توی قسمت قبلی دیدیم که اگر هر تابع f رو داشته باشیم می‌تونیم برای اون تابع مجموعه‌ی ژولیای مربوط به اون رو پیدا کنیم که خب یکمی از کامپیوتر هم کمک گرفتیم. کار ما این بود که یک تابع رو بر می‌داشتیم شرایط اولیه‌ای (یک سری نقطه توی فضای مختلطی (موهومی)) بهش می‌دادیم، مقدار تابع رو به ازای اون شرایط اولیه به دست می‌اوردیم و همین طور دوباره این مقدار رو به تابع می‌دادیم و این روند رو ادامه میدادیم تا ببینیم آیا شرایط اولیه‌ای که انتخاب کردیم به بی‌نهایت میل میکنه یا نه، اگر نمی‌کرد اون موقع مجموعه‌ی ژولیا اون تابع رو تشکیل میداد.  همین طور گفتیم که از بین همه‌ی توابع، توابعی که به صورت چندجمله‌ای های مربعی می‌باشند بیشتر مشهور هستند؛ توابعی با فورم: $$f(z)=z^2 +c$$توی این پست در مورد علت این شهرت توضیح میدم؛

تابع ${f(z)=z^2 +c}$ رو در نظر بگیرید؛ فراموش نکنید که c می‌تونه هر عددی – ولی حتما مختلط – باشه. حالا اگر با نقطه‌ی z=0 شروع کنیم، به این دنباله‌ می‌رسیم:

  $$  c , c² + c , (c²+c)² + c , ((c²+c)²+c)² + c , (((c²+c)²+c)²+c)² + c , …$$

اگر این دنباله واگرا نباشه، یعنی اگر c هایی انتخاب کنیم که در نهایت این دنباله به بی‌نهایت نرسه اون موقع مجموعه‌ی ژولیایی که توسط این cها برای تابع  ${f(z)=z^2 +c}$ ساخته میشه، «همبند» هست. احتمالای توی نظریه‌ی گراف با مفهموم همبند بودن آشنا شدین (معمولا سال آخر دبیرستان بچه‌های رشته‌ی ریاضی فیزیک نظریه‌ی گراف رو توی درس ریاضیات گسسته می‌خونند!) اگر نشدین، همبند بودن یک جور مفهموم متصل بودن رو داره، وقتی یک گراف یا شبکه‌ای همبند باشه اونموقع اگر شما از یک نقطه‌ای شروع به حرکت کردید، می‌تونید به هر نقطه‌ای که دلتون می‌خواد برید وبدون اینکه جایی مسیرتون قطع بشه. خلاصه این که اگر دنباله‌ای که ساختیم واگرا

مجموعه مندلبرو

نشد اون موقع ما یک مجموعه‌ی ژولیای همبند می‌تونیم بسازیم. (اثبات این مطلب فراتر از حوصله‌ی ماست!) خب حالا این مجموعه‌ی ژولیای همبند به چه دردی می‌خوره آیا؟! اجازه بدید تا یک مجموعه‌ی جدید معرفی کنیم به نام «مجموعه‌ی مندلبرو».

«مجموعه مندلبرو شامل نقاطی (c) از صفحه‌ی مختلط هست که به ازای آن ها مجموعه‌ی ژولیا تابع ${f(z)=z^2 +c}$ همبند باشد.»

شما می‌تونید یک برنامه بنویسید تا براتون مقادیری که C ممکنه بگیره رو پیدا کنه ولی یک نکته‌ای هست و اون اینه که همه‌ی مجموعه‌های ژولیا همبند شامل نقطه‌ی 0 = 0+ z= 0i  هستند! بنابراین «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» مبدا برای این دسته از مجموعه ها، همیشه باید یک مقدار کران‌دار باشه و به بی‌نهایت میل نکنه، پس نقطه‌ی صفر در همه‌ی مجموعه‌های ژولیای همبند صدق میکنه. به طور مشابه در همه‌ی مجموعه‌های ژولیای ناهمبند نقطه‌ی صفر وجود نداره! خب این یک سنگ محکی شد برای تشخیص اینکه آیا نقطه c دلخواهی عضو مجموعه‌ی مندلبرو هست یا نه! یعنی کافیه تا ما «اربیت» یا «چرخش» یا «تکرار» نقطه‌ی z=0 رو برای تابع  ${f(z)=z^2 +c}$ بررسی کنیم، اگر مقادیری که به دست میاند (همون «اربیت» یا «چرخش») کران‌دار باشند اون موقع اون c مورد نظر ما عضو مجموعه مندلبرو هست ولی اگر به بی‌نهایت میل کنه اون‌موقع اون c دیگه عضو مجموعه مندلبرو نیست! شرمنده 😀

مندلبرو در حال کار در IBM

مجموعه‌ی مندلبرو یکی از موضوعات دینامیک مختلطه که برای اولین بار ایده‌ش اوایل قرن بیستم توسط ریاضی‌دانان فرانسوی بهنام «فاتو» و«ژولیا» مطرح شد. اون موقع‌ها هنوز کامپیوتر زیاد رونق نداشت برای همین مثلا فاتو نتونست شهود و تصویر خوبی از این مجموعه ارائه بده. تا اینکه مندلبرو اول مارس ۱۹۸۰(اواخر قرن بیستم!) به لطف کامپیوترهای شرکت IBM تونست این کار رو انجام بده و بعدش هم این موضوع رو گسترش زیادی داد. آدم‌های زیادی بعد از مندلبرو روی این موضوع کار کردند ولی به خاطر خدمات مندلبرو یا به احترام مندلبرو، اسم این مجوعه رو «مجموعه مندلبرو» گذاشتند!

این مجموعه در حقیقت یک فرکتال هست با مرز بسیار بسیار پیچیده، جوری که شیشیکورا ثابت کرد (۱۹۹۸) که بعد این مرز ۲ هست! این فرکتال برخلاف مجموعه‌ی ژولیا کاملا خودمتشابه نیست و اگر روی شکل زوم کنید این رو به راحتی متوجه خواهید شد!

همین طور این مجموعه توی صفحه‌ی مختلط، توی دیسکی یه شعاع ۲ قرار میگیره و  تقاطع اون با محور حقیقی بازه [۰/۲۵, ۲-] هست. حدودا دو سال پیش مساحت مجموعه مندلبرو 0.0000000028 ± 1.5065918849 واحدمربع تخمین زده شد! پیشنهاد می‌کنم حتما به صفحه‌ی ویکی پدیای این مجوعه عجیب و غریب  سر بزنید، مخصوصا اگر دوست دارید که الگوریتم‌هایی که برای تولید این دسته از فرکتال‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند چه جوری هستند!

برای مطالعه، پیشنهاد میکنم کتاب زیر رو بخونید، خیلی خوب توضیح داده هم فرکتال‌ها رو هم آشوب رو!

David P. Feldman, Chaos and Fractals, An Elementary Introduction, Oxford University

به عنوان حسن ختام، یک جمله از مندلبرو رو نقل میکنم (از سخنرانی تد ۲۰۱۰) : «خب، اجازه دهید تمام کنم. این شکل در اینجا تنها از یک تمرین در ریاضیات محض بوجود آمد. ظهور شگفتی های بی پایان از قواعد ساده، که بی نهایت تکرار می شوند.»

در قسمت‌های قبل در مورد فرکتال‌ها و ویژگی‌هاشون نوشتم. این قسمت و قسمت بعد در مورد مجموعه‌ای از اعداد که اشکال فرکتالی می‌سازند هست.

به عنوان مقدمه،‌ تابع y = x^2\, رو در نظر بگیرید. اگر به عنوان یک نقطه‌ی شروع x=۲ رو به تابع بدیم مقدار تابع میشه ۲ به توان ۲ یعنی ۴. حالا اگر باز این ۴ رو به تابع بدیم، جواب ۱۶ میشه و اگر این روند رو ادامه بدیم به عددهای بزرگتر می‌رسیم. همین طور اگر از نقطه‌ی x=-۳ شروع کنیم، به ۹ و بعد از اون به ۸۱ و مجددا به عددهای بزرگتری می‌رسیم.

نقطه‌ی شروع:۲          ۲ => ۴ =>  ۱۶=>۲۵۶ => … => بی‌نهایت

نقطه‌ی شروع: ۳-         ۳- => ۹ => ۸۱=>۶۵۶۱ => … => بی‌نهایت

هر دوی این نقاط بعد از تکرارهای پی در پی به بی‌نهایت نزدیک میشند. اما اگر این بار یک نقطه از بازه‌ی [۱،۱-] انتخاب کنیم چی؟ مثلا اگر ۰/۵ رو انتخاب کنیم به توان دو که برسه میشه ۲۵/. بعدش ۶۲۵./. و همین طور عددهای بعدی کوچیک و کوچیکتر میشند و به صفر میل کنند.

