«دقت ریاضی بسیار زیاد در فیزیک استفاده چندانی ندارد. اما کسی نباید از ریاضی‌دان‌ها در این باره اشکالی بگیرد […] آن‌ها دارند کار خودشان را انجام می‌دهند.»

– ریچارد فاینمن، ۱۹۵۶

از دید بسیاری از فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی (mathematical rigor) در اکثر اوقات برای جامعه فیزیک غیر‌ضروری بوده و حتی با کند کردن سرعت پیشرفت فیزیک می‌تواند برای آن مضر نیز باشد.

شاید بتوان دلیل فاینمن را برای بیان این نظر درک کرد؛ برای لحظه‌ای تصور کنید که فاینمن فرمالیسم انتگرال مسیر خود را به دلیل وجود نداشتن تعریف دقیق ریاضی از این انتگرال‌های واگرا (که تا به امروز نیز تعریف جامع و دقیقی از آن‌ها در دسترس نیست) معرفی نمی‌کرد و یا فیزیکدان‌ها به دلیل وجود نداشتن تعریف اصول موضوعه‌ای از نظریه میدان‌های کوانتومی، از آن استفاده نمی‌کردند! قطعا انتظار سطح یکسانی از دقت ریاضی در اثبات قضایای ریاضی و در نظریه‌های فیزیکی انتظاری بیش از حد سنگین و غیر عملی است اما، بر خلاف برداشت رایج در بین فیزیکدان‌ها، دقت ریاضی همیشه به معنی جایگزین کردن استدلال‌های بدیهی اما غیر دقیق با اثبات‌های خسته کننده نیست. در بیشتر اوقات دقت ریاضی به معنی مشخص کردن تعریف‌های دقیق و واضح برای اجزای یک نظریه است به طوری که استدلال‌های منطبق بر شهود با قطعیت درست هم باشند! شاید بتوان این مطلب را در نقل قول زیر خلاصه کرد:

«دقت ریاضی پنجره‌ای را غبارروبی می‌کند که نور شهود از طریق آن به داخل می‌تابد.»

اِلیس کوپر

در فرمول‌‌بندی نظریه‌های‌ فیزیکی، بی‌توجهی به پیش‌فرض‌ها و ظرافت‌های ریاضی می‌تواند به سادگی به نتایجی در ظاهر متناقض بی‌انجامد که در بسیاری از موارد عجیب و حیرت‌انگیز به نظر می‌رسند. این مثال ساده از مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: برای ذره‌ای کوانتومی در یک بعد، عملگر‌های تکانه خطی P و مکان Q از رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ پیروی می‌کنند

حال با گرفتن رد (trace) از دو طرف این رابطه مشاهده می‌کنیم که رد طرف چپ این معادله با استفاده از خاصیت جا‌به‌جایی عمل ردگیری صفر می‌شود در حالی که رد سمت راست این معادله غیر صفر است! از آنجا که این رابطه یکی از بنیادین‌ترین روابط مکانیک کوانتومی است و بسیاری از مفاهیم عمیق فیزیکی مکانیک کوانتوم نظیر اصل عدم قطعیت از آن نتیجه می‌شود، این نتیجه (به ظاهر) متناقض حیرت انگیز به نظر می‌رسد! برای پیدا کردن مشکل بیاید نگاه دقیق‌تری به رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ و دامنه اعتبار تعریف عمل ردگیری بی‌اندازیم: فرض کنید رابطه جا‌به‌جایی بالا برای دو عملگر P و Q، که روی فضای هیلبرت H با بعد متناهی n تعریف می‌شوند، برقرار باشد. در این صورت، عملگرهای P و Q با ماتریس‌های n*n مختلط داده خواهند شد و عمل ردگیری از آن‌ها خوش‌تعریف است. بنابرین، نتیجه متناقض

نشان می‌دهد که رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ نمی‌تواند روی فضاهای هیلبرت با بعد متناهی برقرار باشد. در نتیجه مکانیک کوانتومی باید روی‌ فضای هیلبرت با بعد نامتناهی (اما شمارا) تعریف شود: روی چنین فضاهایی عمل ردگیری برای تمام عملگرها خوش‌تعریف نبوده (به طور مشخص رد عملگر واحد روی این فضاها تعریف نشده است) و نمی‌توان تناقض بالا را روی این دسته از فضاها نتیجه‌گیری کرد! با تعمیم تناقض بالا به فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی حتی می‌توان نتیجه قوی‌تری نیز درباره عملگرهای تکانه و مکان گرفت ــ حداقل یکی از این عملگرها باید بی‌کران (unbounded) باشد؛ این بدان معنی است که مقادیر ویژه کران‌دار نبوده و این عملگر روی تمام فضای هیلبرت خوش‌تعریف نخواهد بود! این نتیجه خود به آن معنی است که نه عملگرهای خلق و فنا و نه عملگر هامیلتونی (انرژی) روی تمام حالات فضای هیلبرت نوسانگر هماهنگ خوش‌تعریف نیستند (هر چند می‌توان بستار این عملگرها را روی کل فضای هیلبرت تعریف نمود). هر کدام از این نتایج خود منجر به نتیجه‌گیری‌های شگفت‌انگیز دیگری می‌شوند که ما را مجبور می‌سازند در تعریف بسیاری از مفاهیم به نظر بدیهی تجدید نظر کنیم: برای مثال، در فضاهای هیلبرت بی‌نهایت بعدی و در حالتی که تمام عملگر‌های فیزیکی کران‌دار باشند، می‌توان حالتی را متصور شد که فضا هیلبرت شامل هیچ حالت غیر درهمتنیده‌ای بین دو ‍‍‍‍«زیر سیستم» نباشد و در نتیجه نتوان آن را به صورت ضرب تانسوری دو فضای هیلبرت متعلق به هر زیر سیستم نوشت! این مسئله نیاز به تعریف دقیق‌تری از مفهوم «زیر سیستم» در نظریه میدان‌های کوانتومی و تعمیم‌های آن (مانند نظریه گرانش کوانتومی) را نشان می‌دهد که خود می‌تواند به حل شدن بخشی از تناقض‌های عمیق‌تر مانند مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها منجر شود! توجه کنید که دقت به دامنه اعتبار رابطه جا‌به‌جایی هایزنبرگ به نوبه خود چگونه می‌تواند ما را در درک بهتر درهمتنیدگی در نظریه میدان‌های کوانتومی و سوالاتی عمیق‌تر از جمله ساختار علی فضا و زمان و یا مسئله اطلاعات سیاه‌چاله‌ها یاری کند! مثال‌هایی از این دست در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان‌های کوانتومی به فراوانی یافت می‌شوند که چند مثال دیگر و توضیح مفصل در مورد چگونگی حل آن‌ها را می‌توانید در مقاله آموزشی (و بسیار هیجان‌انگیز) زیر پیدا کنید:

Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics

François Gieres 2000 Rep. Prog. Phys. 63 1893

By a series of simple examples, we illustrate how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics. The basic mathematical notions allowing for a precise formulation of the theory are then summarized and it is shown how they lead to an elucidation and deeper understanding of the aforementioned problems. After stressing the equivalence between wave mechanics and the other formulations of quantum mechanics, i.e. matrix mechanics and Dirac’s abstract Hilbert space formulation, we devote the second part of our paper to the latter approach: we discuss the problems and shortcomings of this formalism as well as those of the bra and ket notation introduced by Dirac in this context. In conclusion, we indicate how all of these problems can be solved or at least avoided.

متن پیش رو ترجمه‌ جستاری از کارلو روولی فیزیک‌دان ایتالیایی است. او عمدتا در زمینه گرانش کوانتومی کار می‌کند و بنیان‌گذار نظریه گرانش کوانتومی حلقه است. اصل این نوشته اخیرا در کتابی با عنوان There Are Places in the World Where Rules Are Less Important Than Kindness منتشر شده است. این جستار پیش از رصد امواج گرانشی نوشته شده است. رصد مستقیم امواج گرانشی در ۱۴ سپتامبر ۲۰۱۵ پنج ماه پس از انتشار این مقاله انجام شد. در سال ۲۰۱۷ این مشاهده منجر به دریافت جایزه نوبل در فیزیک شد.

شکی نیست که آلبرت آینشتین یکی از دانشمندان بزرگ قرن بیستم بود که عمیق‌تر از دیگران رازهای طبیعت را دید. آیا این به معنی این است که ما باید هر کاری را که او انجام داده‌است، درست بدانیم؟ او هرگز اشتباه نمی‌کرد؟ برعکس!
در واقع، تعداد کمی از دانشمندان به اندازه آینشتین اشتباه کرده‌اند و آن‌هایی که به اندازهٔ او نظر خود را تغییر داده‌اند انگشت‌شمارند. در مورد اشتباهات او در زندگی روزمره که موضوعی شخصی است و در نهایت به خودش مربوط است صحبت نمی‌کنم. بلکه در مورد اشتباه‌های کاملا علمی او سخن می‌گویم؛ ایده‌های اشتباه، پیش‌بینی‌های نادرست، معادلات پر از خطا و ادعاهای علمی‌ای که خود او پسشان گرفت و آن‌هایی که نادرست بودنشان ثابت شد.

اجازه دهید برایتان چند نمونه بیاورم. امروزه می‌دانیم که جهان در حال انبساط است. ژرژ لومتر، فیزیک‌دان بلژیکی، با استفاده از نظریه‌های خودِ آینشتین، موفق به درک این موضوع شد و او را از یافته‌های خود آگاه کرد. آینشتین اما آن ایده‌ها را رد کرد و در پاسخ گفت که آن‌ها بی‌معنی‌اند و تنها در دههٔ سی میلادی که انبساط واقعاً مشاهده شد حرف خود را پس گرفت. یکی دیگر از پیامدهای نظریه او وجود سیاه‌چاله‌ها است؛ او چندین متن پراشتباه در این زمینه نوشت و ادعا کرد که جهان در لبه سیاه‌چاله پایان می‌یابد. وجود امواج گرانشی که اکنون برای آن شواهد غیرمستقیم داریم نیز در نتیجهٔ نظریه‌های آینشتین است. آینشتین ابتدا نوشت که این امواج وجود دارند، اما درست پیش از آن‌که به دنبال تفسیر اشتباه نظریه خودش ادعا کند که آن‌ها وجود ندارند. سپس دوباره نظر خود را تغییر داد تا نتیجه مخالف و درست را بپذیرد.

