در پست قبل از روش اویلر برای حل معادله دیفرانسیل مربوط به نیمه عمر رادیواکتیو استفاده کردیم. تو این پست هم میخوایم دوباره از این روش استفاده کنیم و یک حرکت پرتابی واقعی! رو شبیه سازی کنیم که کمی پیچیده تر از مثال مربوط به رادیواکتویه .

از معادله دیفرانسیل حرکت پرتابی شروع می کنیم. گفتیم که میخوایم حرکت پرتابیمون واقعی باشه، یعنی ما اثر مقاومت هوا رو هم روی جسممون در نظر می گیریم. اما حرکت ما در صفحه انجام میشه و باید معادلاتمون رو  به دو راستا (x – y) تجزیه کنیم.

معادله دیفرانسیل های این حرکت بصورت زیر هستند (اگر با معادلات زیر مشکل دارید به کتاب‌های فیزیک پایه و یا مکانیک کلاسیک (تحلیلی) رجوع کنید) :

$$ \frac{\mathrm{d^2}{x} }{\mathrm{d} t^2}=\frac{F_{d,x}}{m} $$

$$ \frac{\mathrm{d^2}{y} }{\mathrm{d} t^2}=-g + \frac{F_{d,y}}{m} $$

که در این معادلات ${F_{d}}$ اثر مقاومت هواست و با سرعت حرکت جسم بصورت زیر رابطه داره :

$$F_{d}=-\beta v^2 \widehat{v}$$

همونطور که مشخصه معادله های دیفرانسیلمون مرتبه دو هستند. خب این کار مارو سخت نمیکنه، فقط کافیه هر کدوم از این معادلات رو به دو معادله مرتبه اول تبدیل کنیم. یعنی در پایان با چهار معادله دیفرانسیل مرتبه اول سر و کار داریم. حالا اگه  ${F_{d}}$ رو هم به دو راستا تجزیه کنیم داریم:

$$F_{d,x} = F_{d} cos{\theta} = F_{d} \frac{v_{x}}{v} = -\beta v v_{x}$$

$$F_{d,y} = F_{d} sin{\theta} = F_{d} \frac{v_{y}}{v} = -\beta v v_{y}$$

و در نهایت چهار معادله دیفرانسیل مورد نظرمون به صورت زیر درمیاد :

$$\frac{\mathrm{{d} x} }{\mathrm{d} t} = v_{x} = f_{x}(t,x,v_{x})$$

$$\frac{\mathrm{{d} v_{x}} }{\mathrm{d} t} = -\frac{\beta}{m} v_{x} \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}  = f_{vx}(t,x,v_{x})$$

$$\frac{\mathrm{{d} y} }{\mathrm{d} t} = v_{y} = f_{y}(t,x,v_{y})$$

$$\frac{\mathrm{{d} v_{y}} }{\mathrm{d} t} = – g  – \frac{\beta}{m} v_{y}\sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}  = f_{vy}(t,x,v_{y})$$

حالا اگه از روش اویلر استفاده کنیم و این معادلات رو گسسته کنیم داریم :

$$x_{i+1} = x_{i} + \Delta t   v_{x,i}$$

$$v_{x,i+1} = v_{x,i} – \Delta t   \frac{F_{d,x}}{m}$$

$$y_{i+1} = y_{i} + \Delta t   v_{y,i}$$

$$v_{y,i+1} = v_{y,i} – \Delta t   (g + \frac{F_{d,y}}{m})$$

که در این معادلات t∆ گام گسسته‌سازی مساله ماست. حالا وقتشه که کد برنامه‌مون رو بنویسیم . کد این برنامه هم مثل برنامه رادیواکتیو خیلی سادست و نکته اضافی ای نسبت به اون نداره. دوباره به یک ساختار تکرار نیاز داریم که محاسبات رو تا زمانی که پرتابه مون به زمین نخورده( y >= 0 ) ادامه بده و به محض خوردن زمین عملیات رو متوقف کنه.