نقطه‌ی شروع: ۵/.          ۵/. => ۲۵/. => ۶۲۵./.=> ۰۰۳۹۰۶۲۵/. => … => صفر

نقطه‌ی شروع:۱ یا ۱-          ۱یا ۱- => ۱ =>  ۱=>۱ => … => ۱

در حقیقیت هر عددی که انتخاب کنیم در نهایت (پس از تکرارهای پی در پی) سرانجام و عاقبتش دو حالت داره؛ یا خیلی رشد میکنه و به یک حد بی کران می‌رسه یا اینکه در آخر به یک مقدار ثابت همگرا میشه کهj1 برای این تابع اعداد ۱ و ۱- به ۱ همگرا میشند و همه‌ی اعداد حقیقی بین ۱- و ۱ به صفر. اعداد خارج این بازه هم که اصلا همگرا نمیشند!

خب بعد از این مقدمه، به یک تعریف می‌رسیم: «به مجموعه‌ای از شرایط اولیه که پس از تکرارهای پی‌در‌پی توسط یک تابع به بی‌نهایت میل نمی‌کنند، مجموعه‌ی ژولیای آن تابع می‌گویند.» مثلا برای تابع y = x^2\,  شرایط اولیه (اعداد) عضو بازه‌ی [۱،۱-] پس از تکرارهای پی‌در‌پی به بی‌نهایت نمی‌رسند ولی برای خارج از این بازه این طور نیست و همون جوری که دیدید بعد از تکرارهای پی‌در‌پی به بی‌نهایت می‌رسند. در حقیقت به مجموعه [۱،۱-]=S یک «مجموعه‌ی توپور ژولیا» میگند و منظور از مجموعه ژولیا مرز بین دو مجموعه است؛مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بی‌نهایت می‌رسند و مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بی‌نهایت نمی‌رسند! یعنی برای تابع  y = x^2\, مجموعه ژولیا {J ={-1,1 است که شامل دو عدد ۱+ و ۱- می‌باشد! به عبارت دیگه اگر روی محور xها بخواییم مشخص کنیم فقط دو تا نقطه به عنوان مجموعه‌ی ژولیا تابع y = x^2\,  مشخص میشه؛ x=1 و x= -1!

خب تا اینجا زیاد جذاب نبود و فقط یک تعریف رو مطرح کردیم! حالا برای ایجاد جذابیت بیایید و وارد اعداد موهومی بشیم. تفاوت اعداد حقیقی و موهومی در اینه که اعداد حقیقی روی یک خط هستند ولی اعداد موهومی روی یک صفحه قرار می‌گیرند. هر عدد موهومی به صورت z=a+ib نوشته میشه که a, b هر دو اعداد حقیقی و i واحد موهومی ساز هست جوری که طبق تعریف: i2 = −1 ! اگر با این دسته از اعداد هنوز آشنایی ندارید، سخت نگیرید، ایده‌ی آسونیه، می‌تونید نگاه کنید به صفحه ویکی‌پدیا یا اینکه اگر اشتیاق بیشتری به یادگیری دارید بهتون پیشنهاد میکنم کتاب «متغیرهای موهومی و کاربردها» نوشته‌ی جیمز براون و روئل چرچیل رو یه نگاهی بندازید! الان همون تابع قبلی رو در فضای موهومی می‌نویسیم: j۲

در مورد این تابع، مجموعه‌ی ژولیا، مجموعه نقاطی هست که روی دایره‌ای به شعاع ۱ و به j۳مرکز مبدا مختصات قرار می‌گیرند. یعنی مجموعه نقاط روی دایره و درون دایره r=1 مجموعه‌ی توپور ژولیا رو می‌سازند. این به خاطر اینه که اعداد موهومی روی صفحه مشخص می‌شند. (شما این تعبیر رو با نوشتن صورت قطبی اعداد موهومی بهترین می‌تونید ببینید؛ یادتون باشه که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند تا بعد از تکرارهای پی‌در‌پی، اعداد حاصل از به توان ۲ رسوندن به بی‌نهایت میل نکنند! صرفا جهت یادآوری عرض کنم که برای به توان رسوندن یک عدد موهومی z=a+ib مثل به توان رسوندن چند جمله‌ای ها عمل می‌کنیم ولی به این نکته توجه می‌کنیم که طبق تعریف i2 = −1 !)

خب یکمی جالب‌تر شد، از دو نقطه‌ی x=1 و x= -1 توی قسمت قبل این دفعه به یک دایره رسیدیم در فضای j۵موهومی. برای جذابیت بیشتر بیایید و این دفعه تابع رو تغییر بدیم و از این تابع استفاده کنیم و ببینیم که چی میشه! یعنی اون نقاطی رو پیدا کنیم که بعد از تکرارهای متوالی توسط این تابع به بی‌نهایت میل نکنند. راستش این دفعه به سادگی دفعه‌ی قبل نیست که بتونیم سریع کل اون اعداد رو حدس بزنیم و مثلا بگیم که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند. خب بیایید و چند تا عدد موهومی رو تست کنیم، روش آزمون و خطا؛
چندتا عدد راحت مثل 0 و i و 1+i و یک عدد یکمی ناراحت ( 😀 ) مثل 0.8 + 0.2i

j۶ j۷ j۸ 

می‌‌بینیم که صفر به طور متناوب به ۱- و صفر میرسه ولیj۹ در مورد بقیه اعداد ما، این طوری نیست و مثلا در مورد 1+i همین طور زیاد و زیاد تر میشه.

خب بقیه اعداد رو باید همین جوری با آزمون و خطا پیدا کرد راستش و خب این قدری رنج آوره! اشکال نداره ما خودمون این کارو انجام نمی‌دیم و میذاریمj۱۱ کامپیوتر بقیه اعداد رو پیدا کنه! من تصویری از نقاطی که مشخص شده رو براتون می‌‌‌ذارم تا ببینید که این دفعه شکل دیگه دایره نمیشه و یه شکل عجیب درست میشه! فکر نمی‌کنم که این شکل رو می‌شد به این راحتی‌ها حدس زد! برای بهتر دیده شدن تصویر، رزولوشنش رو میشه بیشتر کرد،یعنی تعداد نقاط رو بیشتری رو امتحان کرد:

«این یک شکل خودمتشابه هست!»

اجازه بدید تا یک قسمت از شکل که مشخص کردم رو بزرگترش کنم؛ مثل اینکه سر و کله‌ی فرکتال  ها دوبارهj۱۲ پیدا شد!

از حالا به بعد هر تابعی که داشته باشیم رو می‌تونیم مجموعه‌ی ژولیا مربوط به اون رو پیدا کنیم.بین توابع، توابعی که به صورت چندجمله‌ای های مربعی هستند بیشتر معروف هستند!

$$ f(z)=z^2 +c ,$$  c:مقدار ثابت

حتما به صفحه‌ی ویکی‌پدیا مجموعه‌ی ژولیا سر بزنید و شکل‌های جالبی که توسط توابع مختلف ساخته شده رو ببینید. علت استفاده از رنگ هم اینه: بسته به این که نقاط با چه آهنگی رشد می‌کنند به اونها یک رنگ خاص اختصاص میدند، ممکنه یک عدد بعد از صد بار تکرار بیشتر از یک میلیون بشه و یک عدد بعد از هزار بار تکرار، این‌ها باید با هم یک فرقی به هر حال داشته باشند دیگه! به عنوان نمونه من چند تا از تصاویر رو میذارم:

مجموعه‌ی ژولیا برای c=-0.8+0.156i

مجموعه‌ی ژولیا برای c=-0.8+0.156i

مجموعه‌ی ژولیا با رنگ سفید مشخص شده.Continue reading

سلام

موضوعی که توی این پست به طور خلاصه میخواهیم ازش حرف بزنیم و اطلاعات کلی ای دربارش پیدا کنیم هولوگرام هاست که خب در بینش به تشابه کارکرد هولوگرام ها با مغز هم میپردازیم. احتمالا اگر کلمه ی هولوگرام رو تا به حال شنیدیم بیشتر و تنها ، ویژگی سه بعدی بودن اونها برامون گفته شده، توی این پست با دیگر خصوصیات جالب هولوگرام ها آشنا میشیم و در ضمن هم به معرفی کتابی که این پست تقریبا خلاصه ای از فصل اول اون کتابه میپردازیم. خب، پریبرام کسی بود که با جمع بندیه پژوهش هایی که از هولوگرام ها به دست اومده بود تونست به سوالی که براش پیش اومده بود پاسخ بده. معمایی که پریبرام را نخست به راه انداخت تا الگوی هولوگرافیک خودشو مطرح کند از این پرسش برخاست که خاطرات در مغز انسان کجا و چگونه ذخیره میشن. در آن دوران اکثر دانشمندان معتقد بودند که خاطرات در مغز انسان جایگاه ویژه ای دارن ، یعنی هر خاطره که شخص دارد همه دارنده ی جایگاه خاص در سلول های مغزند که انگرام نامیده میشن. در پی همین تفکر هم پن فیلد جراح مغز کانادایی شواهد متقاعد کننده ای عرضه کرد که  خاطرات خاص، جایگاه خاص و ویژه ای دارند. پن فیلد با جراحی روی مغز مبتلایان به صرع نقاط مختلف سلول های مغز آن ها را به وسیله ی شوک الکتریکی تحریک میکرد و با شگفتی دریافت که هرگاه ناحیه گیج گاه یکی از بیماران کاملا بیهوش خود را تحریک میکرد بیمار خاطرات وقایع گذشته ی زندگی خود را با جزییات کاملا واضح به یاد می آورد. مثلا پسر بچه ای صدای مادرش را در حال صحبت پای تلفن شنید و پس از چند شوک الکترود توانست تمامی مکالمه را از نو تکرار کند و … . حتی وقتی پن فیلد سعی کرد که آن ها را گمراه بکند و به آن ها بگوید که نقطه ای دیگر از مغز آن ها را تحریک کرده که در واقع نکرده بود همواره همان خاطره ی قبلی فراخوانده میشد و پن فیلد این چنین نتیجه گرفت که هر آن چه که تا به حال تجربه کرده ایم در مغز ما ثبت شده است. پریبرام دلیلی برای شک کردن به نظریه ی پن فیلد نداشت.اما این پژوهش های لاشلی بود که نحوه ی اندیشه ی او را به کل تغییر داد. کاری که لاشلی میکرد عبارت از این بود که به موش ها تعلیم میداد دست به اعمال گوناگون بزنند،مثل گذشتن از مارپیچ ها.بعد تکه های مختلفی از مغز موش ها را با عمل جراحی برمیداشت و دوباره به محک آزمایش میگذاشت. او آن قسمت از مغز موش ها را برمیداشت که حاوی خاطره ی گذشتن از مارپیچ است،وقتی این کار عملی شد با شگفتی دریافت که صرف نظر از این که کدام قسمت مغز برداشته شده خاطره ی آن ها هیچ گاه از بین نرفته است.  برای پریبرام تنها پاسخ ممکن این بود که خاطره ها مکان خاصی در مغز ندارند و به طور کلی در سراسر مغز پراکنده شده اند و این شده که خواندن مقاله ای در ساینتیفیک امریکن که به توصیف چگونگی ساخت نخستین هولوگرام میپرداخت پاسخ نهایی چگونگی کارکرد مغز را پیش پای او نهاد. از این جاست که ما وارد بحث هولوگرام ها و ویژگی های آن میشویم . شما برای این که سر از کار پریبرام درآورید و آشنایی بیشتری درباره ی ارتباط مغز و هولوگرام پیدا کنید میتونید به کتاب جهان هولوگرافیک مایکل تالبوت رجوع کنید و از خواندن آن لذت ببرید. اما هولوگرام؛ یکی از چیز هایی که هولوگرافی را ممکن میسازد پدیده ای است به نام تداخل. تداخل عبارت از نقشی ضربدری است که از دو یا سه موج نظیر امواج آب که در هم تداخل پیدا کرده حاصل می آید. هر نوع پدیده ی موج گونه می تواند یک طرح تداخلی ایجاد کند.نظیر امواج رادیو و نور. و از آن جا که اشعه ی لیزر پرتویی بسیار خالص و تکفام از نور است، برای ایجاد طرح تداخلی مناسب است. حالا وقتی یک اشعه ی لیزر به دو تابه ی مجزا تقسیم شود، هولوگرام به وجود می آید. اولین تابه با برخورد به شی که قرار است از آن عکس گرفته شود به عقب می جهد. سپس تابه ی دوم با انعکاس نور تابه ی اول برخورد میکند و حاصلش یک الگوی تداخلی است که روی قطعه ای فیلم ضبط میشود. به چشم بیننده ، تصویر توی فیلم به هیچ رو شبیه شی عکاسی شده نیست. Untitledبا تاباندن تابه ی سوم به فیلم، تصویری سه بعدی از شی اصلی در طرف دیگر فیلم ظاهر میشود.  به واقع میتوان دور و بر یک تصویر هولوگرافیک قدم زد و از زوایای مختلف بدان نگریست ، انگار به یک شی واقعی نگاه می کنیم. اما هرگاه بخواهید این تصویر را لمس کنید ، دست شما از میان آن گذر میکند و در می یابید که در واقع چیزی آن جا نیست. کیفیت سه بعدی بودن هولوگرام تنها وجه شاخص آن نیست.اگر تکه ای از فیلم هولوگرافیک تصویری از سیب را از میان دو نیمه کنیم و سپس اشعه ی لیزر بر آن بتابانیم ، هر نیمه حاوی تصویر کاملی از سیب خواهد بود. حتی اگر این نیمه را باز به دو نیمه و نیمه را دوباره به دو نیمه تقسیم کنیم، تصویر کاملی از سیب در هر یک از قسمت های کوچک فیلم به دست خواهد آمد (هر اندازه قسمت ها کوچکتر میشوند تصاویر محو تر خواهد شد). بر خلاف عکس های معمولی ، هر تکه کوچک قسمتی از فیلم هولوگرافیک حاوی کلیه ی اطلاعاتی است که در همه ی فیلم ضبط شده است. همین نکته بود که پریبرام را به هیجان آورد و فهمید که خاطرات در مغز به جای این که مکان مشخصی داشته باشند در مغز پراکنده اند. اگر هر بخش تکه ای فیلم هولوگرافیک حاوی تمام اطلاعات لازم جهت ساختن تصویر کامل آن باشد، پس به نظر ممکن می آید که هر بخش از مغز نیز حاوی تمام اطلاعات لازم جهت فراخواندن همه ی خاطره باشند. بخش شاید جذاب تر هولوگرام ، بررسی ویژگی های آن و شباهت کارایی مغز و هولوگرام است که حالا به بررسی آنها میپردازیم.

به نظرتون مغز چه جوری میتونه این همه اطلاعات را در همچین فضای کوچکی ذخیره بکنه؟خب جالبه اینو بدونید که در طول عمر هر فرد معمولی مغز او چیزی حدود 280000000000000000000 یا 20^10*2.8 تکه اطلاعات ذخیره میکند.هولوگرام هم از قابلیت حیرت انگیزی برای ذخیره ی اطلاعات برخورداره. با تغییر زاویه ای که از برخورد دو موج لیزری روی فیلم عکاسی به دست آمده میتوان تصاویر گوناگون بسیاری روی همان سطح ضبط کرد. هر تصویر ضبط شده را میتوان با نور دادن به فیلم توسط اشعه لیزری و از همان زاویه ای که دو موج قبلی ساطع شده اند،دوباره به دست آورد.یک مربع یک اینچی فیلم قادر است همان قدر اطلاعات ذخیره کند که در پنجاه انجیل ذخیره شده است! البته من نمیدونم 50 انجیل حاوی چه قد اطلاعاته و بهتر بود در مقایسه با اطلاعات ذخیره شده در مغز میگفت ولی خب احتمالا خیلی زیاده…

یک ویژگی دیگه…ایده ی هولوگرافیک مثال دیگری است از گرایشهای تداعی کننده ی خاطره. اول نور یک اشعه ی لیزر را در نظر بگیریم که به دو شی همزمان تابیده و باز میگردد، مثلا به یک صندلی راحتی و یک یپپ. سپس میگذاریم نوری  که از دو شی مذکور بازمیگردند با هم تلاقی کنند، و حاصل آن را روی فیلم ضبط میکنیم.سپس هرگاه به صندلی راحتی توسط اشعه ی لیزر نور بتابانیم و نور انعکاس یافته را از داخل فیلم بگذرانیم ، یک تصویر سه بعدی پیپ نمایان میشود ، و بر عکس.هرگاه همین کار را با پیپ انجام دهیم ، تصویر هولوگرافیک صندلی راحتی پدیدار خواهد شد. همین ویژگی در مغز مشابه فرآیندی است که بعضی اشیا ، از گذشته ی ما خاطرات خاصی را برمی انگیزانند.

ویژگی بعدی ای که راجع بش میخونیم هولوگرافی تشخیصه.در هولوگرافی تشخیص تصویر هولوگرافیک از یک شی به همان شیوه ی معمول ضبط میشود، جز آن که اشعه ی لیزر را به آینه ی خاصی که آینه ی متمرکز کننده نام دارد می تابانند و سپس نور منعکس شده را به سطح فیلم ظاهر نشده می تابانند. اگر یک شی دیگر را که با شی اول مشابه، ولی نه کاملا همسان است زیر اشعه ی لیزر قرار میدهیم و نور منعکس شده از آینه را به فیلم بتابانیم. پس از این که فیلم ظاهر شد نقطه ی روشنی روی آن پدیدار میشود.هر چه شباهت میان شی اول و شی دوم بیشتر باشد نقطه ی نورانی روشن تر و درخشان تر میشود. اگر دو شی مذکور هیچ شباهتی به هم نداشته باشند، هیچ نقطه ی نورانی ای پدیدار نخواهد شد.با قرار دادن یک فتوسل حساس به نور در پشت فیلم هولوگرافیک، میتوان در واقع از این مجموعه به عنوان یک ساز و کار مکانیکی تشخیص بهره برد که در مغز هم شناسایی چهره های آشنا به همین شکل است.