وقتی آینشتین نظریه نسبیت خاص‌اش را نوشت، از ایده فضازمان استفاده نکرد. این ایده که گویی به مفهوم یک پیوستار (فضای پیوسته) چهاربعدی شامل فضا و زمان اشاره می‌کند، در واقع کار هرمان مینکوفسکی بود که از آن برای بازنویسی نظریهٔ آینشتین استفاده کرد. هنگامی که آینشتین از آنچه مینکوفسکی انجام داده بود آگاه شد، ادعا کرد که این کار فقط از نظر ریاضیاتی بغرنج‌کردن بیهودهٔ نظریه‌اش است، البته پس از مدت کوتاهی کاملاً نظر خود را تغییر داد و دقیقاً از مفهوم فضازمان برای نوشتن نظریهٔ نسبیت عام استفاده کرد. در موضوع نقش ریاضی در فیزیک، آینشتین بارها دیدگاهش را تغییر داد و در طول زندگی‌اش طرفدار ایده‌های گوناگونی بود که با هم صریحا در تناقض بودند.
آینشتین پیش از نوشتن معادلاتِ درست کار اصلی‌اش، یعنی نظریهٔ نسبیت عام، مجموعه مقاله‌هایی منتشر کرد که همه غلط بودند و هرکدام معادلهٔ نادرستِ متفاوتی را پیشنهاد می‌دادند. او حتی تا جایی پیش رفت که یک اثر پیچیده و مفصل منتشر کرد تا استدلال کند که این نظریه نمی‌تواند تقارن خاصی داشته باشد، تقارنی که او بعداً به عنوان اساس نظریه‌اش برگزید!

آینشتین در سال‌های پایانی زندگی‌اش، سرسختانه پافشاری می‌کرد که می‌خواهد یک نظریهٔ وحدت‌بخش برای گرانش و الکترومغناطیس بنویسد، بدون توجه به این که الکترومغناطیس جزئی از یک نظریه بزرگ‌تر (نظریهٔ الکتروضعیف) است، کما این‌که پس از مدت کوتاهی نشان داده شد. بنابراین، پروژه او در متحد کردن آن با گرانش بی‌فایده بود.
آینشتین همچنین بارها موضع خود را در مناظره‌های مربوط به مکانیک کوانتومی تغییر داد. او در ابتدا می‌گفت که این نظریه در تضاد با بقیه چیزها است. سپس پذیرفت که این‌طور نیست و خودش را محدود به پافشاری بر این ایده کرد که این نظریه ناکامل است و نمی‌تواند تمام طبیعت را توصیف کند.
در مورد نسبیت عام، اینشتین برای مدت طولانی متقاعد شده بود که معادلات در نبودِ ماده نمی‌توانند جواب داشته باشند و بنابراین، میدان گرانشی به ماده وابسته است. او دست از این باور برنداشت تا زمانی که ویلم دوسیته و دیگران نشان دادند که او اشتباه می‌کند. سرانجام نظریه را این گونه تفسیر کرد که میدان گرانشی یک موجود مجزای واقعی است که به خودی‌ خود وجود دارد.

در اثر خارق‌العادهٔ ۱۹۱۷ او کیهان‌شناسی نوین را بنیان گذاشت. آینشتین به این پی برد که جهان می‌تواند یک ۳-کره باشد. او ثابت کیهان‌شناسی را معرفی کرد که امروز مورد تایید است ولی با این کار همزمان یک خطای فاحش به فیزیک (عدم تغییر عالم در زمان) و یک خطای چشمگیر به ریاضی اضافه کرد؛ او متوجه نشد جوابی که ارائه کرده بود ناپایدار است و نمی‌تواند دنیای واقعی را توصیف کند. در نتیجه، آن مقاله‌ ترکیب عجیبی از ایده‌های بزرگِ جدید و انقلابی و انبوهی از خطاهای جدی است.

آیا این اشتباه‌ها و تغییر رویه‌ها چیزی از تحسین و ستایش ما نسبت به آلبرت آینشتین کم می‌کند؟ به‌ هیچ‌ وجه. اگر تغییری هم در ما باشد، برعکس است. به نظر من در عوض، این چیزها نکته‌ای راجع به ذات هوش به ما می‌آموزند. هوش، طرفداری سرسختانه از نظرات خود نیست بلکه آمادگی لازم برای تغییر و حتی کنار گذاشتن آن نظرات است. برای درک جهان، باید شهامت آن را داشته باشید که ایده‌ها را بدون ترس از شکست آزمایش کنید، پیوسته نظرات خود را بازبینی کنید و آن‌ها را بهبوبد ببخشید.

آینشتینی که بیش از هر کس دیگری مرتکب خطا می‌شود دقیقاً همان آینشتینی است که بیش‌تر از دیگران در فهم طبیعت موفق است و این‌ها مکمل هم و از جنبه‌های ضروری همان هوش عمیق هستند: بی‌پروایی در تفکر، شهامت خطر کردن، ایمان نداشتن به ایده‌های دریافت‌شده، از همه مهم‌تر ایده‌های خود شخص. اینکه شهامت اشتباه کردن داشته باشی، ایده‌های خود را تغییر دهی، و نه یک بار بلکه بارها، تا به مرحله کشف برسی.
آنچه مهم است درست بودن نیست، تلاش برای فهمیدن است.

