رفتن به نوشته‌ها

برچسب: مکانیک کلاسیک

پاره شدن نخ‌های واسطه بین چند جرم آویزان

اگر $n$ جسم و $n+1$ نخ را به‌صورت یک در میان به یکدیگر متصل کنیم و مجموعه را به‌طور قائم بیاویزیم، با پایین کشیدن نخ آخر، بسته به این‌که چه شتابی به آن داده باشیم، یکی از نخ‌ها پاره می‌شود. در این مقاله به حل کلی این مسئله که کدام نخ پاره خواهد شد می‌پردازیم. بخش اول مقاله به فرمول‌بندی ریاضی مسئله با در نظر گرفتن نخ‌ها به‌صورت فنرهایی با ثابت‌های به‌اندازه کافی بزرگ و بخش دوم به بررسی دو حالت خاص $n=1$ و $n=2$ اختصاص می‌یابد.

نگاره ۱: اجسام آویزان از سقف

فرمول‌بندی مسئله

$n$ جسم و $n+1$ نخ آن‌طور که در شکل ۱ نشان داده شده است را در نظر می‌گیریم. جرم هرکدام از اجسام را برابر $m$ و نخ‌ها را بی جرم فرض می‌کنیم. همان‌طور که در شکل مشخص است، سیستم در شتاب گرانش $g$ قرار دارد. به نخ پایین نیروی ثابت $F$ را وارد می‌کنیم به‌طوری که شتاب ثابت $a$ را به سمت پایین به انتهای نخ آخر بدهد. برای به‌دست آوردن زمان پاره شدن نخ‌ها، ابتدا $x_i(t)$ها را که در شکل مشخص شده‌اند به‌دست می‌آوریم. بعد از این کار کافی است فرض کنیم که اگر نخ‌ها به‌اندازه $\Delta l$ کشیده شوند پاره می‌شوند.

برای بررسی حرکت دستگاه، نخ‌ها را به‌صورت فنرهایی با طول اولیه $l_0$ و ثابت $k$ در نظر می‌گیریم. وقتی این مجموعه را به‌طور قائم بیاویزیم، طول نخ $p$ام (از بالا) به‌اندازه $\Delta l_p = (n-p+1)mg/k$ افزایش می‌یابد که ناشی از وزن اجسام است. در این حالت با انتخاب نقاط مرجع مناسب می‌توانیم تابع انرژی پتانسیل را به‌صورت زیر تعریف کنیم.

$$U(x_1, x_2, \cdots, x_n, y) = \sum_{i=1}\left[ \frac{1}{2}k(x_i \mathbin{-} x_{i-1} + \Delta l_i)^2 \mathbin{-} mgx_i \right] + \frac{1}{2}k(y \mathbin{-} x_n)^2. \quad (۱)$$

توجه کنید که $x_p(t)$ از محل تعادل جرم شماره $p$ (از بالا) و $x_0=0$ در نظر گرفته شده. در واقع در این حالت جملات ثابتی نیز باید در انرژی پتانسیل دستگاه در نظر گرفت که به علت عدم تأثیر در معادلات حرکت از نوشتن آن‌ها صرف‌نظر کرده‌ایم.

با توجه به اینکه $m\ddot{x}_p = -\partial U / \partial x_p$، معادلات حرکت را می‌توان چنین نوشت:

$$m\ddot{x}_1 + k(2x_1\mathbin{-} x_2) = 0,$$ $$m\ddot{x}_p + k(2x_p\mathbin{-} x_{p-1} \mathbin{-} x_{p+1}) = 0, \quad (۲)$$ $$m\ddot{x}_n + k(x_n \mathbin{-} x_{n-1} \mathbin{-} y) = 0.$$

چون شتاب ثابت است، $y = (1/2)at^2$ و بنابراین می‌توانیم جواب‌های معادلات بالا را چنین بنویسیم:

$$x_p(t) = \sum_{j=1}^{n} \big(A_{pj} \cos(\omega_j t) + B_{pj} \sin(\omega_j t)\big) + C_{p1}t^2 + C_{p2}t + C_{p3}.$$

با جایگذاری جواب‌هایی به شکل فوق در دستگاه معادلات (۲) به‌دست می‌آوریم $\omega_j^2 =(k/m)\lambda_j$، آن‌گاه $\lambda_j$ها جواب‌های معادله زیرند:

$$(2 \mathbin{-} \lambda)\left(2 \mathbin{-} \lambda \mathbin{-} \frac{1}{2 \mathbin{-} \lambda}\right)\left(2 \mathbin{-} \lambda \mathbin{-} \frac{1}{2 \mathbin{-} \lambda \mathbin{-} \frac{1}{2 \mathbin{-} \lambda}}\right) \dots = 0.$$

همچنین $C_{p1} = (pa/2(n+1))$ و $C_{p2}=0$ است. $C_{p3} = (map/6k(n+1))(p^2-n(n+2)-1)$ و با توجه به شرایط اولیه $x_p(0) = \dot{x}_p(0) = 0$، ضرایب $A_{pj}$ و $B_{pj}$ نیز مشخص می‌شوند. با مشخص شدن $x_j(t)$ها، می‌توانیم معادلات مربوط به پاره شدن نخ‌ها را به‌دست آوریم. برای این کار کافی است فرض کنیم که وقتی نخ‌ها به‌طور مشخص $L$ می‌رسند پاره می‌شوند. پس زمان پاره شدن نخ‌ها را باید از روابط زیر به‌دست آوریم:

$$x_1 + l_0 + l_1 = L,$$ $$\vdots$$ $$(x_p \mathbin{-} x_{p-1}) + l_0 + l_p = L, \quad (۳)$$ $$\vdots$$ $$(y\mathbin{-} x_n) + l_0 = L.$$

زمان پاره شدن نخ $p$ام، $t_p$، با قرار دادن $x_{p-1}$ و $x_p$ در معادلهٔ $p$ام (از بالا) دستگاه معادلات (۳) و حل آن به‌دست می‌آید. با مقایسهٔ مقادیر زمان‌های لازم برای پاره شدن نخ‌ها می‌توانیم نخی را که در اثر کشیدن انتهای پایینی مجموعه پاره می‌شود مشخص کنیم. از آن‌جا که که بررسی جواب‌ها حتی در حالت $n=1$ به سبب وجود جملات مثلثاتی کار آسانی نیست از روش‌های عددی استفاده می‌کنیم و مسئله را در حالت‌های خاص (یک و دو جسم) بررسی می‌کنیم.