تکنیک مشابهی که هولوگرافی تداخلی نام دارد هم میتواند توضیح دهد که چگونه میتوان مشخصات آشنا و نا آشنای یک تصویر، مثل چهره ی کسی را که سالهاست ندیده ایم تشخیص داد. در این تکنیک شیئی را از میان تکه ای فیلم هولوگرافیک که حاوی تصویر خود شی است میبینیم.حال اگر هر یک از مشخصات شی پس از آنکه تصویرش ضبط شد تغییر کند، نور منعکس شده نیز تغییر خواهد کرد.کسی که به فیلم نگاه میکند بی درنگ در میابد که شی چگونه عوض شده یا اصلا عوض نشده است.در این تکنیک کار چنان حساس است که حتی فشار انگشت روی سنگ یا آجر هم بلافاصله نشان داده میشود. امروزه این تکنیک کاربرد عملی پیدا کرده و در صنعت آزمایش مواد مختلف به کار میرود.

این برخی از کاربرد های هولوگرام ها بود که خب برای  بیشتر دونستن دربارش دوباره شما رو به خوندن کتاب جهان هولوگرافیک دعوت میکنم…

حالا کمی از زبان ریاضی هولوگرام میگیم و این موضوع رو تمام میکنیم. در حالی که نظریه های دنیس گابور( که از برندگان جایزه ی نوبل هست) که باعث تحول و گسترش تئوری هولوگرام شده بود نخستین بار توسط خود او صورت بندی و بر شمرده شد، در اواخر دهه ی شصت(میلادی) از نظریه پریبرام حتی خیلی بیشتر از ایده های گابور پشتیبانی شد.وقتی گابور به ایده ی هولوگرافیک اندیشید ، کاری به اشعه ی لیزر نداشت.هدفش بیشتر ایجاد تحول در میکروسکوپ الکترونی بود.رویکرد او ریاضی وار بود و ریاضیاتی که به کار برد نوعی حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که ژان فوریه ابداع کرده بود.به طور خلاصه آن چه که فوریه پرورانده بود نوعی روش ریاضی وار بود جهت تبدیل هرگونه طرح و الگویی هر چند پیچیده به زبان امواج ساده.در عین حال این را هم نشان داد که که این اشکال موج گونه را چگونه میتوان به همان شکل اولیه برگرداند.معادله ای که این فرآیند را نشان میدهد به نام مبدل های فوریه معروف است. به کمک مبدل های فوریه، گابور توانست تصویر شی را در فضای تار و مه آلود الگوهای تداخلی روی تکه ای فیلم هولوگرافیک ضبط کند.سپس سعی کرد به کمک آن ها راهی بیابد که که دوباره همان الگوهای تداخلی را به تصویر شی اولیه بازگرداند.

Untitled2حالا که گریزی به زبان موج گونه ی فوریه ی زدیم بد نیست از یک کاربرد جالب فوریه یاد کنیم مبنی بر این که حتی حرکات جسمانی ما هم در مغز ما با همان زبان موج گونه ی فوریه حک شده است.نیکلای برنشتاین چند داوطلب را لباس تنگ سیاه پوشاند و در آرنچ ها و زانو های آن ها و سایر مفاصلشان نقاط سفیدی گذاشت. سپس آنها را رو به روی زمینه ای سیاه قرار داد و از آن ها در حال فعالیت های گوناگون جسمانی مثل رقصیدن ، راه رفتن ، جهیدن ، و تایپ کردن فیلم گرفت.وقتی فیلم را ظاهر کرد ، دریافت که تنها نقاط سفیدی پدیدار بودند که به بالا و پایین و چپ و راست در جهات گوناگون و در هم و بر هم حرکت میکردند.او جهت بهره بری بیشتر از کشفیاتش ، خطوط گوناگونی را که از نقاط سفید پدید آمده بود تجزیه و تحلیل کرد و همه را به یک زبان موج گونه تبدیل نمود. و با imagesکمال تعجب دریافت که اشکال موج گونه حاوی الگو های پنهانی هستند که که به او اجازه میدهند حرکات بعدی آزمون شونده ها را تا حد یک اینچ پیش بینی کند!

مطلب ما همین جا به پایان میرسه!

تصویر سمت راست هم کتاب جهان هولوگرافیک هست که اگر از دونستن این مطالب لذت بردین شما رو به خوندن این کتاب که ترجمه ی بسیارخوب و روانی هم داره دعوت میکنم…

وقتی توی سینما نشستین و از دیدن فیلم لذت میبرید قطعا به نور فکر نمی‌‌‌کنید، یا وقتی زیر نور خورشید می‌ایستین و گرم می‌شوید هم شاید به نور فکر نمی‌‌‌کنید، وقتی شفق قطبی را نگاه می‌کنید و مبهوت می‌شوید احتمالا باز هم به نور فکر نمی‌‌‌کنید، اینکه بعد از یک روز زیبای بارانی رنگین کمان را در آسمان می‌بینید و کلی ذوق می‌کنید و یاد فانتزی‌های بچگانتون می‌افتین باز هم نور اهمیتی ندارد، یا حتی وقتی برق خانه یتان برای چند دقیقه میرود و به نور شمع خیره می‌شوید باز هم شاید نور ذهنتان را درگیر نمی‌کند. نوری که از شروع خلقت تا به امروز بوده است.

در دوران مدرسه کمی با نور آشنا می‌شویم و در کتاب علوم راجع به آن می‌خواندیم: (( بازتاب نور از اجسام به چشم ما باعث می‌شود تا ما اجسام را ببینیم)). اصلا  آیا می‌توانیم خود نور را ببینیم؟ نور چیست؟ چگونه به وجود می‌آید؟ یا به قول انیشتین آیا می‌شود سوار نور شویم و از آن سواری بگیریم؟

در قرن 17 مردم تصویر مبهمی از ماهیت نور داشتند که در سال 1678 هویگنس نظریه ی موجی بودن نور را F3ارایه داد و کمی آن تصویر مبهم را مرتب کرد.نظریه ی هویگنس یک نظریه ی هندسی بود : ((تمامی نقاط جبهه ی موج نور را می‌توانیم به عنوان چشمه ی نقطه ای در نظر بگیریم که جبهه ی موج ثانویه کروی منتشر می‌کند. جبهه ی بعدی موج در هر زمانی از مماس این جبهه موج های ثانویه کروی به وجود می‌آید)). نظریه ی هویگنس به قدری خوب و قوی بوده که امروزه نیز در توصیف برخی از پدیده ها استفاده می‌شود. البته در آن زمان نیوتون بنا بر دلایل و توجیهات علمی که ارایه کرد آن نظریه را نپذیرفت. در سال 1704 نیوتون در کتاب اپتیکس خودش سوال می‌کند: آیا پرتوی نور اجرام بسیار کوچکی نیستند که از مواد درخشنده گسیل می‌شوند؟. یا در جای دیگر می‌پرسد: آیا اجسام در یک فاصله بر نور اثر ندارند و اثر آن ها نیست که پرتوی نور را خم می‌کند و چنین نیست که در کمترین فاصله قویترین اثر رادارد؟. مشخص می‌شود که نیوتون یک خاصیت ذره ای برای نور قایل بوده ولی هیچ مشاهده ای بر این حرف خود نداشته و آن ها را به عنوان سوال در کتاب خود مطرح می‌کند. البته نیوتون برای توصیف و توجیه حلقه های نیوتون ( که بعدا با آن آشنا می‌شویم) مجبور می‌شود از خاصیتی شبه موجی استفاده می‌کند.

هنوز مردم جوابی برای سوال های نیوتون وخاصیت ذره ای جوابی پیدا نکرده بودند که در سال 1801 یانگ در آزمایش دو شکافی خود اثبات کرد که نور موج است. در این آزمایش یانگ نشان داد که نور مانند امواج آب و تمامی امواج دیگر تداخل می‌کند. این آزمایش به اینگونه است که باریکه ای از نور سفید را از دو شکاف بسیار ریز رد می‌کنیم و پرده ای را در فاصله ای که از مقیاس دو شکاف بسایر بسیار بزرگتر است را آن طرف دو شکاف قرار می‌دهیم. وقتی پرتوهای دو شکاف روی پرده می‌افتد چند دسته نوار های تاریک روشن روی پرده مشاهده می‌کنیم که ناشی از تداخل پرتوهای نور دو شکاف با یکدیگر است. اگر یکی از پرتوهای فرودی راهی به اندازه ی نصف طول موج را طی کرده باشد تداخل مخرب است و آنجا تاریک می‌شود و اگر هر دو پرتو برای رسیده به پرده راه یکسانی را عبور کرده باشند ، مانند نقطه ی عمود منصف بین دو شکاف روی پرده، تداخل سازنده است و ما آنجا را کاملا روشن که دو برابر شدت نور هر شکاف است را  میبینیم.

آزمایش یانگ باعث شد تا 75 سال نظریه ی ذره ای بودن نور فراموش شود تا در سال 1905 انیشتین نشان دادFigure_28_03_03a که نور خاصیت ذره ای دارد. شاید مثال هالیدی شهود بهتری از ذره ای بودن به دستتان بدهد، پرداخت پول و معاملات پولی رایج در هر کشوری کوانتایزد(بسته بسته) است. مثلا در کشور ما کمترین پول موجود سکه های 25 تومانی است و ارزش بقیه ی سکه ها و اسکناس ها طبق ضرایب صحیح سکه ی 25 تومانی محدود می‌شود. پس فرم پولی ما به صورت (n ×25 ) در می‌اید که n عدد مثبت و صحیح است بنابر این ما هیچوقت 85 تومان نداریم چرا که n برابر 3.4 می‌شود پس نمی‌توانیم همچین پولی داشته باشیم. خاصیت ذره ای نور هم همینگونه است کوچکترین بسته ی نور که از تابش الکترومغناطیسی به وجود می‌آید را فوتون (همان 25 تومان) مینامیم.