• چه طور باید انتخاب رشته کنم؟
• لیسانس فیزیک چه‌طوریه؟
• فیزیک برای من رشته سختیه؟!
• بین فیزیک و مهندسی کدوم رو انتخاب کنم؟
• چه طور میشه فهمید چقدر علاقه ما به فیزیک واقعیه؟
• بازار کار فیزیک خوبه؟
• آینده فیزیک خوندن تو ایران یا خارج چیه؟
• من عاشق نجومم، آیا باید فیزیک بخونم تو دانشگاه؟
• من دوست دارم برم ناسا یا سرن، باید لیسانس فیزیک بگیریم؟
• من عاشق فیزیک هسته‌ای هستم. کدوم دانشگاه برای من خوبه؟

این ویدیو رو ببینید:

ویدیو در یوتیوب

نوشته‌های مرتبط:

• چهارسال فیزیک!
• کنکوری‌ها حواستان باشد جوگیر نشوید؛ در علم جایی برای جوگیرها نیست!
• لیسانس فیزیک با بیژامه!
• پرسش‌های یک دانشجوی فیزیک!

چندی پیش بود که آقای دکتر علی اکبر صالحی خبر از پروژه‌ی مخابره‌ی کوانتومی بین برج میلاد و برج آزادی دادند. این فرآیندی است که در طی آن اطلاعات با امنیت بالایی مخابره می‌شود. این فناوری یکی از فناوری‌های روز دنیاست که پیش‌بینی می‌شود به زودی دنیای انتقال اطلاعات را تصاحب کند.

در این نوشته قصد داریم تا با مفهوم انتقال پیام به سبک فناوری کوانتومی آشنا شویم. این توضیح را در ۵ سطح انجام می‌دهیم. مشخصا توضیح دقیق آن جز در سطح متخصصان ممکن نیست اما در هر سطح تلاش کردیم تا مزه‌هایی از این فرآیند را بچشیم.

۱ – دانشمند کوچک‌ و کنجکاو!

شاید تا به حال تلفن آقای بل را دیده باشید. اگر تا به حال ندید؛ خیلی راحت می‌توانید در خانه درست کنید. دو عدد لیوان یکبار مصرف کاغذی را از انتها با یک نخ به هم متصل کنید. حالا یک لیوان را به دوست خود دهید و دیگری را در دستان خود نگه دارید. از دوست خود بخواهید تا لیوان را روی گوش خود نگه دارد. در حالی که نخ در حالت کشیده قرار دارد؛ درون لیوان شروع به صحبت کنید. حدس بزنید چه می‌شود؟!

دوستتان حرف‌های شما را درون لیوان خودش خواهد شنید. شاید فکر کنید که او تقلب کرده است و دارد از خارج لیوان با گوش دیگرش صدای شما را می‌شنود. پس بیاید امتحان کنیم! کمی نخ را بلندتر درست کنید و آهسته‌تر صحبت کنید. به من اعتماد کنید که او دارد صدای شما را از لیوان می‌شنود. اما چرا؟

مهم‌ترین مسئله نخ است. نخی که میان دو لیوان در دو جای مختلف ارتباط ایجاد کرده است. اگر در حین صحبت شما فرد سومی نخ را ببرد دیگر صدای شما منتقل نمی‌شود. در ترابرد کوانتومی اتفاقی شبیه به این می‌افتد! اما این بار فاصله‌ی دو دوست از هم می‌تواند بسیار بلندتر باشد. باز هم میان دو نقطه ارتباط برقرار است اما از جنس نخ خیاطی نیست! به هر ترتیب هر دو دوست در دست خود چیزی شبیه به لیوان دارند که اگر یکی از آن‌ها آن را تکان دهد دیگری در سمت دیگر متوجه خواهد شد.

اگر توانستید تا اینجا حرف‌های من را متوجه شوید پس حتما خیلی باهوش و کنجکاو هستید! پیشنهاد می‌کنم خواندن این متن را ادامه بدهید اما اگر متوجه نشدید؛ هیچ اشکالی ندارد.

۲- نوجوان جستجوگر!

اهل فیلم هستید؟ در بعضی از فیلم‌های سبک هیجانی فیلم‌برداری‌ها در تونل باد انجام می‌شود. در این حالت تلاش می‌کنند که برای دو بازیگر حالت معلق بودن را شبیه‌سازی کنند. آن‌ها به دور خود می‌چرخند و در هوا شنا می‌کنند. این بار که خواستید تماشا کنید به یک صحنه خوب دقت کنید.

صحنه‌ای که دو بازیگر در ابتدا در حالت ساکن و بی‌وزن هستند و دو دست خود را به یکدیگر داده‌اند. در این حالت اگر یکی دیگری را با دست بچرخاند چه اتفاقی می‌افتد؟ حدس بزنید.

بله! دیگری هم می‌چرخد. اما دقت کنید که دیگری در جهت خلاف دوست خود می‌چرخد. عجیب است نه؟! پس اگر فرض کنید که کادر فیلم برداری به گونه‌ای باشد که شما فقط یک بازیگر را در حالت چرخیدن در جهت عقربه‌های ساعت ببینید؛ حتم خواهید داشت که دیگری در جهت خلاف عقربه‌های ساعت در حال چرخش است با اینکه او را نمی‌بینید.

نکته مهم اینجاست که این دو بازیگر در ابتدا دستان خود را به یک دیگر داده بودند و چرخش خود را با چرخاندن یکدیگر شروع کرده بودند. اگر آنها دستان بلندتری داشتند و یا از یک چوب معلق بلند استفاده می‌کردند نیز می‌توانستند همین چرخش مخالف هم را برای خود ایجاد کنند.