در ++c:

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <math.h>
#define g 9.8
#define B 4e-5
#define m 1.0
using namespace std;
int main()
{
    double x, y, vx, vy, v, teta, t, dt = 0.1;
    /*** initial conditions***/
    t = 0;
    x = 0;
    y = 0;
    v = 100;
    teta = 30;
    vx = v * cos(teta * M_PI / 180);
    vy = v * sin(teta * M_PI / 180);
    /***-------------------***/
    ofstream o;
    o.open("Projectile motion.txt",ios::out);
    o<<"x"<<"\t"<<"y"<<"\t"<<"t"<<endl;
    while(y >= 0)
    {
        o<<x<<"\t"<<y<<"\t"<<t<<endl;
        v = sqrt(vx * vx + vy * vy);
        x = x + vx * dt;
        y = y + vy * dt;
        vx = vx - (B/m) * v * vx * dt;
        vy = vy - g * dt - (B/m) * v * vy * dt;
        t += dt;      
    }
    o.close();
}

در قسمت اول برنامه کتابخونه هایی که لازم داریم رو تعریف کردیم. کتابخونه math.h توابع مثلثاتی مثل sin و  cos  و همچنین یک سری از عملیات های ریاضی مثل جذر و یا به توان رسوندن رو شامل میشه (البته کلی توابع دیگه هم تو این کتابخونه هست!) و چون در بدنه برنامه نیاز به محاسبات ریاضی داشتیم از این کتابخونه استفاده شد. در خطوط بعد، ثوابت مورد نیاز در برنامه رو تعریف کردیم. همونطور که مشخصه در قسمت بعد و در بدنه اصلی برنامه، ابتدا شرایط اولیه رو که شامل مکان ابتدایی جسم، سرعت اولیه و زاویه پرتاب میشه تعریف و بعد سرعت رو به راستای افقی و  عمودی تجزیه کردیم. در مرحله بعد فایلی برای ذخیره خروجی درست شد و بعد از اون الگوریتم اویلر برای حرکت پرتابی رو با استفاده از ساختار تکرار while پیاده کردیم.

و در پایتون:

from math import *
g = 9.8
m = 1.0
B = 4e-5
x = 0
y = 0
v = 100
teta = 30
t = 0
dt = 0.1
vx = v * cos(teta * pi / 180)
vy = v * sin(teta * pi / 180) 

f = open("Projectile motion.txt", "w")
f.write("x" + "\t" + "y" + "\t" + "t" + "\n") 
while y >= 0 :
    f.write(str(x)+"\t"+ str(y)+ "\t" + str(t) + "\n")
    v = sqrt(vx * vx + vy * vy)
    x = x + vx * dt
    y = y + vy * dt
    vx = vx - (B/m) * v * vx * dt
    vy = vy - g * dt - (B/m) * v * vy * dt
    t += dt

f.close()

قبل بررسی نمودار حرکت پرتابیمون بیاین پیش بینی کنیم که شکل حرکت چجوری میشه؟! خب در موقع بالا رفتن جسم، نیروی مقاوت هوا و نیروی وزن هر دو به سمت پایین هستن. اما در موقع برگشت، نیروی مقاومت هوا رو به بالا و نیروی وزن روبه پایینه و این یعنی برآیند نیرو های وارد به جسممون در رفت و برگشت فرق میکنه. حالا به نمودار زیر توجه کنین.

نمودار حرکت پرتابی در حضور و عدم حضور مقاومت هوا

همونطور که انتظار داشتیم، نمودارمون بطور کامل سهموی نیست و تقارن لازم رو نداره و این بخاطر وجود مقاومت هوا در برابر حرکت جسم ماست. مساله دیگه ای که وجود داره، برد پرتابه است. در حالت عادی و بدون مقاومت هوا میدونستیم که همیشه به ازای زاویه‌ی پرتاب  45 درجه برد پرتابه بیشینه میشه. اما با وجود مقاومت هوا دیگه اینطوری نیست.

برای تمرین بیشتر می تونین برنامه ی حرکت پرتابی رو طوری تغییر بدین که به ازای یک سرعت اولیه، برد بیشینه رو برامون پیدا کنه . همچنین میشه برای یک زاویه خاص، سرعتی که در اون زاویه برد بیشینه میشه رو  بدست آورد.

در این پست هم یک معادله دیفرانسیل رو با روش اویلر حل کردیم. بازهم این پرسش مطرحه که همه ی معادله های دیفرانسیل با این روش حل میشه یا نه؟ و آیا روش های قدرتمند تر و مطمعن تری هم برای حل معادله دیفرانسیل وجود داره؟

به امید خدا پست بعد فضای متفاوت تری خواهد داشت ، اما در پست های بعدتر، باز هم به حل معادله دیفرانسیل و روش های مختلف برای حل این معادلات بر می گردیم.