حالت خاص n=1

فرض کنید فقط یک جسم داریم. این مسئله معمولاً در درس مکانیک مقدماتی برای دانشجویان مطرح می‌شود و به‌طور کیفی نیز به آن پاسخ داده می‌شود. در اینجا به حل کمی این مسئله می‌پردازیم. در این حالت، معادله حرکت جسم چنین است:

$$x(t) = \frac{a}{2\omega^2} \left( \cos(\omega t) \mathbin{-} 1 \right) + \frac{a}{4} t^2, \quad \omega^2 = \frac{2k}{m}.$$

پس معادلات مربوط به زمان پاره شدن نخ‌ها چنین‌اند ($l = mg/k$):

$$\Delta l \mathbin{-} l = \frac{a}{2\omega^2}( \cos(\omega t_1)\mathbin{-} 1) + \frac{a}{4}t^2_1, \quad (۴)$$ $$\Delta l = \frac{-a}{2\omega^2}( \cos(\omega t_2)\mathbin{-} 1) + \frac{a}{4}t^2_2.$$

پارامترهای مؤثر در زمان پاره شدن نخ $k/m$ ، $\Delta l$ و $a$ هستند. ابتدا حالتی خاص را بررسی می‌کنیم. فرض کنید $k/m$ هزار بر مجذور ثانیه و $\Delta l$ دو میلی‌متر باشد. این مقادیر گستره بزرگی از حالت‌های معمول و قابل آزمایش در مورد این مسئله را در بر می‌گیرند. با حل عددی و به‌دست آوردن $t_1$ و $t_2$ از معادلات (۴) به‌ازای این مقادیر $k/m$ و $\Delta l$ و برای چندین شتاب مختلف نمودار شکل ۲ به‌دست می‌آید. این نمودار نشان می‌دهد که (برای شتاب‌هایی در بازه مشخص شده در شکل) برای شتاب‌های به‌اندازه کافی بزرگ، نخ پایینی و برای شتاب‌های کم، نخ بالایی پاره می‌شود این نتیجه‌گیری با درک شهودی ما از مسئله کاملاً توافق دارد.

اکنون شتاب مربوط به نقطه برخورد در این حالت را پیدا می‌کنیم. فرض کنید $t=t_1=t_2$. دو طرف معادلات (۴) را با هم جمع می‌کنیم و $t$ را به‌دست می‌آوریم. اکنون اگر مقدار $a$ در $t=2\sqrt{(2\Delta l \mathbin{-} l)/a}$ را در یکی از معادله‌ها قرار دهیم و تعریف کنیم $\beta = \sqrt{\left(\frac{\Delta l}{l} \mathbin{-} 1\right)}$ و $\alpha = \sqrt{\frac{a}{4g}}$ نتیجه می‌شود:

$$\alpha^2(\cos(\beta/\alpha) \mathbin{-} 1 ) + \frac{1}{2} = 0. \quad (۵)$$

نگاره ۲: نمودار زمان پاره شدن نخ‌ها برحسب شتاب در حالت n=1.

نمودار تابع $F(x) = x^2\big(\cos(\beta/x) \mathbin{-} 1 \big) + \frac{1}{2}$ در شکل ۳ برای حالتی که در آن $\beta = \beta_1 \approx 1.755$ رسم شده است. با حل معادله $F(x) = 0$ (به وسیله کامپیوتر)، ریشه $0.507$ (که در شکل ۳ مشخص شده است) به دست می آید. یعنی شتاب لازم برای پاره شدن همزمان نخ‌ها تقریبا ده متر بر مجذور ثانیه است. که با نمودار شکل ۲ توافق دارد.

برای اینکه ثابت کنیم معادله $F(x) = 0$ فقط همین یک ریشه را دارد، کافی است ثابت کنیم که $F'(x)$ به ازای مقادیر $x$ بزرگتر از $\alpha$ نزولی است. این کار را می‌توان با محاسبه $F'(x)$ و تقریب زدن $\cos(\beta/x)$ و $\sin(\beta/x)$ با چند جمله از بسط سری آن‌ها به سادگی نشان داد. بنابراین $F(x) = 0$ فقط یک ریشه دارد.

نگاره ۳: نمودار تابع $F(x) = x^2 \cos(x) + (1/\beta^2 – 1)$

اکنون نشان می‌دهیم که در همه حالتهای مورد بحث، موضوع به همین شکل است. یعنی همواره یک نقطه برخورد وجود دارد که برای شتاب‌های کوچکتر از شتاب آن نقطه، نخ بالایی و برای شتاب‌های بزرگتر از شتاب آن نقطه، نخ پایینی پاره می‌شود. ابتدا این موضوع را که معادله ۵ یک و فقط یک ریشه دارد، به مقادیر منطقی و مورد بحث در این مقاله تعمیم می‌دهیم (منظور از مقادیر مورد بحث $\beta$ بعدا مشخص می‌شود). فرض کنید که بخواهیم معادله (۵) را برای $\beta \approx \beta_2$ بررسی کنیم. اگر $d=\beta_2/\beta_1$ و $\beta_1 = 1.755$ در این صورت با تغییر متغیر $X = x/d$ حل معادله مورد نظر متناظر با یافتن ریشه $H(X)=0$ است که در آن

$$H(X) = X^2(\cos(\beta_1/X) \mathbin{-} 1 ) + \frac{1}{2d^2}.$$

نمودار تابع $H$ از انتقال تابع $F$ به دست می‌آید. ولی نمودار $F(x)$ اگر تا جایی به پایین انتقال پیدا کند که قسمت تناوبی آن بالای محور $x$ قرار گیرد، نمودار فقط در یک نقطه با این محور برخورد خواهد کرد. با توجه به شکل ۳ می‌توان دریافت که اگر انتقال حدوداً کمتر از $0.4$ واحد باشد یعنی اگر $(1/2) \mathbin{-} (1/2d^2) \leq 0.4$، این برخورد صورت نمی‌گیرد. این شرط با توجه به اینکه در نمودار شکل ۲ داریم $\Delta l/l \approx 2$ متناظر با این است که $\Delta l/l \leq 8$ باشد.