در ترابرد کوانتومی این دو بازیگر، دو الکترون هستند که بسیار کوچکند و در ابتدا دستان خود را به یک‌دیگر داده بودند. حال که از یکدیگر فاصله گرفته‌اند اگر یکی در جهت عقربه‌های ساعت بچرخد؛ متوجه خواهید شد که طرف دیگر الکترونی است که در جهت عکس می‌چرخد. حال شاید بپرسید چطور می‌توان به کمک این ترفند بین دو نقطه هماهنگی برقرار کرد. بگذارید یک مثال بزنیم.

شما و دوستتان می‌خواهید به دو رستوان مختلف بروید. یک رستوران در برج میلاد است و دیگری در پای برج آزادی. هر کدام از این رستوران‌ها فقط دو نوع غذا در منوی خود دارند. مثلا قیمه و قورمه. پیش از راه افتادن و جدا شدن از دوست خود با او هماهنگی انجام می‌دهید. به او می‌گویید اگر الکترون او در جهت عقربه‌های ساعت چرخید، قیمه و اگر در جهت عکس چرخید قورمه را انتخاب کند. به این ترتیب با اندازه‌گیری چرخش الکترون خود در برج دیگر می‌توانید متوجه شوید که او کدام غذا را انتخاب خواهد کرد تا شما غذای دیگر را انتخاب کنید!

اگر اهل چالش فکری هستید به این فکر کنید که اگر رستوران بیشتر از ۲ مدل غذا داشت؛ چطور می‌توانستیم با دوست خود قرارداد کنیم که چه غذایی را انتخاب کند تا ما متوجه انتخاب او در برج دیگر شویم.

۳- کمی پیش از دانشگاه! [یا همان توضیح زیر دیپلمی خودمان:) ]

شاید با دو مفهوم تکانه (تندی حرکت) و چرخش الکترون (اسپین) آشنایی داشته باشید. بگذارید همین ابتدا یک افشاگری جالب برایتان بکنم. الکترون واقعا نمی‌چرخد! الکترون خاصیتی به نام اسپین دارد که مانند تکانه‌ی چرخش رفتار می‌کند. از این رو از آن به عنوان چرخش ذاتی – و نه حرکتی – الکترون یاد می‌کنند.

• اسپین جهت دارد! درست مانند یک فرفره که می‌تواند در جهت عقربه‌های ساعت بچرخد و یا خلاف آن و یا حتی غلت بزند و بالا و پایین رقص محوری انجام دهد. در این حالت محور چرخش را محور تکانه یا تندی چرخش به دور خود فرفره در نظر می‌گیریم. به همین ترتیب الکترون نیز خاصیت در ذات خود به نام اسپین دارد که مانند تکانه‌ی چرخشی سکه یا فرفره رفتار می‌کند.

• برآیند اسپین دو الکترون پایسته است! حتما در مورد پایستگی تکانه در درس فیزیک شنیده‌اید. تکانه چرخشی هم مانند تکانه‌ی خطی پایسته است. پیش‌تر مثالی از دو بازیگر در تونل هوا را زدیم که اگر ابتدا نچرخند و برآیند تکانه‌ی چرخشی هردو صفر باشد؛ پس از چرخاندن یک دیگر نیز برآیند صفر می‌ماند. به طریقی که اگر یکی در جهت عقربه‌های ساعت بچرخد؛ دیگری در جهت خلاف عقربه‌های ساعت می‌چرخد تا مجموع تکانه‌ی چرخشی هر دو صفر باقی بماند.

پرتوی گاما از ذرات با اسپین صفر تشکیل شده‌اند. اگر گاما واپاشی کند؛ دو الکترون از خود متولد می‌کند! پایستگی تکانه می‌گوید که اسپین دو الکترون تولید شده باید خلاف یک دیگر باشد تا برآیند آن دو مانند قبل از واپاشی صفر شود.

اتفاقی که در برج میلاد و برج آزادی می‌افتد نیز این چنین است. برج میلاد به صورت پیوسته الکترون‌هایی را دریافت می‌کند که جفت دیگرش نزد برج آزادی است. اگر برج آزادی الکترونی را دریافت کند که ساعت‌گرد می‌چرخد؛ متوجه می‌شود که برج میلاد در حال مشاهده‌ی الکترونی است که در جهت خلاف عقربه‌های ساعت می‌چرخد.

مثال پایانی بخش قبل را بخوانید. متوجه می‌شوید که از این پدیده که به خاطر پایستگی تکانه رخ می‌دهد؛ چگونه می‌توان برای هماهنگی دو نقطه استفاده کرد. اما شاید بپرسید که هر کدام از دو برج فقط الکترونی را مشاهده می‌کنند که به دست آنها رسیده است. آن‌ها کنترلی روی آن ندارند. فقط وقتی متوجه حرکت اسپینی الکترون می‌شوند که آن را مشاهده کنند و توانایی تنظیم آن را ندارند تا بتوانند انتقال پیامی صورت دهند. این مسئله نیز قابل حل است اما برای توضیح دقیق این که چطور انتقال پیام دلخواه صورت می‌گیرد نیاز داریم تا مباحثی پیشرفته را اشاره کنیم که در ادامه آمده است.

• برای درک بهتر این داستان‌های کوانتومی این ویدیو رو ببینید:

۴ -بالای دیپلم [عالمین بالحیل!]