در قسمت‌های قبل در مورد فرکتال‌ها و ویژگی‌هاشون نوشتم. این قسمت و قسمت بعد در مورد مجموعه‌ای از اعداد که اشکال فرکتالی می‌سازند هست.

به عنوان مقدمه،‌ تابع y = x^2\, رو در نظر بگیرید. اگر به عنوان یک نقطه‌ی شروع x=۲ رو به تابع بدیم مقدار تابع میشه ۲ به توان ۲ یعنی ۴. حالا اگر باز این ۴ رو به تابع بدیم، جواب ۱۶ میشه و اگر این روند رو ادامه بدیم به عددهای بزرگتر می‌رسیم. همین طور اگر از نقطه‌ی x=-۳ شروع کنیم، به ۹ و بعد از اون به ۸۱ و مجددا به عددهای بزرگتری می‌رسیم.

نقطه‌ی شروع:۲          ۲ => ۴ =>  ۱۶=>۲۵۶ => … => بی‌نهایت

نقطه‌ی شروع: ۳-         ۳- => ۹ => ۸۱=>۶۵۶۱ => … => بی‌نهایت

هر دوی این نقاط بعد از تکرارهای پی در پی به بی‌نهایت نزدیک میشند. اما اگر این بار یک نقطه از بازه‌ی [۱،۱-] انتخاب کنیم چی؟ مثلا اگر ۰/۵ رو انتخاب کنیم به توان دو که برسه میشه ۲۵/. بعدش ۶۲۵./. و همین طور عددهای بعدی کوچیک و کوچیکتر میشند و به صفر میل کنند.

نقطه‌ی شروع: ۵/.          ۵/. => ۲۵/. => ۶۲۵./.=> ۰۰۳۹۰۶۲۵/. => … => صفر

نقطه‌ی شروع:۱ یا ۱-          ۱یا ۱- => ۱ =>  ۱=>۱ => … => ۱

در حقیقیت هر عددی که انتخاب کنیم در نهایت (پس از تکرارهای پی در پی) سرانجام و عاقبتش دو حالت داره؛ یا خیلی رشد میکنه و به یک حد بی کران می‌رسه یا اینکه در آخر به یک مقدار ثابت همگرا میشه کهj1 برای این تابع اعداد ۱ و ۱- به ۱ همگرا میشند و همه‌ی اعداد حقیقی بین ۱- و ۱ به صفر. اعداد خارج این بازه هم که اصلا همگرا نمیشند!

خب بعد از این مقدمه، به یک تعریف می‌رسیم: «به مجموعه‌ای از شرایط اولیه که پس از تکرارهای پی‌در‌پی توسط یک تابع به بی‌نهایت میل نمی‌کنند، مجموعه‌ی ژولیای آن تابع می‌گویند.» مثلا برای تابع y = x^2\,  شرایط اولیه (اعداد) عضو بازه‌ی [۱،۱-] پس از تکرارهای پی‌در‌پی به بی‌نهایت نمی‌رسند ولی برای خارج از این بازه این طور نیست و همون جوری که دیدید بعد از تکرارهای پی‌در‌پی به بی‌نهایت می‌رسند. در حقیقت به مجموعه [۱،۱-]=S یک «مجموعه‌ی توپور ژولیا» میگند و منظور از مجموعه ژولیا مرز بین دو مجموعه است؛مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بی‌نهایت می‌رسند و مجموعه شرایط اولیه‌ای که به بی‌نهایت نمی‌رسند! یعنی برای تابع  y = x^2\, مجموعه ژولیا {J ={-1,1 است که شامل دو عدد ۱+ و ۱- می‌باشد! به عبارت دیگه اگر روی محور xها بخواییم مشخص کنیم فقط دو تا نقطه به عنوان مجموعه‌ی ژولیا تابع y = x^2\,  مشخص میشه؛ x=1 و x= -1!

خب تا اینجا زیاد جذاب نبود و فقط یک تعریف رو مطرح کردیم! حالا برای ایجاد جذابیت بیایید و وارد اعداد موهومی بشیم. تفاوت اعداد حقیقی و موهومی در اینه که اعداد حقیقی روی یک خط هستند ولی اعداد موهومی روی یک صفحه قرار می‌گیرند. هر عدد موهومی به صورت z=a+ib نوشته میشه که a, b هر دو اعداد حقیقی و i واحد موهومی ساز هست جوری که طبق تعریف: i2 = −1 ! اگر با این دسته از اعداد هنوز آشنایی ندارید، سخت نگیرید، ایده‌ی آسونیه، می‌تونید نگاه کنید به صفحه ویکی‌پدیا یا اینکه اگر اشتیاق بیشتری به یادگیری دارید بهتون پیشنهاد میکنم کتاب «متغیرهای موهومی و کاربردها» نوشته‌ی جیمز براون و روئل چرچیل رو یه نگاهی بندازید! الان همون تابع قبلی رو در فضای موهومی می‌نویسیم: j۲