اما در چه حالت‌هایی بیش از یک نقطه برخورد وجود دارد؟ $\Delta l/l>8$ نشان می‌دهد که افزایش طول لازم برای پاره شدن نخ، هشت برابر طولی است که در ابتدا با وصل کردن جسم به آن داده می‌شود. این موضوع نشان می‌دهد که مقدار کش آمدن نخ و یا ثابتی که برای آن انتخاب کرده‌ایم در مقابل جسم جرم آنقدر زیاد است که تاثیر جسم در پاره شدن نخ، که به صورت جمله نوسانی و مقدار $l$ در معادلات ظاهر می‌شود، تقریبا از بین می‌رود. زیرا اگر $\Delta l$ بسیار بزرگتر از $l$ باشد، از معادلات (۴) نتیجه می‌شود که تاثیر وجود جسم، که به صورت جمله کسینوس و همچنین کاهش مقدار کششی لازم برای پاره شدن نخ بالایی از $\Delta l$ به $\Delta l \mathbin{-} l$ ظاهر می‌شود، رفته رفته از بین می‌رود. بنابراین فقط حالت‌هایی را بررسی می‌کنیم که نسبت $\Delta l/l$ در حدی باشد که نقش وجود جسم در پاره شدن نخ کاملاً مشخص باشد. به همین دلیل است که در ابتدا جرمی بین دو نخ در نظر می‌گیریم و دستگاه را به طور قائم در شتاب گرانش قرار می‌دهیم.

تا اینجا مشخص شد که به ازای تمامی حالتهایی که جسم — با تقریب ما برای آن‌ها — وجود دارد، یک و فقط یک شتاب $a_0$ موجود است که هر نخ را همزمان پاره می‌کند. اکنون اگر نشان دهیم که شتابهایی مانند $a_1$ و $a_2$ وجود دارند که به ازای $a_c < a_1$ و $t_1 > t_2$ و به ازای $a_c >a_2$ و $t_1 < t_2$ آنچه می‌خواهیم به آسانی ثابت می‌شود. اگر معادلات (۴) را به صورت زیر بنویسیم:

$$\frac{\Delta l \mathbin{-} l}{a} + \frac{1}{2\omega^2} \big(\cos(\omega t_1) – 1\big) = \frac{1}{4}t_1^2,$$ $$\frac{\Delta l}{a} + \frac{1}{2\omega^2} \big(\cos(\omega t_2) – 1\big) = \frac{1}{4}t_2^2.$$

چون جمله کسینوس کراندار است با کم کردن $a$ برای مقادیر ثابت $\omega, l, \Delta l$ تاثیر این جمله کم و بیش از بین می‌رود، بنابراین همیشه می‌توانیم $a <a_0$ را آنقدر کوچک بگیریم که این جمله در معادلات قابل چشم پوشی
باشد. در این صورت $t_1 = 2\sqrt{(\Delta l \mathbin{-} l)/a}$ و $t_2 = 2\sqrt{\Delta l/a}$. پس همواره از$a <a_0$ نتیجه می‌شود $t_1 <t_2$.

حالا فرض کنید که $t_1$ و $t_2$ در معادله (۴) بسیار کوچک باشند، به طوری که بتوانیم بسط سری کسینوس را به صورت زیر بنویسم:

$$\Delta l \mathbin{-} l \approx (1 \mathbin{-} \frac{\omega^2 t_1^2}{2} + \frac{\omega^4 t_1^4}{4}\mathbin{-}1) \frac{a}{2\omega^2} + \frac{1}{4}at_1^2, \quad (۶)$$ $$\Delta l \approx \frac{\omega^2 t_2^2}{2} \frac{a}{2\omega^2}+ \frac{1}{4}at_2^2$$

در این صورت، این جواب‌ها به‌دست می‌آیند: $t_{1} = \sqrt[4]{\frac{48\,(\Delta l \mathbin{-} l)}{a\,\omega^2}}$ و $t_{2} = \sqrt{\frac{2\,\Delta l}{a}}$.

با توجه به فرض بسیار کوچک بودن $t_{1}$ و $t_{2}$ و این‌که $a$ برای جواب هر دو زمان در مخرج ظاهر شده است، نتیجه می‌گیریم که برای مقادیر بسیار بزرگ $a$، جواب‌های (۴) با تقریب خوبی به شکل (۶) هستند. با توجه به جواب $t_{1}$ و $t_{2}$ اگر $a<a_c$ آنگاه $t_2<t_1$ به طوری که $a_c =
 \frac{\Delta l^2 \omega^2}{2(\Delta l \mathbin{-} l)}$. پس برای شتاب‌های بزرگ و زمان‌های کوچک می‌شود دید که $t_2<t_1$.

بنا بر آن‌چه گفته شد، با فرض اینکه نمودار جواب‌های (۴) در محدودهٔ مورد بررسی ناپیوستگی‌های قابل ملاحظه‌ای نداشته باشد (که فرض معقولی است) می‌توانیم این نتیجه‌گیری کلی را بکنیم که برای شتاب‌های به اندازهٔ کافی بزرگ نخ پایین و برای شتاب‌های کوچک، نخ بالایی پاره می‌شود. این مطابق با جوابی است که به صورت شهودی به این مسئله داده می‌شود.

حالت خاص n=2

برای دو جسم، معادلات زیر را در مورد زمان پاره شدن نخ‌ها به‌دست آوریم:

$$\Delta l \mathbin{-} l_1= \frac{a}{2\omega_1^2} \cos(\omega_1 t_1)\mathbin{-}\frac{a}{6\omega_2^2} \cos(\omega_2 t_1)+\frac{1}{6}at_1^2 \mathbin{-} \frac{4a}{9\omega_1}),$$ $$\Delta l \mathbin{-}l_2 = \frac{a}{3\omega_2} \cos(\omega_2 t_2) +\frac{1}{6}at_2^2\mathbin{-}\frac{a}{9\omega_1^2},$$ $$\Delta l = \frac{1}{6}at_1^2 \mathbin{-} \frac{a}{2\omega_1^2}\cos(\omega_1t_3)\mathbin{-} \frac{a}{6\omega_2^2}\cos(\omega_2t_3) + \frac{5}{9\omega_1^2}a. \quad (۷)$$

که در این معادلات $\omega_1^2 = \frac{k}{m}, \omega_2^2 = \frac{3k}{m}, l_1 = \frac{2mg}{k}, l_2 = \frac{mg}{k}$.