اگر از آسمان به زمین نگاه کنید (راستای Z)؛ چرخنده‌ها دو حالت دارند. یا در جهت ساعت می‌چرخند یا در خلاف آن! بیاید کمی بازی کنیم! من از نوشتن کلمه‌ي «ساعت و ساعتگرد» خسته شده‌ام. از این پس چرخش ساعتگرد را صفر (۰۰) می‌نامم و دیگری را (۱). اگر حالت‌های ممکن برای این دو الکترون را به ترتیب بنویسیم به چهار زوج می‌رسیم که عبارت اند از: (۰۰, ۰۱, ۱۰, ۱۱) این کلی ترین حالت چرخش یک سیستم دو الکترونی است.

اما صبر کنید گفتیم که این جفت از واپاشی یک ذره گاما بوجود آمده‌اند که در ابتدا چرخش صفر داشته است. پس هر چهار حالت یاد شده نمی‌توانند محتمل باشند و فقط دو حالت (۰۱, ۱۰) هستند که می‌توانند به قانون پایستگی تکانه احترام بگذارند. این دو الکترون را اکنون درهم‌تنیده می‌گوییم. زیرا حالت یکی مستقل از دیگری نیست.

حال که جفت الکترون را بهتر شناختیم بیاید به برهم‌کنش این سامانه با محیط فکر کنیم. اگر میان برج آزادی و برج میلاد این الکترون‌ها با ذره‌ای دیگر برخورد کنند دیگر با قطعیت نمی‌توانیم بگوییم از میان این چهار حالت فقط دوتای یادشده را می‌توانند بگیرند. در این حالت سیستم ما مختل شده است. حال قانون پایستگی برای مجموع این دو الکترون و تمام ذراتی برقرار است که با آنها برخورد کرده‌اند.

برای انتقال پیام دلخواه از همین اختلال الهام گرفته شده است. فرض کنید می‌خواهیم طرف مقابل الکترونی در حالت ۰ دریافت کند. این جفت درهمتنیده را در یک برج به گونه‌ای مختل می‌کنیم که احتمال دریافت حالت ۰ برای آن سر خط ارتباطی بیشتر شود. این اختلال را با ورود الکترون سومی در نزد فرستنده پیام انجام می‌دهیم.

• اگر می‌خواهید با مقدمات مکانیک کوانتومی آشنا شوید این درس‌گفتار دکتر کریمی‌پور را ببینید.

۵- تازه‌ واردها به فیزیک کوانتومی

یک نکته خیلی مهم در نگاه کوانتوم مکانیک به دنیا وجود دارد. آن هم این که تا زمانی که شما اندازه‌گیریی را روی سامانه‌ی مورد مطالعه خود انجام نداده‌اید؛ سامانه در حالتی مرکب از تمام حالت‌های ممکنی است که سامانه می‌تواند به خود بگیرد. به عنوان مثال زوج متولد شده‌ی الکترون و پوزیترون را از واپاشی گاما درنظر بگیرید.

از آنجا که گاما در ابتدا چرخش ذاتی (اسپین) صفر دارد، پس از واپاشی هم سامانه باید در برآیند اندازه‌ی چرخش‌ها، اسپین صفر داشته باشد. دو حالت برای این سامانه وجود دارد. یا لنگه‌ای از این جفت که در برج میلاد دریافت می‌شود تکانه‌ی چرخشی مثبت ($\ket{0}$) دارد و دیگری در برج آزادی منفی ($\ket{1}$) و یا برعکس.

توصیف کوانتوم مکانیک را از این آزمایش یادآور شویم. اگر حالت سامانه را با $\ket{\psi}$ نشان دهیم؛ پیش از اندازه‌گیری توسط برج‌ها به صورت مرکب زیر قابل توصیف است. یعنی برهم‌نهی از دو حالت ممکن که حاصل جمع تکانه صفر دارد.

$$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}\ket{1} + \ket{1}\ket{0})$$

$\ket{0} \ket{1}$ نماد به این معنی است که الکترون اول در حالت چرخش ساعتگرد بوده و الکترون دوم در حالت پادساعتگرد. جمله‌ی دوم هم تعبیر مشابه و عکس دارد. ضرایب یکسان پشت هر جمله نشان دهنده آن است که دو حالت ممکن به یک اندازه محتمل هستند. حال که با نماد گذاری کوانتومی آشنا شدیم بیایم وارد هنر نمایی خود در ترابرد شویم.

ایده اصلی در ترابرد یا مخابره اطلاعات به سبک کوانتومی آن است که این سامانه‌ی دو بخشی را به کمک الکترون سومی مختل کنیم. الکترون سومی که محل نگهداری آن در برجی است که قصد انتقال پیام خود را دارد. این اختلال به صورتی زیرکانه باعث می‌شود تا طرف دیگر در برج دیگر صاحب الکترونی شود که احتمال برآمدن صفر و یکش پس از اندازه‌گیری دیگر یکسان نیست. حال کمربند خود را سفت ببندید تا الگوریتم ترابرد را باهم مرور کنیم!