انیشتین با آزمایش فوتوالکتریک خاصیت ذره ای نور را نشان داد و توانست برایش فرمولبندی تعریف کند که موجب شد تا نوبل فیزیک 1921 را ببرد. این پدیده به اینگونه است که اگر پرتوی نوری را به لایه‌ای فلز (مثلا پتاسیم) بتابانیم الکترون از آن لایه ی فلزی کنده می‌شود که هر الکترون جدا شده توسط نور مقدار معینی به اندازه ی انرژی کوانتیزد آن نور (فوتون) انرژی دارد. میبینیم که در اینجا نور مانند موج عمل نمیکند بلکه ماننده بسنه هایی از انرژی میماند که هر کدام انرژی خود را به الکترون های فلز منتقل می‌کنند.

پس نور خاصیت ذره ای دارد. حال سوالی که پیش می‌آید آن است که بالاخره نور موج است یا ذره؟ این سوال 170450_46502_68را امروزه اینگونه پاسخ میدهیم که نور ماهیتی موجی- ذره‌ای دارد، یعنی هم خاصیت موجی و هم خاصیت ذره‌ای دارد.

دنیای نور دنیایی عجیب است. خاص است اما ساده نیست. در بحث های بعد مباحث راجع به نور را ان‌شاءالله ادامه می‌دهیم.

«حالا، اینجا چیز دیگری است که نسبتا جالب است. یکی از مخرب ترین رویدادها در تاریخ ریاضیات، که توسط بسیاری از مردم درک نشده، در حدود ۱۳۰ سال پیش رخ داده است، ۱۴۵سال پیش. ریاضیدانان شروع به خلق اشکالی که وجود نداشتند کردند. ریاضیدانان شروع به خودستایی کردند به حد مطلقا شگفت انگیزی که انسان بتواند چیزهایی را اختراع کند که طبیعت نمی دانست. به طور خاص، توانست چیزهایی اختراع کند مانند یک منحنی که صفحه را پر می کند. یک منحنی، منحنی است، یک صفحه، صفحه است، و این دو ترکیب نخواهند شد. خب، آنها ترکیب می شوند! مردی به نام پیانو چنین منحنی هایی تعریف کرد، و آن موضوع فوق العاده مورد علاقه واقع شد. آن موضوع بسیار مهم، اما بیشتر جالب توجه بود به دلیل یک نوع شکاف، یک جدایی بین ریاضیات آمده از 181883_800x600واقعیت از یک طرف، و از طرف دیگر ریاضیات جدیدی که از ذهن ناب انسان آمده است. خب، من بسیار متاسف بودم برای تذکر اینکه ذهن ناب انسان در حقیقت، آنچه را برای یک مدت طولانی دیده شده بود بالاخره دیده است! و بنابراین من اینجا چیزی را معرفی می کنم، مجموعه ای از جریان های یک منحنی صفحه پر کن…» بنوآ مندلبرو (پدر هندسه‌ی فرکتالی) ، سخنرانی تد ۲۰۱۰

توی پست دوم فرکتال‌ها در مورد بعد (یا ناهمواری) غیرصحیح فرکتال‌ها توضیح دادم. مثلا دیدیم که بعد برف‌دانه‌ای که ساختیم ۱/۴۶ و بعد مثلث سیرپینسکی ۱/۵۸ به دست اومد. حالا فرض کنید که بعد از محاسبه بعد یک فرکتال، اون عدد دقیقا «۲» به دست بیاد! به نظرتون این چه معنی میده؟ اگر این اتفاق بیفته اون موقع فرکتال شما کل صفحه رو پر میکنه! یعنی به ازای هر نقطه از صفحه یک نقطه از فرکتال وجود داره. برای توضیح بیشتر اجازه بدید که وارد موضوع «خم‌های فضا (صفحه) پر کن بشم»:

خم‌های فضا پرکن:

خیلی از اوقات نیازه که مختصات فلان نقطه در فضا رو بدونیم. توی این جور مواقع،‌بسته به نوع مسئله، از دستگاه مختصاتی استفاده می‌کنیم که به کمک اون راحت‌تر بتونیم مختصات نقاط دلخواه رو مشخص کنیم. به عنوان مثال همه‌ی ما از دستگاه مختصات دکارتی (کارتزی) توی دبیرستان استفاده میکردم. دستگاهی که برای مشخص کردن هر نقطه از فضا کافی بود فاصله‌ی فضایی اون نقطه از مبدا (همون x, y, z) رو بدونیم. یا مثلا همه‌ی دانشجوهای فیزیک می‌دونند (یا باید بدونند!) زمانی که توی فضای ۳ بعدی با مسئله‌ی نیروی مرکزگرا مواجه میشند بهتره که از دستگاه مختصات کروی استفاده کنند. توی دستگاه کروی از دو تا زاویه و یک فاصله‌ی شعاعی استفاده میشه تا مختصات هر نقطه از فضا مشخص بشه. شاید رفتن از دستگاه دکارتی به کروی مسئله رو راحت‌تر کنه ولی چیزی که فرق نمی‌کنه اینه که برای توصیف هر نقطه در فضا چه در دستگاه دکارتی و چه در فضای کروی به ۳ تا پارامتر نیاز داریم و تعداد پارامترها تغییر نمی‌کنه! (اگر الان دارید به مختصات تعمیم یافته فکر می‌کنید اولا آفرین، ثانیا لطفا فعلا فراموشش کنید چون من میخوام یه چیز دیگه بگم!) حالا فرض کنید که یک خم با ابتدا و انتهای مشخص دارید. خم یک موجود یک بعدیه که توی یک فضای ۲ بعدی و یا بیشتر جا میشه و زیر مجموعه‌ای از اون فضاست. شما می‌تونید خمتون رو تقسیم بندی کنید (مثل خط کش). اگر نقطه‌ی ابتدایی خمتون رو مبدا در نظر بگیرید (انتخاب این نقطه اختیاری، هر نقطه‌ی دیگه‌ای رو میتونید در نظر بگیرید)، اون موقع مختصات (موقعیت)‌ هر نقطه‌ای از خم رو می‌تونید با استفاده از مبدا و تقسیم بندی که انجام دادید، داشته باشید! مثلا در فاصله ۳ سانتی متری نقطه‌ی A  و در فاصله‌ی ۲.۳۴ سانتی متری نقطه‌ی B قرار داره. این نقاط یکتا هستند، به عبارت دیگه توی یک فاصله‌ی مشخص فقط یک نقطه پیدا

میشه! کاری که انجام دادیم این بوده که هر نقطه از خم رو فقط با «یک» پارامتر مشخص کردیم که خیلی کار خوبیه ولی متاسفانه یه مشکلی هست و اون اینه که ما با این کار فقط مختصات نقاطی که روی خم مورد نظر ما هستند رو تونستیم با یک پارامتر مشخص کنیم و برای بیان مختصات سایر نقاط فضا مجددا به پارامترهای بیشتری نیاز داریم( 🙁 ).

اینجا بود که شخصی به نام پیانو (Giuseppe Peano) تصمیم گرفت که خمی بسازه که کل فضا رو پر کنه، اون موقع میشه مختصات هر نقطه از فضا رو فقط با یک پارامتر مشخص کرد و این یعنی عالی! سه مرحله از ساخت خم پیانو
راستش پیانو این ایده رو از کانتور ریاضیدان بزرگ آلمانی گرفته بود. چون که کانتور قبلا نشون داده بود که: «تعداد (بیشمار) نقاط در یک بازه‌ی بسته برابر با تعداد تقاط در هر فضا با بعد محدوده». این جوری شد که خم‌های فضا پر کن توسط پیانو ساخته شد و به خاطر همین به خم‌های که فضاهای ۲ بعدی (صفحه) رو پر میکنند معمولا میگند خم پیانو. یک سال بعد از مطرح کردن خم‌های فضا پر کن توسط پیانو، دیوید هیلبرت

خم هیلبرت، یک خم صفحه پرکن

خم هیلبرت، یک خم صفحه پرکن

خم‌های فضا پرکن مختلفی رو ارائه داد که فکر کنم این موضوع با کار هیلبرت کامل شد تقریبا! نکته این بود که ریاضی‌دان‌ها فکر میکردند چیزهایی ساختند که واقعا توی دنیا واقعی وجود ندارند و این از ذهن ناب بشر اومده. ولی همین جوری که مندلبرو گفت (ابتدای پست) ریاضی‌دان‌‌ها فقط چیزی رو دیده بودند که برای مدت‌ها‌ی طولانی در طبیعت دیده شده بود! به این صفحه نگاه کنید، فرکتال‌‌های مختلفی با بعد (ناهمواری)های مختلفی رو شامل میشه، از جمله اونهایی که بعدشون صحیح و فضا پر کن هستند!