مشخص است که معادلات (۷) نسبت به حالت $n=1$ بسیار پیچیده‌ترند و بحث در مورد آن‌ها بسیار دشوارتر از حالت قبل است. در این حالت، به بررسی جواب‌ها فقط در یک مورد خاص بسنده می‌کنیم.

دوباره مقادیر قبلی را برای $\Delta l$ و $k/m$ در نظر بگیرید. اگر جواب‌های (۷) را برای شتاب‌های مختلف با کمک کامپیوتر به‌دست بیاوریم، به نمودار شکل ۴ می‌رسیم. در این نمودار رفتار شتاب تا $50 \text{ms}^{-2}$ بررسی شده است. این نمودار نشان می‌دهد که در شتاب‌های معمولی نخ وسطی پاره نمی‌شود. حل عددی به ما نشان می‌دهد که شتاب لازم برای کوچک‌تر شدن $t_2$ از $t_3$ در حدود ۲۵۰ متر بر مجذور ثانیه است و برای این‌که $t_2$ از $t_1$ کوچکتر شود شتاب بسیار بیشتر که منطقی نیست لازم است. بنابراین آنچه که ما در شتاب‌های معمولی می‌بینیم این است که مانند حالت $n=1$ برای شتاب‌های به‌اندازه کافی کوچک، نخ بالایی و برای شتاب‌های بزرگ نخ پایینی پاره می‌شود.

نگاره ۴: زمان پاره شدن هر یک از نخ‌ها

نتیجه‌گیری

نتایجی که در پایان حالت‌های خاص گرفته شد، یعنی پاره شدن نخ بالایی برای شتاب‌های کم و نخ پایینی برای شتاب‌های زیاد، با درک فیزیکی ما از مسئله کاملاً سازگار است. جواب‌هایی که در کلاس‌های درس مکانیک به حالت $n=1$ داده می‌شود بیشتر جنبه کیفی دارد ولی آنچه ما در اینجا نشان دادیم، بیانگر این موضوع است که این جواب‌های کیفی با حل کمی نیز تأیید می‌شوند. در طول حل مسئله مواردی پیش آمد که به منظور جلوگیری از پراکنده شدن مطلب اصلی، اقدام به بیان دقیق و بررسی جزئیات و انجام اعمال ریاضی نکردیم؛ دقیق‌تر کردن این موارد با کسی حوصله‌مند امکان‌پذیر است (نویسنده این کار را انجام داده است). در هر صورت با وجود ایرادهایی که به فرض‌های اولیه ما وارد است، مثلاً این‌که طبیعت نخ‌ها مخصوصاً در آستانه پاره شدن به صورت یک فنر ایده‌آل که ما فرض کردیم رفتار نمی‌کنند و یا فرضیه‌هایی مانند برابر بودن جرم اجسام و یا ثابت بودن شتاب پایین کشیدن نخ‌ها که از کلیت مسئله می‌کاهد، موضوع جالب توجه اینجاست که جواب به‌دست آمده با تقریب در نظر گرفتن نخ‌ها به‌صورت فنر در محدوده مورد بررسی، کاملاً با تجربه سازگار است و شهود کیفی ما را از مسئله تأیید می‌کند.

سپاسگزاری

در اینجا لازم است از آقای دکتر محمود بهمن‌آبادی که برای حل این مسئله از راهنمایی‌های ارزنده ایشان استفاده کرده‌ام تشکر کنم.

صورت‌بندی‌های مکانیک کلاسیک، قسمت یک

این میم بهونه خوبیه که در مورد روش‌های متفاوتی که میشه مکانیک کلاسیک رو ارائه کرد حرف زد. پس توی این نوشته، بدون پرداختن به مکانیک کوانتومی، سراغ فرمول بندی‌های مدرنی میریم که برای توصیف حرکت داریم.

صورت‌بندی نیوتون

نخستین فرمول بندی همان‌چیزی است که همه ما در مدرسه با آن آشنا شده‌ایم؛ صورت‌بندی نیوتون. نیوتون با ارائه سه قانون، چارچوبی کلی برای مطالعه حرکت معرفی کرد. با پذیرفتن این سه قانون، می‌شود حرکت ذرات غبار در هوا یا حرکت سیارات و کهکشان‌ها را با دقت خوبی توضیح داد و پیش بینی کرد. به طور خلاصه به کمک قوانین نیوتون می‌توانیم بگوییم زمین چگونه به دور خورشید می‌چرخد و اگر توپی را با فلان سرعت پرتاپ کنیم، کی به کجا می‌رسد.

قانون اول نیوتون در مورد ناظر است. این قانون می‌گوید برای داشتن درک درستی از حرکت اجسام، کسی که آن‌ها را مشاهده می‌کند هم مهم است. در واقع نیوتون قوانین حرکتش را برای ناظرهایی ارائه می‌دهد که در ابتدای امر تکلیف آن‌ها را مشخص کرده: ناظرهای لَخت. تعریف ساده ناظر لخت این گونه است: اگر جسمی را منزوی کنیم جوری که هیچ جسم دیگری روی آن اثری نگذارد، آن موقع، ناظر مورد نظر ما آنی است که ببیند جسم با سرعت ثابتی حرکت می‌کند. قاعدتا سرعت صفر‌(بی‌حرکتی) هم شامل این مورد می‌شود. بعد از مرور قانون دوم دوباره به این قانون فکر کنید. قانون اول از قانون دوم نتیجه نمی‌شود!