در مورد این تابع، مجموعه‌ی ژولیا، مجموعه نقاطی هست که روی دایره‌ای به شعاع ۱ و به j۳مرکز مبدا مختصات قرار می‌گیرند. یعنی مجموعه نقاط روی دایره و درون دایره r=1 مجموعه‌ی توپور ژولیا رو می‌سازند. این به خاطر اینه که اعداد موهومی روی صفحه مشخص می‌شند. (شما این تعبیر رو با نوشتن صورت قطبی اعداد موهومی بهترین می‌تونید ببینید؛ یادتون باشه که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند تا بعد از تکرارهای پی‌در‌پی، اعداد حاصل از به توان ۲ رسوندن به بی‌نهایت میل نکنند! صرفا جهت یادآوری عرض کنم که برای به توان رسوندن یک عدد موهومی z=a+ib مثل به توان رسوندن چند جمله‌ای ها عمل می‌کنیم ولی به این نکته توجه می‌کنیم که طبق تعریف i2 = −1 !)

خب یکمی جالب‌تر شد، از دو نقطه‌ی x=1 و x= -1 توی قسمت قبل این دفعه به یک دایره رسیدیم در فضای j۵موهومی. برای جذابیت بیشتر بیایید و این دفعه تابع رو تغییر بدیم و از این تابع استفاده کنیم و ببینیم که چی میشه! یعنی اون نقاطی رو پیدا کنیم که بعد از تکرارهای متوالی توسط این تابع به بی‌نهایت میل نکنند. راستش این دفعه به سادگی دفعه‌ی قبل نیست که بتونیم سریع کل اون اعداد رو حدس بزنیم و مثلا بگیم که ما دنبال اعدادی هستیم که (z) عضو بازه‌ی [۱،۱-] باشند. خب بیایید و چند تا عدد موهومی رو تست کنیم، روش آزمون و خطا؛
چندتا عدد راحت مثل 0 و i و 1+i و یک عدد یکمی ناراحت ( 😀 ) مثل 0.8 + 0.2i

j۶ j۷ j۸ 

می‌‌بینیم که صفر به طور متناوب به ۱- و صفر میرسه ولیj۹ در مورد بقیه اعداد ما، این طوری نیست و مثلا در مورد 1+i همین طور زیاد و زیاد تر میشه.

خب بقیه اعداد رو باید همین جوری با آزمون و خطا پیدا کرد راستش و خب این قدری رنج آوره! اشکال نداره ما خودمون این کارو انجام نمی‌دیم و میذاریمj۱۱ کامپیوتر بقیه اعداد رو پیدا کنه! من تصویری از نقاطی که مشخص شده رو براتون می‌‌‌ذارم تا ببینید که این دفعه شکل دیگه دایره نمیشه و یه شکل عجیب درست میشه! فکر نمی‌کنم که این شکل رو می‌شد به این راحتی‌ها حدس زد! برای بهتر دیده شدن تصویر، رزولوشنش رو میشه بیشتر کرد،یعنی تعداد نقاط رو بیشتری رو امتحان کرد:

«این یک شکل خودمتشابه هست!»

اجازه بدید تا یک قسمت از شکل که مشخص کردم رو بزرگترش کنم؛ مثل اینکه سر و کله‌ی فرکتال  ها دوبارهj۱۲ پیدا شد!

از حالا به بعد هر تابعی که داشته باشیم رو می‌تونیم مجموعه‌ی ژولیا مربوط به اون رو پیدا کنیم.بین توابع، توابعی که به صورت چندجمله‌ای های مربعی هستند بیشتر معروف هستند!

$$ f(z)=z^2 +c ,$$  c:مقدار ثابت

حتما به صفحه‌ی ویکی‌پدیا مجموعه‌ی ژولیا سر بزنید و شکل‌های جالبی که توسط توابع مختلف ساخته شده رو ببینید. علت استفاده از رنگ هم اینه: بسته به این که نقاط با چه آهنگی رشد می‌کنند به اونها یک رنگ خاص اختصاص میدند، ممکنه یک عدد بعد از صد بار تکرار بیشتر از یک میلیون بشه و یک عدد بعد از هزار بار تکرار، این‌ها باید با هم یک فرقی به هر حال داشته باشند دیگه! به عنوان نمونه من چند تا از تصاویر رو میذارم:

مجموعه‌ی ژولیا برای c=-0.8+0.156i

مجموعه‌ی ژولیا برای c=-0.8+0.156i

مجموعه‌ی ژولیا با رنگ سفید مشخص شده.Continue reading

سلام

موضوعی که توی این پست به طور خلاصه میخواهیم ازش حرف بزنیم و اطلاعات کلی ای دربارش پیدا کنیم هولوگرام هاست که خب در بینش به تشابه کارکرد هولوگرام ها با مغز هم میپردازیم. احتمالا اگر کلمه ی هولوگرام رو تا به حال شنیدیم بیشتر و تنها ، ویژگی سه بعدی بودن اونها برامون گفته شده، توی این پست با دیگر خصوصیات جالب هولوگرام ها آشنا میشیم و در ضمن هم به معرفی کتابی که این پست تقریبا خلاصه ای از فصل اول اون کتابه میپردازیم. خب، پریبرام کسی بود که با جمع بندیه پژوهش هایی که از هولوگرام ها به دست اومده بود تونست به سوالی که براش پیش اومده بود پاسخ بده. معمایی که پریبرام را نخست به راه انداخت تا الگوی هولوگرافیک خودشو مطرح کند از این پرسش برخاست که خاطرات در مغز انسان کجا و چگونه ذخیره میشن. در آن دوران اکثر دانشمندان معتقد بودند که خاطرات در مغز انسان جایگاه ویژه ای دارن ، یعنی هر خاطره که شخص دارد همه دارنده ی جایگاه خاص در سلول های مغزند که انگرام نامیده میشن. در پی همین تفکر هم پن فیلد جراح مغز کانادایی شواهد متقاعد کننده ای عرضه کرد که  خاطرات خاص، جایگاه خاص و ویژه ای دارند. پن فیلد با جراحی روی مغز مبتلایان به صرع نقاط مختلف سلول های مغز آن ها را به وسیله ی شوک الکتریکی تحریک میکرد و با شگفتی دریافت که هرگاه ناحیه گیج گاه یکی از بیماران کاملا بیهوش خود را تحریک میکرد بیمار خاطرات وقایع گذشته ی زندگی خود را با جزییات کاملا واضح به یاد می آورد. مثلا پسر بچه ای صدای مادرش را در حال صحبت پای تلفن شنید و پس از چند شوک الکترود توانست تمامی مکالمه را از نو تکرار کند و … . حتی وقتی پن فیلد سعی کرد که آن ها را گمراه بکند و به آن ها بگوید که نقطه ای دیگر از مغز آن ها را تحریک کرده که در واقع نکرده بود همواره همان خاطره ی قبلی فراخوانده میشد و پن فیلد این چنین نتیجه گرفت که هر آن چه که تا به حال تجربه کرده ایم در مغز ما ثبت شده است. پریبرام دلیلی برای شک کردن به نظریه ی پن فیلد نداشت.اما این پژوهش های لاشلی بود که نحوه ی اندیشه ی او را به کل تغییر داد. کاری که لاشلی میکرد عبارت از این بود که به موش ها تعلیم میداد دست به اعمال گوناگون بزنند،مثل گذشتن از مارپیچ ها.بعد تکه های مختلفی از مغز موش ها را با عمل جراحی برمیداشت و دوباره به محک آزمایش میگذاشت. او آن قسمت از مغز موش ها را برمیداشت که حاوی خاطره ی گذشتن از مارپیچ است،وقتی این کار عملی شد با شگفتی دریافت که صرف نظر از این که کدام قسمت مغز برداشته شده خاطره ی آن ها هیچ گاه از بین نرفته است.  