 

 

 

فرکتال‌های تصادفی:

به برف‌دانه‌ی کخ برگردیم در قسمت اول. مطابق شکل چند مرحله از ساخت این برف‌دانه رو می‌بینیم. شیوه stepsساخت این فرکتال ابتدایی آسونه و قاعده هم داره! یعنی اینکه هر بلایی که سر یک ضلع بیاد سر بقیه اضلاع هم میاد و از اون مهم‌تر هر مرحله‌ای که برای ساخت پیش میریم از «یک» قاعده فقط پیروی میکنیم (اینکه هر پاره‌خط به ۳ قسمت مساوی تقسیم میشه، قسمت وسط دور ریخته میشه و دو قسمت هم اندازه با یکی از اون سه قسمت به شکل اضافه میشه.) در حقیقت ما با یک فرایند کاملا منظم، یک شکل عجیب (در نگاه اول!) رو می‌سازیم. در قسمت اول محیط و مساحت این فرکتال به راحتی حساب شد و همین طور با استفاده از رابطه‌ای که توی قسمت دوم برای محاسبه بعد (ناهمواری) ارائه شد، بعد این فرکتال log۴/log۳ = ۱/۲۶ به دست میاد! پس این یک فرکتال منظم هست. حالا اگر steps۲اینقدر منظم پیش نریم چه اتفاقی می‌افته؟ برای مثال اگر در مرحله‌ی اول که دو قسمت برابر رو اضافه میکنیم و یک مثلث جدید میسازیم سر مثلث رو به بالا باشه و برای مرحله‌ی بعد سرمثلث ها رو به پایین باشه و همین جوری یک در میون عوض بشه اون موقع شکل از این نظم خارج میشه و دیگه توی هر مرحله با یک قاعده سر و کار نداریم. میشه باز بی نظمی رو بیشتر کرد. این دفعه هر مرحله رو که میخوایم انجام بدیم سکه بندازیم مثلا، اگر شیر اومد سر مثلث رو به بالا باشه و اگر خط اومد سر مثلث رو به پایین. با این کار (که هر مرحله مطابق با یک قاعده‌ی تصادفی ما فرکتال رو میسازیم) در نهایت به یک فرکتال غیر ابتدایی می‌رسیم که دیگه واقعا ساده نیست، اسم این فرکتال، فرکتال تصادفیه!
فرکتال های تصادفی بیشتر به شکل‌هایی که توی طبیعت هستند نزدیکند تا فرکتال‌های غیر تصادفی. ولی خب یک سری پیچیدگی ها به این دسته از فرکتال‌ها به خاطر تصادفی

نمونه‌هایی از برف‌دانه‌ی تصادفی کخ

       نمونه‌هایی از برف‌دانه‌ی تصادفی کخ

بودنشون اضافه میشه که بررسی کامل اونها از حوصله شما و سواد من احتمالا خارجه و نیاز به نظریه‌های پیشرفته احتمالات داره. با این وجود فقط به چند نکته درباره‌ی این دسته از فرکتال‌ها اشاره می‌کنم؛

اول اینکه این‌دسته از فرکتال ها دیگه دقیقا خودمتشابه و قطعه های کوچیک‌تر دقیقا مثل کل شکل نیستند! با این وجود شباهت زیادی هنوز وجود داره. به همین خاطر میگند فرکتال‌های تصادفی، به طور آماری خودمتشابه هستند. حقیقت هم اینه که واقعا طبیعت رو باید آماری بررسی کرد، خوشبختانه یا متاسفانه!

از طرف دیگه به خاطر اینکه فرکتال‌های تصادفی به طور آماری خودمتشابه هستند دیگه محاسبه‌ی بعد (ناهمواری) برای این دسته از فرکتال‌ها به این راحتی ها نیست! بعد یک فرکتال غیر تصادفی با بعد همون فرکتال ولی با ساختار تصادفی ممکنه برابر یا نابرابر باشه. مثلا برف‌دانه‌ی کخ و برف‌دانه‌ی تصادفی کخ هر دو داری بعد log۴/log۳ = ۱/۲۶ هستند ولی لزوما در مورد بقیه فرکتال‌ها این برابری وجود نداره!

نکته: فرکتال‌های غیرمعمولی تصادفی نیستد!sir irregular

درسته که فرکتال‌های تصادفی شکل عجیب و غریبی دارند ولی هر فرکتالی که شکلش برای ما عجیب به نظر برسه لزوما تصادفی نیست؛ ممکنه با یک قاعده‌ی منظمی ساخته شده باشه که به نظر ما تصادفی برسه! کافیه که شکل تقارن خوبی نداشته باشه یا اینکه قاعده‌ی ساختش یکمی پیچیده باشه اون موقع به راحتی میشه گول خورد! پس مواظب باشید که گول ظاهر فرکتال‌ها رو نخورید 😀 مثلث و فرش سیرپینسیکی می‌تونند با یک شکل غیرعادی ظاهر بشند، درصورتی که با یک قاعده‌ی کلی ساخته شدند. هر چند که این‌ها تقارن خوبی ندارند ولی تصادفی نیستند!

 

 

بازی آشوب:

فرض کنید یک مثلث با رئوس A , B , C داریم. یک نقطه‌ی دلخواه داخل این مثلث انتخاب می‌کنیم و اسمش رو میذاریم نقطه‌ی 0. بعد تاس می‌ریزیم و بسته به این که عددی که اومدی چنده به طرف یکی از رئوس حرکت fhvdمیکنیم، جوری که مثلا اگر عدد ۱ یا۲  اومد به سمت راس A، اگر عدد ۳ یا ۴ اومد به سمت راس B و اگر ۵ یا ۶ اومد به طرف راس C حرکت می‌کنیم. فرض کنید که عدد تاس ۲ هست، پس به طرف راس A حرکت می‌کنیم و  بین نقطه‌ی 0 و راس A نقطه‌ی 1 رو مشخص می‌کنیم. (خط واصل نقطه‌ی 0 و راس A رو رسم می‌کنیم و وسط این پاره خط رو 1 نام گذاری می‌کنیم.) مجددا تاس می‌ریزیم و بسته به این که چه عددی بیاد دوباره مثل قسمت قبل به سمت راس مطلوب می‌ریم و بین اون راس و نقطه‌ی 1 رو 2 نام گذاری می‌کنیم. برای مثال اگر توی این مرحله عدد تاس ۵ باشه باید نقطه‌ی 1 رو به راس C وصل کنیم و وسط این پاره خط رو 2 نام گذاری کنیم. اگراین کار رو همین جوری ادامه بدیم نقاط مختلفی داخل مثلث ایجاد میشه که فعلا به ظاهر چیز به دردبخوری نیستند! ولی اگر این کار رو ۱۰۰ بار یا ۱۰۰۰ بار یا ۱۰۰۰۰۰ بار انجام بدیم به یک شکل آشنا میرسیم، به شکل نگاه کنید:

شکل حاصل پس از ۱۰۰ بار یا ۱۰۰۰ بار یا ۱۰۰۰۰۰ بار (چپ به راست)

شکل حاصل پس از  ۱۰۰۰۰۰بار                                      پس از  ۱۰۰۰ بار                                                        پس از ۱۰۰ بار

خب این فوق‌العاده جالبه! ما با استفاده از یک فرایند کاملا تصادفی (شانسی) به یک چیز کاملا مشخص رسیدیم! این برای شما عجیب نیست؟ ما کاملا الله بختکی تاس ریختیم و نقطه گذاشتیم و رسیدیم به مثلث سیرپینسکی! بازی آشوب اثبات تحلیلی خوبی داره که به نظرم گفتنش اینجا ممکنه حوصله‌تونو سر ببره!

تبدیل آفین

تبدیل آفین – حافظ توازی خطوط

بازی آشوب به ما نشون داد که یک سیستم دینامیکی تصادفی می‌تونه منجر به نتایج مشخصی بشه و به عبارت دیگه از دل یک فرایند کاملا نامنظم، نظم به وجود میاد! نکته‌ی قابل توجه اینه که اگر ما شانس (تاس ریختن و انتخاب تصادفی هر راس) رو کنار بذاریم و از یک فرایند مشخص استفاده کنیم، مثلا ABCABCABC…اون موقع دیگه به مثلث سیرپینسکی نمی‌رسیم! چیزی که خیلی جالب‌تره اینه که هرشکلی (چه فرکتالی چه غیرفرکتالی) رو میشه به کمک یک بازی آشوب یا یک بازی آشوب تعمیم یافته ساخت! توی بازی آشوب تعمیم یافته از تبدیلات آفین استفاده میشه. (تبدیلات آفین تبدیلاتی هستند که خطوط موازی هر شکل رو پس از تبدیل موازی نگه می‌دارند). هر حرکت توی بازی آشوب تعمیم یافته یک تبدیل آفینه و شما به کمک این بازی می‌تونید هر شکلی رو که دوست دارید بسازید! به همین سادگی، به همین خوشمزگی! مثلا با یک بازی آشوب تعیمیم یافته با و استفاده از چهارتا تبدیل آفین میشه یک سرخس ساخت!