به دنبال قانون اول، قانون دوم نیوتون شیوه ترجمه اثرات خارجی وارد بر یک جسم به تغییرات سرعت آن را توضیح می‌دهد. بیان ریاضی این قانون معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه دویی است که در یک طرف آن تغییرات تکانه جسم و طرف دیگر آن همه اطلاعات مربوط به اثرات خارجی را در قالب کمیت برداری به اسم نیرو قرار می‌دهد. دراینجا، تکانه جسم، حاصل‌ضرب کمیتی ذاتی به اسم جرم جسم در سرعت آن است. جرم جسم $m$ در این قانون، پارامتری است که آهنگ تغییرات سرعت جسم $\dot{\textbf{v}}$ به واسطه نیروهای وارد شده به آن یعنی $\textbf{F}$ را کنترل می‌کند.

$$\textbf{F} = m \frac{d^2\textbf{x}}{dt^2} = m\dot{\textbf{v}}$$

در فیزیک رسم است که مشتق زمانی یک کمیت را با گذاشتن یک نقطه‌ بالای آن نشان می‌دهیم. این‌که چرا قانون دوم توسط یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو توصیف می‌شود، چیزی است که طبیعت انتخاب کرده. با این وجود این انتخاب برای ما تا حدودی خوشایند است. از لحاظ ریاضی تفسیر این معادله این است که اگر ما بدانیم بر جسمی چه نیروهایی وارد می‌شود و سرعت و مکان آن را در هر لحظه بدانیم، دیگر نیازی نیست اطلاعات بیشتری داشته باشیم تا حرکت آن جسم را توصیف کنیم. یعنی مکان و سرعت در یک لحظه تمام اطلاعات اولیه‌ای است که به آن‌ها نیاز داریم و بقیه اطلاعات دیگر را می‌توانیم حساب کنیم. زیباست. نه؟!

قانون سوم نیوتون را به شیوه‌های مختلفی می‌شود بیان کرد که حتما در مورد آن شنیده‌اید. آن‌چه که برایتان شاید جالب باشد این است که این قانون کامل نیست. منظور از کامل نبودن این است که در بعضی مسائل به تنهایی توصیف درستی ارائه نمی‌کند. چرا و چگونه‌اش بماند برای بعد. چیزی که الان مهم است این است که به واسطه قانون سوم نیوتون می‌شود روشی برای مقایسه و اندازه گیری جرم اجسام گوناگون پیدا کرد. پس به لطف این قانون، تکلیف جرم جسم مشخص می‌شود. حالا کافی است که نیروها را مشخص کنیم. آن‌موقع به واسطه قانون دوم می‌توانیم حرکت یک جسم را توصیف کنیم. مشکل این‌جاست که قوانین نیوتون به تنهایی این کار را برای ما انجام نمی‌دهند. یعنی در کنار این سه قانون، باید صورت‌بندی‌هایی برای نیروهای مختلف هم پیدا کنیم. خوش‌بختانه به نظر می‌رسد که تعداد نیروهای بنیادی از شمار انگشتان یک دست کمترند. در زندگی روزمره‌ ما، نظریه‌های گرانش و الکترومغناطیس تقریبا همه نیروهای وارد بر اجسام را توصیف می‌کنند. به طور خلاصه، هر بار که چیزی می‌افتد به خاطر گرانش است و هر چیز دیگر تقریبا منشا الکترومغناطیس دارد از جمله بالا بردن اجسام توسط بازوی ما یا آسانسور منزل!

حالا ما می‌توانیم طبیعت را توصیف کنیم. یا دست کم حرکت در طبیعت را تا وقتی که اثرات کوانتومی یا نسبیتی وارد نشده‌اند را با دقت خوبی توضیح دهیم.

اما این فقط یک روایت از طبیعت است. ما می‌توانیم این داستان را جور دیگری هم بیان کنیم. یعنی می‌شود حرکت اجسام را جور دیگری هم صورت‌بندی کرد بدون این‌که با صورت‌بندی نیوتون ناسازگار از آب درآیند. صورت‌بندی‌هایی که همین حرف‌ها را با ریاضیات متفاوتی بیان کنند و چه بسا قدرت عمل بیشتری به ما در محاسبات و تعمیم ایده‌ها — فرای مکانیک استاندارد — هم دهند.

آرامگاه نیوتون در کلیسای وست‌مینستر لندن

اصل کم‌ترین کنش و روش لاگرانژ و همیلتون

فرض کنید شما سامانه‌ای را در یک لحظه می‌بینید. سپس چشمانتان را برای مدت کوتاهی می‌بندید، دوباره باز می‌کنید و در لحظه‌ جدید سامانه را در موقعیت جدیدش مشاهده می‌کنید. برای مثال، توپی را تصور کنید که در لحظه اول در نقطه پنالتی و در لحظه بعدی در کنج دروازه جا گرفته. حالا تمام مسیرهایی که توپ ممکن است بین این دو لحظه طی کرده باشد را تصور کنید. مثلا یک مسیر این است که توپ مستقیم از نقطه پنالتی به کنج دروازه رفته باشد. یک مسیر ممکن دیگر این است که توپ روی منحنی هیجان‌انگیزتری حرکت کرده و به کنج دروازه نشسته. یک مسیر هم می‌تواند این باشد که توپ به هوا رفته، چرخیده و دست آخر برگشته و وارد دروازه شده. حالا فرض کنید، به هر کدام از این مسیرها کمیتی نسبت می‌دهیم به نام کُنِش و ما کنش همه مسیرها را در جدولی یادداشت می‌کنیم.

هیچ‌کس تا به حال ندیده که ضربه پنالتی به عقب برود و سپس به درواز برگردد. منطقی نیست. یا به عبارتی این مسیری نیست که طبیعت اجازه طی شدنش را بد‌هد وقتی شخصی به سمت دروازه ضربه می‌زند. پس قرارداد می‌کنیم که مسیری مجاز است که توسط طبیعت انتخاب شود و طبیعت مسیری را انتخاب می‌کند که کمترین (اکسترمم) کنش را داشته باشد. به این قاعده، اصل کمترین کنش یا اصل همیلتون می‌گویند. در عمل، همان‌طور که برای پیدا کردن نقاط اکسترمم توابع مشتق پذیر، به دنبال ریشه‌های مشتق آن تابع می‌گردیم، اینجا هم ایده‌هایی مشابه وجود دارد که نیاز نباشد همه مسیرها را امتحان کنیم. حالا فرض کنید که مسیری که کمترین کنش را دارد را پیدا کرده‌ایم. پس اگر اندکی آن‌را تغییر دهیم نباید کنش مسئله تغییر چشم‌گیری کند. درست همان‌طور که مثلا تابع $y = x^2$ در نقطه صفر که کمینه آن است تغییر چندانی نمی‌کند.