برای پریبرام تنها پاسخ ممکن این بود که خاطره ها مکان خاصی در مغز ندارند و به طور کلی در سراسر مغز پراکنده شده اند و این شده که خواندن مقاله ای در ساینتیفیک امریکن که به توصیف چگونگی ساخت نخستین هولوگرام میپرداخت پاسخ نهایی چگونگی کارکرد مغز را پیش پای او نهاد. از این جاست که ما وارد بحث هولوگرام ها و ویژگی های آن میشویم . شما برای این که سر از کار پریبرام درآورید و آشنایی بیشتری درباره ی ارتباط مغز و هولوگرام پیدا کنید میتونید به کتاب جهان هولوگرافیک مایکل تالبوت رجوع کنید و از خواندن آن لذت ببرید. اما هولوگرام؛ یکی از چیز هایی که هولوگرافی را ممکن میسازد پدیده ای است به نام تداخل. تداخل عبارت از نقشی ضربدری است که از دو یا سه موج نظیر امواج آب که در هم تداخل پیدا کرده حاصل می آید. هر نوع پدیده ی موج گونه می تواند یک طرح تداخلی ایجاد کند.نظیر امواج رادیو و نور. و از آن جا که اشعه ی لیزر پرتویی بسیار خالص و تکفام از نور است، برای ایجاد طرح تداخلی مناسب است. حالا وقتی یک اشعه ی لیزر به دو تابه ی مجزا تقسیم شود، هولوگرام به وجود می آید. اولین تابه با برخورد به شی که قرار است از آن عکس گرفته شود به عقب می جهد. سپس تابه ی دوم با انعکاس نور تابه ی اول برخورد میکند و حاصلش یک الگوی تداخلی است که روی قطعه ای فیلم ضبط میشود. به چشم بیننده ، تصویر توی فیلم به هیچ رو شبیه شی عکاسی شده نیست. Untitledبا تاباندن تابه ی سوم به فیلم، تصویری سه بعدی از شی اصلی در طرف دیگر فیلم ظاهر میشود.  به واقع میتوان دور و بر یک تصویر هولوگرافیک قدم زد و از زوایای مختلف بدان نگریست ، انگار به یک شی واقعی نگاه می کنیم. اما هرگاه بخواهید این تصویر را لمس کنید ، دست شما از میان آن گذر میکند و در می یابید که در واقع چیزی آن جا نیست. کیفیت سه بعدی بودن هولوگرام تنها وجه شاخص آن نیست.اگر تکه ای از فیلم هولوگرافیک تصویری از سیب را از میان دو نیمه کنیم و سپس اشعه ی لیزر بر آن بتابانیم ، هر نیمه حاوی تصویر کاملی از سیب خواهد بود. حتی اگر این نیمه را باز به دو نیمه و نیمه را دوباره به دو نیمه تقسیم کنیم، تصویر کاملی از سیب در هر یک از قسمت های کوچک فیلم به دست خواهد آمد (هر اندازه قسمت ها کوچکتر میشوند تصاویر محو تر خواهد شد). بر خلاف عکس های معمولی ، هر تکه کوچک قسمتی از فیلم هولوگرافیک حاوی کلیه ی اطلاعاتی است که در همه ی فیلم ضبط شده است. همین نکته بود که پریبرام را به هیجان آورد و فهمید که خاطرات در مغز به جای این که مکان مشخصی داشته باشند در مغز پراکنده اند. اگر هر بخش تکه ای فیلم هولوگرافیک حاوی تمام اطلاعات لازم جهت ساختن تصویر کامل آن باشد، پس به نظر ممکن می آید که هر بخش از مغز نیز حاوی تمام اطلاعات لازم جهت فراخواندن همه ی خاطره باشند. بخش شاید جذاب تر هولوگرام ، بررسی ویژگی های آن و شباهت کارایی مغز و هولوگرام است که حالا به بررسی آنها میپردازیم.