این پست رو با اشاره به یک قضیه‌ به پایان می‌برم؛

قضیه‌ی کلاژ: «برای هر شکلی با هر هندسه‌ای می‌توان یک بازی آشوب ساخت که آن شکل را تولید کند.».سرخس، تولید شده با بازی آشوب

این قضیه (و بازی آشوب) پل بین بی‌نظمی و نظم هست. شما از هرج و مرج به نظم و از نظم می‌تونید به هرج و مرج برسید! از کاربردای دیگه‌ی این قضیه فشرده سازی تصاویره. فرض کنید که شما یک فایل تصویری حجیم رو می‌خوایید که برای کسی ایمیل کنید و اینترنت خوبی ندارید یا اینکه می‌خوایید از یک شبکه‌ی ضعیف ردش کنید؛ کافیه به جای تصویر، با استفاده از قضیه کلاژ، بازی آشوبی که اون رو تولید میکنه (چند خط کد که کامیپوتر براتون میسازه) بفرستید و شخصی که این بازی رو دریافت میکنه با اجرا کردنش می‌تونه به تصویر مطلوب برسه!

پیشنهاد میکنم فیلم «آشوب (۲۰۰۶)» رو ببینید! فیلم علمی نیست ولی توش در مورد بی‌نظمی و اینا حرف زده می‌شه که ممکنه براتون جالب باشه! به نقل از ویکی پدیا: «داستان درباره‌ی یک گروه سارق مسلح است که به بانکی حمله کرده و از حساب فردی سرقت می‌کنند. پلیسانی که به دنبال این افراد هستند عبارتند از یک مامور ابقا شده (زیرا سارقان بانک فقط چنین بازرس معلق شده‌ای را قبول دارند، با بازی جیسون استاتهام) و دستیارش که فرزند یک پلیس اسطوره‌ای است. دستیار متوجه می شود که سارقان به طور رمزی از نظریه آشوب حرف می‌زنند و با دقت بیشتری تمام مدارک را بررسی می‌کند تا به این نتیجه می‌رسد که باید به دنبال چه افراد سابق‌داری برود. او متوجه می‌شود هدف آنها سرقت یک میلیارد دلار پول بوده که از طریق ویروس‌های کامپیوتری دزدی شده است …»

متاسفانه کتاب خوندن توی کشور ما هنوز آمار خوبی نداره. علت های زیادی هم داره که نمی‌خوام اینجا در موردشون صحبت کنم. ولی یکی از چیزایی که هیچ وقت در مورد کتاب و کتاب خوندن ما در موردش نشنیدیم یا نخوندیم یا بهش فکر نکردیم اینه که کتاب می‌تونه یک وسیله سرگرم کننده و جذاب باشه! در حقیقت فرهنگ حاکم بر جامعه اینه که کتاب یک چیز پر از «آموزش» و «حکمت» و کتاب‌خون ها هم آدم های «روشن فکر» و مثلا خفنی هستند! واقعا این طور نیست، ما دچار سوءتفاهم شدیدی شدیم! این یک نگرش غلط به مقوله کتاب و کتاب‌خوندنه! ما همیشه قرار نیست از خوندن کتاب دانشمون زیاد بشه، گاهی از اوقات کتاب میتونه ما رو سرگرم کنه، برامون کلی ماجراهای تخیلی و به دور از واقعیت بگه، اشکمونو در بیاره، تپش قلبمون رو زیاد کنه و در نهایت هم، غیر از کلی کیف کردن و لذت بردن، هیچ چیزی به دانش ما اضافه نکنه! شخصا ترجیح میدم با خوندن یک کتاب بهم خوش بگذره تا با دیدن برنامه های تلویزیون یا بازی های ویدیوئی! پس شروع کنیم به کتاب خوندن، این دفعه به نیت خوش گذشتن و سرگرم شدن! (امتحان کنید!)

در مورد خودم، کتاب هایی که بیانگر زندگی افراد تاثیر گذار هستند رو دوست دارم. همین طور کتاب Challenger-320x450هایی که این جور آدمها بعد از یه عمر دست و پنجه نرم کردن با روزگار و کسب موفقیت هایی توی رشته و زمینه‌ی کاری خودشون، نوشتند. خیلی وقت پیش کتاب «سنگ فرش هر خیابان از طلاست» (ماجرای زندگی موسس شرکت دوو کره (کیم وو جونگ) به قلم خودش) رو خوندم و خوشم اومد! بعد از اون تصمیم گرفتم که از این سبک نوشته ها حداقل سالی یه دونه بخونم، چون هم فال هستند و هم تماشا! از طرفی خیلی وقته که سراغ فیزیک اومدم، برای همین سعی کردم کتابهایی که انتخاب میکنم معطوف به فیزیکدان ها و ریاضیدان ها باشه. کتاب «دنیایی که من می بینم» نوشته آینشتین رو خوندم جالب بود. یک سری کتاب دیگه هم هست که فیزیک‌دان ها نوشته باشند: «جز و کل» نوشته‌ی هایزنبرگ، «زندگی چیست؟» نوشته‌ی شرودینگر و … همین طور چند تا فیلم خوب هم پیدا کردم؛ یکیشون «ذهن زیبا» داستان زندگی جان نش ریاضیدان برنده نوبل اقتصاد بود. یکی هم «آینشتاین و ادینگتون» که ماجرای نسبیت رو به تصویر میکشید و آخری هم فیلم «فاجعه‌ی چلنجر» ماجرای انفجار شاتل چلنجر و بررسی اون فاجعه توسط ریچارد فاینمن بود! دیدن این سه تا فیلم رو به علم (به ويژه فیزیک) دوستان پیشنهاد میکنم.

SurelyYoureJokingMrFeynman
اخیرا کتاب «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» Surely You’re Joking, Mr. Feynman!”: Adventures of a Curious Character رو خوندم! فوق العاده بود! ماجرای زندگی فاینمن به روایت خودش! اطلاعی در مورد ترجمه‌ی کتاب ندارم ولی شنیدم که این کتاب با مشخصات: «م‍اج‍راج‍وئ‍ی‌ه‍ای‌ ف‍ی‍زی‍ک‌دان‌ ق‍رن‌ ب‍ی‍س‍ت‍م‌ ری‍چ‍ارد ف‍ای‍ن‌ م‍ن‌/ رال‍ف‌ گ‍ی‍ل‌ ت‍ون‌؛ م‍ت‍رج‍م‍ی‍ن‌ ت‍وران‍دخ‍ت‌ ت‍م‍دن‌ (م‍ال‍ک‍ی‌)، اردوان‌ م‍ال‍ک‍ی‌/ ‏مشخصات نشر: ت‍ه‍ران‌: ع‍ل‍م‌، ۱۳۸۲» خیلی وقت پیش ترجمه شده (من توی بازار ترجمه شده ش رو ندیدم تاحالا، اگه هم باشه احتمالا هرس شده!) شاید هم آقای محمدرضا بهاری این کتاب رو ترجمه کرده باشه!

فاینمن برنده جایزه نوبل فیزیک و همین طور جایزه های مهم دیگه ای هست و بیان اینکه فاینمن جزو ده فیزیکدان بزرگ کل تاریخه جفا نیست؛ اما چیزی که سبب شده تا فاینمن اینقدر محبوب بشه هیچ‌کدوم از این ها نیست! فاینمن جذاب و دوست داشتنی بود و هست چون که یک معلم فوق العاده بود و شخصیت جالبی داشت. درس گفتارهای فاینمن کماکان از بهترین دوره های فیزیکه! در مورد بقیه آثار فاینمن به صفحه‌ی ویکی پدیا فاینمن رجوع کنید!
آثار فاینمنکتاب «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» ماجرای زندگی فاینمن رو از دوران کودکی تا زمانی که جایزه نوبل رو می‌گیره شامل میشه (بقیه‌ی زندگی فاینمن توی کتاب «چه اهمیتی داره که مردم چی فکر میکنند؟» نوشته شده! اونم کتاب خوبیه، ولی به جذابیت این نیست!). «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» جزو اون دسته از کتاب‌هاییه که واقعا جذابه، جوری که شما همه‌ش دوست دارید ببینید بعدش چی میشه! قول میدم خوندن این کتاب حسابی هیجان زده تون کنه!Continue reading

کنث فالکونر (ریاضی دان) در مورد مفهوم فرکتال ها میگوید:

«به مفهوم فرکتال ها باید همان جوری نگریست که یک زیست شناس به مفهوم زندگی می نگرد.»

توی پست قبلی مقدمه‌ی کوتاهی درباره فرکتال ها و اینکه هندسه ی توصیف گر طبیعت یک هندسه‌ی فرکتالی هست یک توضیحاتی دادم.

رعد و برق ـ پدیده ای با هندسه فرکتالی

صرف نظر از فرکتال های ساختگی (فرکتال هایی که ریاضیدان ها معمولا می‌سازند مثل برف‌دانه کخ) به هر طرف که نگاه کنید می‌تونید یک فرکتال طبیعی رو مشاهده کنید. سر سفره «کلم ترشی (یا بروکلی)»، کنار ساحل «خطوط ساحلی»، «برگ درخت»، «شش ها (ریه)»، «رعد و برق» و …خب این فرکتال ها چه ویژگی دارند؟

فرکتال ها ۳تا ویژگی خاص دارند که بهشون اشاره میکنم:

۱) فرکتال ها خودمتشابه هستند!