فرض کنید این برج میلاد است که می‌خواهد پیامی به برج آزادی دهد. او الکترون سوم را که حالتی $\ket{\phi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ دارد؛ در کنار الکترون خود قرار می‌دهد. حال حالت سامانه سه‌تایی به صورت زیر قابل نوشتن است:

$$\begin{align}
\ket{\Psi} &= (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1} ) \big( \frac{1}{2}(\ket{0,1} + \ket{1,0}) \big) \newline
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \big[ \alpha \ket{0,0,0} + \beta \ket{1,0,0} + \alpha \ket{0,1,1} + \beta \ket{1,1,1} \big]
\end{align}$$

کمی چشم بندی کنیم:) عبارت بالا با ضرب و مرتب سازی نیز می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\begin{align}
\ket{\Psi} = \frac{1}{2}\big[ &\ket{\phi^{+}} (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \newline
+& \ket{\phi^{-}} (\alpha \ket{0} – \beta \ket{1}) \newline
+& \ket{\psi^{+}} (\beta \ket{0} + \alpha \ket{1}) \newline
+& \ket{\psi^{-}} ( – \beta \ket{0} + \alpha \ket{1}) \big]
\end{align}$$

که در آن چهار جمله‌ی $\ket{\phi^{\pm}}$ و $\ket{\psi^{\pm}}$ به قرار زیر هستند. [اگر اسامی را دوست دارید؛ درگوشی به شما می‌گویم این چهار حالت را با نام حالت‌های بل می‌شناسیم.]

$$\begin{align}
\begin{cases}
\ket{\phi^{\pm}} &= \frac{1}{2} (\ket{0,0} \pm \ket{1,1}) \newline
\ket{\psi^{\pm}} &= \frac{1}{2} (\ket{0,1} \pm \ket{1,0})
\end{cases}
\end{align}$$

۲) مرحله دوم: اندازه‌گیری…

به آنچه که اکنون از حالت سامانه $\ket{\Psi}$ در عبارت گذشته رسیدیم توجه کنیم. این عبارت می‌گوید چهار حالت ممکن برای این سامانه وجود دارد. در هر کدام برای دو الکترون نزد برج میلاد یکی از چهار حالت بل را داریم و برای الکترون آخر که در نزد برج آزادی است؛ حالتی را داریم که دگر شکلی از حالت الکترون سومی است که آخرین بار وارد سامانه شد.

خوش به حالمان می‌شود اگر برج میلاد پس از اندازه‌گیری متوجه شود که دو الکترون نزد او حالت $\ket{\phi^{+}}$ را داشته‌اند. زیرا در آن صورت حالت الکترون سوم در نزد برج آزادی دقیقا همان حالتی است که برج میلاد در ابتدا در الکترون سوم خود داشت. اما اگر خوش به حالمان نشود چطور؟

به هر صورت در انتها یک حالتی شبیه به همان الکترون وارد شده در نزد برج آزادی احیا می‌شود. این حالت‌ها همگی ضرایب مشابه دارند ولی تنها علامت یا جایگاهشان جابجا شده است. در این صورت اگر برج میلاد با انتقال یک پیام کوتاه دو بیتی به برج آزادی بگوید که کدام حالت بل را مشاهده کرده است آنگاه می‌توان به کمک عملگرهای پائولی این دگرگونی‌ها را نیز برطرف کرد.

۳) حال با خیال راحت سوپ خود را بچشید!

دقت کنیم که این انتقال پیام با سرعتی بیشتر از سرعت نور انجام نمی‌شود. تا زمانی که برج میلاد به برج آزادی به کمک روش‌های کلاسیکی (مثل تلفن یا فیبر نوری) نگوید کدام حالت بل را دیده؛ برج آزادی نمی‌تواند حالت مورد نظر را از الکترون خود احیا کند.

کاری که در این فرآیند انجام دادیم خیلی بیشتر از انتقال یک پیام صفر یا یک است. ما یک بردار کامل دو بعدی را انتقال دادیم. اگر قرار بود این انتقال را با روش‌های کلاسیکی انجام دهیم؛ باید هر کدام از ضرایب آلفا و بتا را در پیام‌هایی جداگانه با بیت‌های رایج صفر و یک انتقال دادیم. اگر این اعداد گویا نبودند؛ باید تعدادی بیشمار بیت خرج این انتقال پیام می‌کردیم.

• اگر می‌خواهید درک فنی‌تری از درهم‌تنیدگی پیدا کنید این چند جلسه از کلاس درس ساسکایند را مشاهده کنید.
• به عنوان یک مثال ساده پیشنهاد می‌کنیم این ویدیو رو ببینید:

شاید تا به حال تجربه پیدا کردن مسیر در جنگلی تاریک را داشته باشید یا حداقل فرض کنید که در آن گیر کرده‌اید و تنها یک چراغ قوه برای پیدا کردن مسیر دارید. پیدا کردن مسیر و تلاش برای حل مسئله با پرسیدن و استدلال کردن همراه است. کجا بودیم؟ چقدر تا به حال مسیر آمده‌ایم؟ شیب زمین به کدام سمت است؟ خورشید در کدام سمت قرار دارد؟ و سعی می‌کنیم با استدلال‌های ریز و درشت به آن‌ها پاسخ دهیم.

این تلاش مشابهی است که پژوهشگران در جنگلی از اطلاعات و رخدادها به دنبال پیدا کردن پاسخ درست مسائل هستند. ریاضی‌دانان از ارتباط بین خطوط و اشکال تلاش می‌کنند تساوی دو پاره‌خط یا موازی بودن را نتیجه بگیرند. فیزیکدانان پس از مشاهده یک پدیده، با اندازه‌گیری و فرضیه سازی‌های مکرر تلاش می‌کنند آن را توصیف کنند. اما این بار استیون ولفرم فیزیکدان معاصر خلاقیت جالبی را برای حل مسائل پیشنهاد کرده‌است. او یک قدم عقب می‌ایستد و جنگل پیمایان را رصد می‌کند. برای او پدیدهٔ اصلی مورد مطالعه خود چراغ قوه به‌دستان هستند نه جنگل و درخت آن.

