرتون قطع بشه. خلاصه این که اگر دنبالهای که ساختیم واگرا
مجموعه مندلبرو
نشد اون موقع ما یک مجموعهی ژولیای همبند میتونیم بسازیم. (اثبات این مطلب فراتر از حوصلهی ماست!) خب حالا این مجموعهی ژولیای همبند به چه دردی میخوره آیا؟! اجازه بدید تا یک مجموعهی جدید معرفی کنیم به نام «مجموعهی مندلبرو».
«مجموعه مندلبرو شامل نقاطی (c) از صفحهی مختلط هست که به ازای آن ها مجموعهی ژولیا تابع ${f(z)=z^2 +c}$ همبند باشد.»
شما میتونید یک برنامه بنویسید تا براتون مقادیری که C ممکنه بگیره رو پیدا کنه ولی یک نکتهای هست و اون اینه که همهی مجموعههای ژولیا همبند شامل نقطهی 0 = 0+ z= 0i هستند! بنابراین «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» مبدا برای این دسته از مجموعه ها، همیشه باید یک مقدار کراندار باشه و به بینهایت میل نکنه، پس نقطهی صفر در همهی مجموعههای ژولیای همبند صدق میکنه. به طور مشابه در همهی مجموعههای ژولیای ناهمبند نقطهی صفر وجود نداره! خب این یک سنگ محکی شد برای تشخیص اینکه آیا نقطه c دلخواهی عضو مجموعهی مندلبرو هست یا نه! یعنی کافیه تا ما «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» نقطهی z=0 رو برای تابع ${f(z)=z^2 +c}$ بررسی کنیم، اگر مقادیری که به دست میاند (همون «اربیت» یا «چرخش») کراندار باشند اون موقع اون c مورد نظر ما عضو مجموعه مندلبرو هست ولی اگر به بینهایت میل کنه اونموقع اون c دیگه عضو مجموعه مندلبرو نیست! شرمنده 😀
مجموعهی مندلبرو یکی از موضوعات دینامیک مختلطه که برای اولین بار ایدهش اوایل قرن بیستم توسط ریاضیدانان فرانسوی بهنام «فاتو» و«ژولیا» مطرح شد. اون موقعها هنوز کامپیوتر زیاد رونق نداشت برای همین مثلا فاتو نتونست شهود و تصویر خوبی از این مجموعه ارائه بده. تا اینکه مندلبرو اول مارس ۱۹۸۰(اواخر قرن بیستم!) به لطف کامپیوترهای شرکت IBM تونست این کار رو انجام بده و بعدش هم این موضوع رو گسترش زیادی داد. آدمهای زیادی بعد از مندلبرو روی این موضوع کار کردند ولی به خاطر خدمات مندلبرو یا به احترام مندلبرو، اسم این مجوعه رو «مجموعه مندلبرو» گذاشتند!
این مجموعه در حقیقت یک فرکتال هست با مرز بسیار بسیار پیچیده، جوری که شیشیکورا ثابت کرد (۱۹۹۸) که بعد این مرز ۲ هست! این فرکتال برخلاف مجموعهی ژولیا کاملا خودمتشابه نیست و اگر روی شکل زوم کنید این رو به راحتی متوجه خواهید شد!
همین طور این مجموعه توی صفحهی مختلط، توی دیسکی یه شعاع ۲ قرار میگیره و تقاطع اون با محور حقیقی بازه [۰/۲۵, ۲-] هست. حدودا دو سال پیش مساحت مجموعه مندلبرو 0.0000000028 ± 1.5065918849 واحدمربع تخمین زده شد! پیشنهاد میکنم حتما به صفحهی ویکی پدیای این مجوعه عجیب و غریب سر بزنید، مخصوصا اگر دوست دارید که الگوریتمهایی که برای تولید این دسته از فرکتالها مورد استفاده قرار میگیرند چه جوری هستند!
برای مطالعه، پیشنهاد میکنم کتاب زیر رو بخونید، خیلی خوب توضیح داده هم فرکتالها رو هم آشوب رو!
به عنوان حسن ختام، یک جمله از مندلبرو رو نقل میکنم (از سخنرانی تد ۲۰۱۰) : «خب، اجازه دهید تمام کنم. این شکل در اینجا تنها از یک تمرین در ریاضیات محض بوجود آمد. ظهور شگفتی های بی پایان از قواعد ساده، که بی نهایت تکرار می شوند.»
«هر چیزی که ما آن را واقعی میپنداریم، از چیزهایی ساخته شده که نمیتوانیم آنها را واقعی قلمداد کنیم. اگر مکانیک کوانتومی شما را عمیقا شوکه نکرده، هنوز آن را نفهمیدهاید!» نیلز بور