به نظرتون مغز چه جوری میتونه این همه اطلاعات را در همچین فضای کوچکی ذخیره بکنه؟خب جالبه اینو بدونید که در طول عمر هر فرد معمولی مغز او چیزی حدود 280000000000000000000 یا 20^10*2.8 تکه اطلاعات ذخیره میکند.هولوگرام هم از قابلیت حیرت انگیزی برای ذخیره ی اطلاعات برخورداره. با تغییر زاویه ای که از برخورد دو موج لیزری روی فیلم عکاسی به دست آمده میتوان تصاویر گوناگون بسیاری روی همان سطح ضبط کرد. هر تصویر ضبط شده را میتوان با نور دادن به فیلم توسط اشعه لیزری و از همان زاویه ای که دو موج قبلی ساطع شده اند،دوباره به دست آورد.یک مربع یک اینچی فیلم قادر است همان قدر اطلاعات ذخیره کند که در پنجاه انجیل ذخیره شده است! البته من نمیدونم 50 انجیل حاوی چه قد اطلاعاته و بهتر بود در مقایسه با اطلاعات ذخیره شده در مغز میگفت ولی خب احتمالا خیلی زیاده…

یک ویژگی دیگه…ایده ی هولوگرافیک مثال دیگری است از گرایشهای تداعی کننده ی خاطره. اول نور یک اشعه ی لیزر را در نظر بگیریم که به دو شی همزمان تابیده و باز میگردد، مثلا به یک صندلی راحتی و یک یپپ. سپس میگذاریم نوری  که از دو شی مذکور بازمیگردند با هم تلاقی کنند، و حاصل آن را روی فیلم ضبط میکنیم.سپس هرگاه به صندلی راحتی توسط اشعه ی لیزر نور بتابانیم و نور انعکاس یافته را از داخل فیلم بگذرانیم ، یک تصویر سه بعدی پیپ نمایان میشود ، و بر عکس.هرگاه همین کار را با پیپ انجام دهیم ، تصویر هولوگرافیک صندلی راحتی پدیدار خواهد شد. همین ویژگی در مغز مشابه فرآیندی است که بعضی اشیا ، از گذشته ی ما خاطرات خاصی را برمی انگیزانند.

ویژگی بعدی ای که راجع بش میخونیم هولوگرافی تشخیصه.در هولوگرافی تشخیص تصویر هولوگرافیک از یک شی به همان شیوه ی معمول ضبط میشود، جز آن که اشعه ی لیزر را به آینه ی خاصی که آینه ی متمرکز کننده نام دارد می تابانند و سپس نور منعکس شده را به سطح فیلم ظاهر نشده می تابانند. اگر یک شی دیگر را که با شی اول مشابه، ولی نه کاملا همسان است زیر اشعه ی لیزر قرار میدهیم و نور منعکس شده از آینه را به فیلم بتابانیم. پس از این که فیلم ظاهر شد نقطه ی روشنی روی آن پدیدار میشود.هر چه شباهت میان شی اول و شی دوم بیشتر باشد نقطه ی نورانی روشن تر و درخشان تر میشود. اگر دو شی مذکور هیچ شباهتی به هم نداشته باشند، هیچ نقطه ی نورانی ای پدیدار نخواهد شد.با قرار دادن یک فتوسل حساس به نور در پشت فیلم هولوگرافیک، میتوان در واقع از این مجموعه به عنوان یک ساز و کار مکانیکی تشخیص بهره برد که در مغز هم شناسایی چهره های آشنا به همین شکل است.

تکنیک مشابهی که هولوگرافی تداخلی نام دارد هم میتواند توضیح دهد که چگونه میتوان مشخصات آشنا و نا آشنای یک تصویر، مثل چهره ی کسی را که سالهاست ندیده ایم تشخیص داد. در این تکنیک شیئی را از میان تکه ای فیلم هولوگرافیک که حاوی تصویر خود شی است میبینیم.حال اگر هر یک از مشخصات شی پس از آنکه تصویرش ضبط شد تغییر کند، نور منعکس شده نیز تغییر خواهد کرد.کسی که به فیلم نگاه میکند بی درنگ در میابد که شی چگونه عوض شده یا اصلا عوض نشده است.در این تکنیک کار چنان حساس است که حتی فشار انگشت روی سنگ یا آجر هم بلافاصله نشان داده میشود. امروزه این تکنیک کاربرد عملی پیدا کرده و در صنعت آزمایش مواد مختلف به کار میرود.

این برخی از کاربرد های هولوگرام ها بود که خب برای  بیشتر دونستن دربارش دوباره شما رو به خوندن کتاب جهان هولوگرافیک دعوت میکنم…

حالا کمی از زبان ریاضی هولوگرام میگیم و این موضوع رو تمام میکنیم. در حالی که نظریه های دنیس گابور( که از برندگان جایزه ی نوبل هست) که باعث تحول و گسترش تئوری هولوگرام شده بود نخستین بار توسط خود او صورت بندی و بر شمرده شد، در اواخر دهه ی شصت(میلادی) از نظریه پریبرام حتی خیلی بیشتر از ایده های گابور پشتیبانی شد.وقتی گابور به ایده ی هولوگرافیک اندیشید ، کاری به اشعه ی لیزر نداشت.هدفش بیشتر ایجاد تحول در میکروسکوپ الکترونی بود.رویکرد او ریاضی وار بود و ریاضیاتی که به کار برد نوعی حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که ژان فوریه ابداع کرده بود.به طور خلاصه آن چه که فوریه پرورانده بود نوعی روش ریاضی وار بود جهت تبدیل هرگونه طرح و الگویی هر چند پیچیده به زبان امواج ساده.در عین حال این را هم نشان داد که که این اشکال موج گونه را چگونه میتوان به همان شکل اولیه برگرداند.معادله ای که این فرآیند را نشان میدهد به نام مبدل های فوریه معروف است. به کمک مبدل های فوریه، گابور توانست تصویر شی را در فضای تار و مه آلود الگوهای تداخلی روی تکه ای فیلم هولوگرافیک ضبط کند.سپس سعی کرد به کمک آن ها راهی بیابد که که دوباره همان الگوهای تداخلی را به تصویر شی اولیه بازگرداند.