کنش $S$ را به صورت ریاضی می‌توانیم به صورت انتگرال زمانی تابع دیگری به نام $L$ بنویسم. چرا؟ چون این کَلک خوبی است که در ادامه از آن لذت‌ خواهیم برد! اسم انتگرال‌ده را هم به احترام آقای لاگرانژ و زحماتی که برای این صورت‌بندی پیش‌تر از خیلی‌ها انجام داده لاگرانژی می‌گذاریم. لاگرانژی تابعی از مکان، سرعت و احیانا زمان است. کلا بنا را هم بر این بگذارید که داریم بازی ریاضی می‌کنیم با این ایده که گویی لاگرانژی اطلاعات مربوط به ویژگی های ذاتی جسم و برهم‌کنش‌های آن با دیگر ذرات و موجودات دیگر را دارد و ما می‌خواهیم همه این اطلاعات بین دو زمان مشخص را به کنش نسبت دهیم. پس می‌نویسیم

$$S = \int^{t_2}_{t_1} L(q , \dot q, t) \, dt. $$

تا اینجا هیچ کار عجیبی نکرده‌ایم. فرض کرده‌ایم چیزی وجود دارد به اسم کنش که به صورت یک انتگرال تعریف می‌شود. همین‌طور از مختصات تعمیم یافته $q$ و $\dot q$ برای نشان دادن مکان و سرعت استفاده کرده‌ایم گویی می‌خواهیم از مختصه جدیدی به جای مثلا $x$ استفاده کنیم.

حالا می‌خواهیم ببینیم مسیر بهینه که اسمش را می‌گذاریم $q_{c(t)}$ چگونه به دست می‌آید. طبق چیزی که تعریف کرده‌ایم، مسیر بهینه باید کنش را کمینه (یا به عبارت فنی‌تر اکسترمم) کند. پس تحت تغییرات بینهایت کوچک مسیر، کنش متناظرش نباید تغییر خاصی کند. درست مانند وقتی که مشتق توابع پیوسته — که نشان‌دهنده تغییرات آن توابع هستند — در نقاط بیشینه یا کمینه‌شان صفر هستند. پس بیاید تغییرات کنش را حساب کنیم و برابر با صفر قرار دهیم

$$ \delta S = \int^{t_2}_{t_1} dt \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q \right) = 0. $$

با فرض این که ابتدا و انتهای مسیر را مشخص کرده‌ایم کافی است به کمک کَلَک انتگرال‌گیری جز به جز ادامه دهیم.

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} dt \left( \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial q} + \frac{d}{dt} \left( \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \delta q_{(t)} \right) $$

جمله میانی به راحتی از انتگرال خارج می‌شود. با کنار هم قرار دادن جمله اول و سوم خواهیم داشت

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} dt \, \delta q_{(t)} \left( \frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \right) + \delta q_{(t)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \Big|_{t_1}^{t_2} $$

جمله ی آخر صفر است چون که ابتدا و انتهای مسیر را ثابت کرده‌ایم. البته می‌شد این انتخاب را انجام نداد و از جملات مرزی در مواردی استفاده کرد. اما برای این نوشته همین قدر جزئیات کافی است. از آن جا که $\delta q_{(t)}$ تغییراتی دلخواه است و برای مثال می‌تواند فقط در زمان دلخواه $t$ غیر صفر (تقریبا و با اغماض شبیه دلتای دیراک) باشد، انتگرالده‌مان باید در هر لحظه صفر باشد. پس کمینه کردن کنش، $\delta S =0$، نتیجه می‌دهد

$$ \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) $$

این معادله همان چیزی است که بالای سر مرد عنکبوتی وسطی ابتدای این نوشته قرار دارد و در جامعه فیزیک مشهور است به معادله اویلر–لاگرانژ. این معادله معادلات حرکت را نتیجه می‌دهد. درست مانند قانون دوم نیوتون.

ولی لاگرانژی واقعا چیست؟ این سوال کمابیش در زبان نیوتونی مثل آن است که بپرسیم چه نیروهایی بر جسم وارد می‌شوند. برای پاسخ به این پرسش نیاز به شناخت سیستم و برهم‌کنش‌های آن داریم. مثلا برای ذره‌ای که در حال حرکت تحت یک پتانسیل است، لاگرانژی این سیستم برابر با با اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل آن ذره است. توجه کنید که لاگرانژی کمیتی نرده‌ای است،‌ برخلاف نیرو که کمیتی برداری است. از لحاظ ریاضی کار کردن با کمیت‌های نرده‌ای خیلی راحت‌تر است. این اولین حسن صورت‌بندی جدید است. همین طور توجه کنید که از لحاظ ابعادی، لاگرانژی بعد انرژی دارد. نکته دیگری که بد نیست بدانید این است که خیلی از اوقات لاگرانژی را بنا بر یک سری تقاضاهای فیزیکی مانند تقارن های حاکم بر سیستم حدس می‌زنیم. برای دیدن چند مثال در این مورد به این نوشته نگاه کنید: تقارن،قوانین پایستگی و اِمی نٌودِر.

این ویدیو سیر تاریخی این مسئله را به خوبی نشان می‌دهد:

منتظر ادامه این نوشته باشید.

اما اگر عجله دارید، این ویدیوها و این کتاب‌ را نگاه کنید:

معرفی کتاب و دوره برای دانشجویان سال دوم فیزیک

معمولا دانشجوهای سال دوم دروس پایه رو کامل گذروندند ولی اگر شما یک دانشجوی سال دوم هستید و هنوز دروس‌پایه رو کامل نگذروندید پیشنهاد می‌کنم پست «معرفی کتاب و دوره برای دانشجویان سال اول فیزیک» رو بخونید. درس‌های اصلی سال دوم شامل «ریاضی فیزیک» ،‌«مکانیک تحلیلی»، «فیزیک مدرن» و احتمالا «الکترومغناطیس» هست. (البته من توی این پست در مورد الکترومغناطیس نمی‌نویسم.) بازم یادآوری کنم یادتون باشه گوگل دوست شماست! می‌تونید سرچ کنید و منابع خیلی خوبی پیدا کنید، یا اینکه از یوتیوب استفاده کنید و کلی دوره خوب پیدا کنید و از یادگیری‌تون لذت ببرید. فراموش نکنید که مسئله زیاد حل کنید و هیچ چیز مثل تمرین زیاد بهتون کمک نمی‌کنه.  پست لیسانس فیزیک با بیژامه رو بخونید!