او با ترسیم مسیری که تا الان پیموده شده و تصویرسازی تلاش می‌کند تا تصویر بزرگتر را پیدا کند و با شناخت آن بگوید چه چیزهایی را می‌توان پیدا کرد و احتمالاً چه چیزهایی از نظر مغفول مانده‌اند. تصویر مولانا را از فیل شناسان را به خاطر بیاورید. هر یک از نظردهندگان، فیل را یک جور می‌دیدند اما حالا اگر یک نفر با در کنار هم قرار دادن این نظرات پازل را تشکیل دهد و بفهمد که آن موجود ناشناخته فیل است؛ آنگاه هم نظر بقیه را توجیه خواهد کرد و هم می‌تواند اطلاعات بیشتر و دقیق‌تری از آن پیکره روایت کند.

دیدنش با چشم چون ممکن نبود 
 اندر آن تاریکی‌اش کف می‌بسود

  آن یکی را کف به خرطوم اوفتاد 
 گفت همچون ناودان است این نهاد

  آن یکی را دست بر گوشش رسید 
 آن برو چون بادبیزن شد پدید

  آن یکی بر پشت او بنهاد دست
 گفت خود این پیل چون تختی بدست

یکی از نمونه‌های بارز تلاش او مطالعه کتاب اصول اقلیدس است. اقلیدس با مطرح کردن ۴+۱ اصل پیمایش خود را در جنگل هندسه و نظریه اعداد شروع کرد. پس از مطرح کردن این ۵ اصل متوجه شد که ترکیب این ۵ اصل می‌تواند گزاره‌های دیگری را نتیجه دهد. گزاره‌هایی که از آن‌ها به عنوان قضیه یاد می‌کنیم. استیون ولفرم در پژوهش خود فارغ از این‌که اقلیدس چه استدلال‌هایی برای گام برداشتن می‌کند؛ مسیری که او برای اثبات هر قضیه از میان قضایای پیشین پیموده رصد می‌کند. به این معنی که در بدنه اثبات هر قضیه دنبال ارجاعاتی که او در اثبات آن استفاده کرده‌است می‌گردد. مثلاً اگر در اثبات قضیه دو از قضیه یک استفاده شد با یک خط جهت دار آن دو را به هم متصل می‌کند. اگر برای کل ۴۶۵ قضیه‌ای که اقلیدس مطرح کرده‌است این روش را ادامه دهیم به گراف زیر خواهیم رسید.

اگر قضیه آخر کتاب او را در نظر بگیرید (که پر ارجاع‌ترین قضیه او هم هست) متوجه می‌شوید که برای اثبات آن باید بسیاری قضیه را اثبات کنیم. گراف زیر تمام قضایایی را که برای اثبات آن نیاز است به رنگ قرمز درآورده است. گویا برای اثبات هر قضیه نیازمند ترسیم یک گراف هستیم که با تعدادی اصول شروع می‌شود و از پس میان قضایای میانی در آخر به قضیه نهایی منجر می‌شود.

او پس از تصویر سازی‌هایی که انجام داده‌است و پیدا کردن یک الگوی کلی موفق شد که درستی گزاره‌های هندسی که حتی درون کتاب اقلیدس نیستند را نیز بررسی کند. به این ترتیب که اصول و فرض‌های اولیه هر قضیه را نقطه آغاز قرار داد و با الگویی که از کتاب اقلیدس فراگرفته بود تلاش کرد مسیر خود را تا مقصد نهایی که اثبات قضیه باشد ترسیم کند. به این ترتیب اثبات هر قضیه را به کمک یک گراف انجام داد. شما هم‌اکنون می‌تواند از ابزار ولفرم آلفا او استفاده کنید و درستی یک حکم را برای یک قضیه هندسی از او بپرسید. شکل زیر گراف محاسبه شده او از یک قضیه مثالی است.

اما امروز کمتر به مسائل هندسه دو بعدی علاقه‌مندیم. شاید تلاش تا به اینجای او برای حل مسائل هندسی خیلی قابل توجه نباشد اما او پس از موفقیت در هندسه به سراغ فیزیک و خانه اصلی خود بازگشت و چندی است که تلاش می‌کند گراف مشابهی را برای نظریات فیزیک رسم کند تا در کشف قوانین جدید از جمله بقیه فیزیکدانان سبقت بگیرد.

تا کنون او در ترسیم گرافی که بتواند برخی قوانین ساده فیزیک را نشان دهد موفق بوده‌است اما همچنان اسب او و گروهش از بقیه دانشمندان پیشی نگرفته‌است. اگر تلاش او برای شما جالب و خلاقانه آمده و می‌خواهید روی اسب او نیز شرط‌بندی کنید. توصیه می‌کنم به تارنمای پروژه فیزیک او نگاهی بیاندازید. گروه او تمام دستاوردهای خود را به صورت رایگان و لایه باز مرتباً منتشر می‌کنند.

این مطلب روایتی است از مطلب زیر:

https://writings.stephenwolfram.com/2020/09/the-empirical-metamathematics-of-euclid-and-beyond/