یک گل‌کلم یا کلم بروکلی رو در نظر بگیرید؛ اگه با یک چاقوی تیز، یکی از گلچه های گل کلم رو ببرید و جداگانه بهش نگاه کنید:

کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی

کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی – نمونه یک موجود  خودمتشابه 🙂

چیزی که به نظر می‌رسه یک گل کلم کامله، اما کوچکتر! اگه باز برش بدید، دوباره، دوباره، دوباره، …، شما گل‌کلم های کوچکتری بدست می آرید. به تجربه دیده شده که بعضی از اشکال این خاصیت عجیب رو دارند، یعنی هر قسمت از شکل مثل کل شکله با این تفاوت که اندازه کوچکتری داره. به این خاصیت خود متشابهی میگند. توی برف‌دانه کخ هم اگر قسمتی از شکل روجدا کنید میبینید که دقیقا مثل کل شکله و این تشابه هیچ وقت قطع نمیشه و همین طور ادامه داره! ممکنه که شما بگید یک خط راست هم اگر تکه تکه بشه باز هم شکل قسمت اول رو داره پس فرکتاله! اولا اشتباه نکنید یک ویژگی شرط لازمه نه کافی! در ثانی معمولا منظور ما از خود متشابه بودن، خود متشابه بودن در یک الگوی غیرعادی و غیربدیهیه! 

۲) فرکتال ها دارای بعد غیرصحیح هستند!

همیشه ما با ابعاد صحیح روبه رو بودیم! مثلا میگیم خط موجودی ۱بعدی، مربع یک شکل ۲ بعدی و مکعب یک شکل ۳بعدیه (ابعاد اقلیدوسی، همه هندسه ای که ما اول یاد میگیریم اقلیدوسی هست) ! حتی فضا-زمان در نسبیت ۴ بعدیه و نه مثلا ۳/۴۵ بعدی! همین طور نظریه هایی مثل ریسمان هم که فراتر از ۳ بعد رفته اند هنوز تعداد بعد توجیه کننده‌شون صحیحه مثلا ۱۱ نه ۱۱/۲۴! ممکنه بپرسید این غیرصحیح بودن بعد فرکتال ها دیگه چه صیغه ایه! پس اجازه بدید که «بعد» رو تعریف‌ کنیم:

مطابق شکل،‌ dفرض کنید که از یک قطعه شکل سمت چپ میخوایم شکل بزرگتر (با بزرگنمایی ۳ برابر) رو درست کنیم؛ برای این کار به چند قطعه‌‌ی هم اندازه با شکل سمت چپ نیاز داریم؟ برای خط معلومه، اگه همون خط قبلی سه برابر بشه (طولش) شکل جدید حاصل میشه، پس به ۳قطعه هم‌اندازه نیاز داریم. برای مربع هم مثل خط می‌مونه با این تفاوت که هم طولش ۳ برابر میشه و هم عرضش (به شکل نگاه کنید) پس ما به ۹ قطعه‌ی هم‌اندازه نیاز داریم. و وقتی هم که مکعب میشه، بزرگنمایی هم برای طول و هم برای عرض و هم برای ارتفاع اتفاق افتاده و این دفعه به ۲۷ مکعب نیاز داریم. (به شکل نگاه کنید!) خب این عددهای به دست اومده رو دوباره نگاه کنیم. من توی یک جدولی می‌نویسمشون؛

فکر کنم رابطه ای که بین این اعداد هست رو فهمیدید: ۳و ۹ و ۲۷! یک رابطه که یک تصاعد هندسی هست رسما!

«تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید = بزرگنمایی به توان بعد شکل»

از روی این رابطه با استفاده از لگاریتم گیری از طرفین میشه بعد را بدست اورد، یعنی «بعد» میشه:

«بعد = لگاریتم تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید تقسیم بر لگاریتم بزرگنمایی»  

daum_equation_1405194334641اگر n تعداد قطعات و m بزرگنمایی باشه:

ما در حقیقت یک تعریف از بعد ارائه کردیم. بعد خودمتشابهی! خب با این تعریف بریم سراغ محاسبه‌ی ابعاد فرکتال ها؛ 

فرض کنید یک برف‌دانه به این شکل میسازیم که مثل شکل قبل از یک مربع با (با بزرگنمایی ۳) یک مربع بزرگتر که شامل ۹ مربع هم اندازه با مربع اولیه هست به وجود میاد. حالا مربع های کوچیک

snow

 بالایی، چپی، راستی و پایینی مربع کوچیک مرکز رو مطابق شکل حذف میکنیم. اگر همین روند رو ادامه بدیم یک برف دانه ساخته می‌شه! (n روی شکل منظور مرحله‌ی ساخت شکله با n تعداد قطعات کوچکتر اشتباه نگیرید!)

daum_equation_1405194713785

بعد این برفدانه همین جور که میبینید یک عدد بین ۱ و ۲ هست! و اینجاست که دیگه بعد، یک عدد صحیح به دست نمیاد. مندلبرو اسم این بعد رو «ناهمواری» میذاشت که تعریف جالب‌تریه مخصوصا برای اجسامی که دارای برآمدگی هم باشند! چیزی که الان مطرح میشه اینه: معنی این ۱/۴۶۴۹۷ چیه؟ ما میدونیم که یک موجود دو بعدی یعنی اینکه توی صفحه جا میشه و یک موجود یک بعدی یعنی یک خط! پس این عدد بین ۱ و ۲ یعنی چی؟! این به همون ماجرا برمیگرده که وقتی ساختن این شکل رو تا بینهایت ادامه بدیم با یک شکل پر از لبه رو به رو میشیم. در ضمن یادآوری کنم که این فقط یک عدد هست! هر چند مفهوم قشنگی پشتش هست ولی یک عدده که ناهمواری شکل رو مطرح میکنه! به هر حال کاری که ریاضیدان ها بکنند قرار نیست واقعا واقعی باشه 🙂 یک نکته ی دیگه اینکه هیچ وقت مطرح نمی‌شه که «اندازه‌ی یک فرکتال» یا «متوسط اندازه یک فرکتال» چقدره بلکه همیشه ما با همین عدد که بعد غیرصحیح یا ناهمواری  فرکتال هست کار میکنیم! شما امروز میتونید یه عدد به عنوان ناهمواری به کامپیوتر بدید و اون در کسری از ثانیه یک شکلی با اون ناهمواری رو  براتون تولید کنه یا یک شکل دلخواه رو با اون ناهمواری بازتولید کنه! به همین سادگی! تقریبا هندسه فرکتالی پیشرفت زیادی کرد چون سر و کله کامپیوتر پیدا شد. در مورد این توی قسمت آخر بیشتر توضیح میدم!

خب بریم سراغ یه مثال دیگه؛ مثلث سیرپینسکی فرض کنید یک مثلث (متساوی الاضلاع برای قشنگی بیشتر!) داریم. وسط هر ضلعش رو مشخص میکنیم و بهم وصلشون میکنیم تا ۴ تا مثلث جدیدتر ساخته بشه. مثلث وسط رو دور می‌ریزیم. این کارو تا ابد انجام میدم. الان ما یک فرکتال داریم که بعدش ۱/۵۸ هست:
daum_equation_1405196329871
این عدد بیشتر از عدد قبل هست، فکر کنم شکل خودش نشون میده که ناهمواری مثلث سیرپینسکی از برف دانه ای که ساختیم بیشتره!

۳) بعد خود متشابهی فرکتال‌ها از بعد توپولوژیک اونها بیشتره!

این که بعد توپولوژیک دقیقا چیه، چیزیه که از حوصله‌ی این پست خارجه! شاید جداگونه در موردش بنویسم (البته ترجیح میدم امید بنویسه :)) ولی فعلا به عنوان آشنایی، عرض کنم خدمتون،‌همین جوری که ما بعد خود متشابهی رو به صورت تقسیم دوتا لگاریتم تعریف کردیم میشه یه جور دیگه با ادبیات و شاید بهتره بگم ریاضیات خوشگل تری بعد رو تعریف کرد و اون موقع یک سری عدد جدید به دست میاریم. این اعداد در مورد فرکتال ها جوریه که با مقدار خودمتشابهی شون فرق دارند و کمتر از اونها هستند مثلا بعد توپولوژیکی مثلث سیرپینسکی ۱ و بعد خودمتشابهیش (همین جوری که حساب کردیم) ۱/۵۸۵ هست که ۱/۵۸۵ > ۱!

خب جمع بندی کنیم؛ فرکتال ها دارای سه ویژيگی: ۱) خودمتشابهی ۲) دارای بعدخودمتشابهی غیرصحیح و ۳) بعدتوپولوژیکی کمتر از بعد خودمتشابهی هستند! پیشنهاد میکنم ویدیو زیر رو حتما ببینید؛ سخنرانی مندلبرو (پدر هندسه فرکتالی) در تد هست. درست چندماه بعد از این سخنرانی، مندلبرو، پیرمرد مهربان دنیای فرکتال ها به خاطر سرطان لوزالمعده ای که داشت از دنیا رفت. روحش قرین آرامش باد!