۱)ریاضی فیزیک (روش‌های ریاضی در فیزیک):

یکی از بدقلق‌ترین درس‌های کل دوره‌ی کارشناسی به نظر من همین درسه. چون که ۳واحده ولی در حقیقت ۶ واحده! هر واحدش یک برهم‌نهی از یک واحد ریاضی و یک واحد فیزیکه! خلاصه ملقمه‌ای از موضوع‌های مختلف رو باید یاد بگیرید طی دو ترم. برای همین پیشنهاد می‌کنم این درس رو خیلی جدی دنبال کنید و برای هر مبحثش یک کتاب در مورد اون مبحث پیدا کنید و دقیق مطالعه کنید. مثلا برای قسمت آنالیز مختلط کتاب «چرچیل» رو بخونید! در حالت کلی کتاب‌های «آرفکن» و «صدری حسنی» منابع اصلی هستند که به نظر من صدری حسنی بیان بهتری داره. در مورد آرفکن هم حتما از آخرین نسخه‌ش استفاده کنید چون که خیلی بهتر شده ولی حتما به بقیه کتاب‌ها هم نگاه کنید:

1) Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields; Sadri Hassani
2) Mathematical Methods for Physicists, Seventh Edition: A Comprehensive Guide; George B. Arfken , Hans J. Weber
3) Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide Paperback; K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence

4) Introduction to Mathematical Physics: Methods & Concepts by Chun Wa Wong

5) Physical Mathematics, Kevin Cahill

6) Mathematical Methods in the Physical Sciences, Mary L. Boas

کتابی هم هست که اگر دوست داشته باشید ریاضی بیشتری یاد بگیرید (فراتر از سطح کتاب‌هایی که نام بردم) خوبه که سراغش برید:

***) Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations

در مورد دوره هم بهتره مبحث به مبحث دنبالش برید، مثلا وقتی به مبحث جبرخطی رسیدید سراغ دوره جبرخطی MIT برید و …

۲) مکانیک تحلیلی (مکانیک کلاسیک):

درس بسیار جالب، جذاب و کلیدی به همراه فرمالیسم‌های زیباتر و قوی‌تری برای مکانیک کلاسیک هست! کتاب‌های متنوعی با سطح‌های مختلفی هست که من پیشنهاد میکنم به همه‌شون رجوع کنید چون که ممکنه موضوعی رو خوب متوجه نشید اون موقع باید سراغ کتابی برید که ساده‌تر گفته. یا اینکه بعد از خوندن مطلبی به‌وجد بیاید و بخوایید که بیشتر یا دقیق‌تر بدونید، اون‌موقع باید به یک کتاب قوی‌تر یا جامع‌تر رجوع کنید تا یادگیری‌تون رو کامل کنید. بنابراین من کتاب‌ها رو به سه دسته‌ی ابتدایی، مناسب و قوی تقسیم می‌کنم:

– کتاب‌‌های قوی و جامع:

1) Classical Mechanics (3rd Edition); Herbert Goldstein , Charles P. Poole Jr. , John L. Safko
2) Mechanics, Third Edition: Volume 1 (Course of Theoretical Physics S) L D Landau, E.M. Lifshitz

-کتاب‌های مناسب:

3) Classical Dynamics of Particles and Systems; Stephen T. Thornton , Jerry B. Marion
4) Classical Mechanics: Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics; Walter Greiner
5) Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions; David Morin

-کتاب ابتدایی:

6) Analytical Mechanics; Grant R. Fowles , George L. Cassiday

به نظر من خوبه که با کتاب «مریون» یا «گرینر» شروع کنید و هرزگاهی هم به «گلدستین» مراجعه کنید، همین طور مثال‌‌های زیاد کتاب «مورین»‌ رو دنبال کنید. در مورد دوره هم کورس آقای ساسکیند (دانشگاه استفورد) هست، از دستش ندید!

۳) فیزیک مدرن:

هم فال هست و هم تماشا! یک درس پر از داستان به‌همراه موضوعات جدید و موضوعات تازه که به عنوان یک مقدمه برای درس‌هایی که بعد از اون خواهید داشت، هست. شخصا کتاب شماره ۱ رو بیشتر پسندیدم و به نظرم از کتاب کرین بهتره!

1)University Physics with Modern Physics (13th Edition); Hugh D. Young, Roger A. Freedman
2) Modern Physics Hardcover –3ed edition, Kenneth S. Krane

ترجمه: چگونه یک فیزیکدان نظری خوب شویم؟!

اگر مایلید در فهم قوانین فیزیک نظری شرکت کنید (که اگر در آن موفق شوید کار جالبی است) چیزهای زیادی وجود دارد که باید بدانید! اول اینکه همه دوره های آموزشی لازم در دانشگاه‌ها ارائه می‌شوند (در موردش مطمئن باشید)‌، پس طبیعی است که در یک دانشگاه پذیرفته شوید و هرچه را که میتوانید فرا بگیرید. ولی اگر هنوز در مدرسه به سر می برید باید آن قصه های کودکانه ای که به اسم «علم» به شما تدریس می‌شود را فعلاً تحمل کنید! اگر سن و سالتان فراتر از دوران مدرسه هست وعلاقه ای هم به پیوستن به جو پرهیاهوی دانشجویی ندارید چه؟!

توفت ( Gerard ‘t Hooft) برنده نوبل فیزیک در سال ۱۹۹۹
(به همراه مارتینیوس ولتمن  برای مشخص کردن ساختار کوانتومی در برهمکنش الکتروضعیف)

این ترجمه برگرفته از اینجاست. لطفا به صفحه‌ی اصلی برای لینک‌های تازه‌تر سر بزنید!

اگر مایلید در فهم قوانین فیزیک نظری شرکت کنید (که اگر در آن موفق شوید کار جالبی است) چیزهای زیادی وجود دارد که باید بدانید! اول اینکه همه دوره های آموزشی لازم در دانشگاه‌ها ارائه می‌شوند (در موردش مطمئن باشید)‌، پس طبیعی است که در یک دانشگاه پذیرفته شوید و هرچه را که میتوانید فرا بگیرید. ولی اگر هنوز در مدرسه به سر می برید باید آن قصه های کودکانه ای که به اسم «علم» به شما تدریس می‌شود را فعلاً تحمل کنید! اگر سن و سالتان فراتر از دوران مدرسه هست وعلاقه ای هم به پیوستن به جو پرهیاهوی دانشجویی ندارید چه؟!

خب امروزه تمامی دانشی که لازم دارید را میتوانید از اینترنت به دست آورید! ولی مشکل این است که مطالب به دردنخور زیادی نیزدر اینترنت پیدا میشود! برای همین من در پایان این مطلب اسامی و موضوعات درسگفتارهای (lecture courses) لازم را لیست کرده ام. معمولا من سعی میکنم که چرخی در اینترنت بزنم و مطالب لازم که ترجیحاقابل دانلود هستند را گردآوری کنم. با وجود این، تبدیل شدن به یک فیزیکدان نظری خوب هزینه ای بیشتر از هزینه یک رایانه متصل به اینترنت، یک پرینتر و یک سری قلم و کاغذ ندارد. تک تک مطالب اشاره شده در لیست را باید بخوانید! بهترین کتاب‌، پر مساله ترین کتاب است! سعی کنید مسئله ها را حل کنید! به دنبال آن باشید که همه چیز را بفهمید. تلاش کنید به جایی برسید که بتوانید اشتاباهات چاپی و اشکالات کوچک را به راحتی اشتباهات بزرگ بیابید و به این فکر کنید که مطلب مورد نظر را چگونه میتواند با زیرکی و هوشمندی بیشتری بنویسید!

میتوانم از تجربه ی شخصی خودم برایتان بگویم.من شانس بزرگی از این بابت داشتم که معلمهای بسیار خوبی دوروبرم بوده‌اند ،کسانی که به افراد کمک میکردند تااز سرگردانی فرار کنند! و این در تمامی مسیر به من کمک کرد تا برنده جایزه نوبل شوم. ولی در آن زمان من اینترنت نداشتم! برای همین سعی میکنم تا مربی شما باشم (کار سختی است)! من مطمئنم که هرکسی میتواند یک فیزیکدان نظری خوب (از نوع بهترین ها،‌از نوع برندگان جایزه نوبل)شود فقط کافیست مقدار مشخصی هوش، علاقه و اراده داشته باشد!

فیزیک نظری مانند یک آسمان خراش است که پایه‌های محکمی در ریاضیات مقدماتی و مفاهیم فیزیک کلاسیک (قبل از قرن بیستم) دارد. فکر نکنید فیزیک قبل از قرن بیستم غیرضروری است چون ما هم‌اکنون اطلاعات بسیار بیشتری داریم، نه، درآن روزها شالدوه ی چیزهایی که الان از آن‌ها لذت میبریم بناشده است! سعی نکنید که آسمان خراشتان را قبل از اینکه ابتدا برای خودتان این مفاهیم را بازسازی کرده باشید بنا کنید. چند طبقه اولیه ی آسمان خراش شما شامل صورت گرایی های ریاضی است که به نظریه‌های فیزیک کلاسیک زیبایی خودشان را اهدا میکند. اگر میخواهید بالاتر روید به آن‌ها نیاز دارید. پس از آن به موضوعات لیست زیر احتیاج دارید. در آخر،‌ اگر شما به اندازه ی کافی شیفته آن هستید که مسائل فوق‌العاده گیج‌کننده ی فیزیک گرانشی منطبق را دنیای کوانتوم حل کنید باید تا آخر به مطالعه نسبیت عام، نظریه ابرریسمان، نظریه-ام، Calabi-Yau compactification  و … به پردازید. در حال حاضر این بالای آسمان خراش است نوک های دیگری از جمله تراکم بوز-آینشتاین، اثر کسری هال و چیزهای بیشتری نیز وجود دارند که برای برنده شدن جایزه نوبل خوب به نظر میرسند (حداقل سال‌های گذشته که این‌طور نشان داده است!)

و اما یک هشدار: حتی اگر شما به شدت باهوش باشید ممکن است جایی گیر کنید! سری به اینترنت بزنید. چیزهای بیشتر پیدا کنید و به من یافته هایتان را گزارش دهید!

اگر این مطلب به کسی که درحال آماده شدن برای شروع دانشگاه است مفید بود و یا اگر انگیزه کافی به کسی داد یا کسی را در راهش کمک کرد و مسیرش به علم را هموارتر ساخت آن وقت میپندارم که این سایت مفید بوده. پس لطفاً مرا در جریان بگذارید.

و اما لیست:

  • جدید: غیری از لیستی که در ادامه آمده، این منبع هم لیست خوبی معرفی کرده.

(لیست با ترتیب منطقی چیده شده، همه چیز قرار نیست که با این ترتیب انجام شود ولی سعی برآن بوده تا جوری چیده شود که تقریباً وابستگی موضوعات به یکدیگر را نشان دهد. برخی از موضوعات در سطح بالاتری نسبت به بقیه قرار می گیرند.)

  1. زبان

  2. ریاضیات مقدماتی

  3. مکانیک کلاسیک

  4. اپتیک

  5. ترمودینامیک و مکانیک آماری

  6. الکترونیک

  7. الکترومغناطیس

  8. مکانیک کوانتوم

  9. اتم ها و مولکول ها

  10. فیزیک حالت جامد

  11. فیزیک هسته ای

  12. فیزیک پلاسما

  13. ریاضیات پیشرفته

  14. نسبیت خاص

  15. مکانیک کوانتومی پیشرفته

  16. پدیدار شناسی

  17. نسبیت عام

  18. نظریه میدان کوانتومی (QFT)

  19. نظریه ابرریسمان