Untitled2حالا که گریزی به زبان موج گونه ی فوریه ی زدیم بد نیست از یک کاربرد جالب فوریه یاد کنیم مبنی بر این که حتی حرکات جسمانی ما هم در مغز ما با همان زبان موج گونه ی فوریه حک شده است.نیکلای برنشتاین چند داوطلب را لباس تنگ سیاه پوشاند و در آرنچ ها و زانو های آن ها و سایر مفاصلشان نقاط سفیدی گذاشت. سپس آنها را رو به روی زمینه ای سیاه قرار داد و از آن ها در حال فعالیت های گوناگون جسمانی مثل رقصیدن ، راه رفتن ، جهیدن ، و تایپ کردن فیلم گرفت.وقتی فیلم را ظاهر کرد ، دریافت که تنها نقاط سفیدی پدیدار بودند که به بالا و پایین و چپ و راست در جهات گوناگون و در هم و بر هم حرکت میکردند.او جهت بهره بری بیشتر از کشفیاتش ، خطوط گوناگونی را که از نقاط سفید پدید آمده بود تجزیه و تحلیل کرد و همه را به یک زبان موج گونه تبدیل نمود. و با imagesکمال تعجب دریافت که اشکال موج گونه حاوی الگو های پنهانی هستند که که به او اجازه میدهند حرکات بعدی آزمون شونده ها را تا حد یک اینچ پیش بینی کند!

مطلب ما همین جا به پایان میرسه!

تصویر سمت راست هم کتاب جهان هولوگرافیک هست که اگر از دونستن این مطالب لذت بردین شما رو به خوندن این کتاب که ترجمه ی بسیارخوب و روانی هم داره دعوت میکنم…

وقتی توی سینما نشستین و از دیدن فیلم لذت میبرید قطعا به نور فکر نمی‌‌‌کنید، یا وقتی زیر نور خورشید می‌ایستین و گرم می‌شوید هم شاید به نور فکر نمی‌‌‌کنید، وقتی شفق قطبی را نگاه می‌کنید و مبهوت می‌شوید احتمالا باز هم به نور فکر نمی‌‌‌کنید، اینکه بعد از یک روز زیبای بارانی رنگین کمان را در آسمان می‌بینید و کلی ذوق می‌کنید و یاد فانتزی‌های بچگانتون می‌افتین باز هم نور اهمیتی ندارد، یا حتی وقتی برق خانه یتان برای چند دقیقه میرود و به نور شمع خیره می‌شوید باز هم شاید نور ذهنتان را درگیر نمی‌کند. نوری که از شروع خلقت تا به امروز بوده است.

در دوران مدرسه کمی با نور آشنا می‌شویم و در کتاب علوم راجع به آن می‌خواندیم: (( بازتاب نور از اجسام به چشم ما باعث می‌شود تا ما اجسام را ببینیم)). اصلا  آیا می‌توانیم خود نور را ببینیم؟ نور چیست؟ چگونه به وجود می‌آید؟ یا به قول انیشتین آیا می‌شود سوار نور شویم و از آن سواری بگیریم؟

در قرن 17 مردم تصویر مبهمی از ماهیت نور داشتند که در سال 1678 هویگنس نظریه ی موجی بودن نور را F3ارایه داد و کمی آن تصویر مبهم را مرتب کرد.نظریه ی هویگنس یک نظریه ی هندسی بود : ((تمامی نقاط جبهه ی موج نور را می‌توانیم به عنوان چشمه ی نقطه ای در نظر بگیریم که جبهه ی موج ثانویه کروی منتشر می‌کند. جبهه ی بعدی موج در هر زمانی از مماس این جبهه موج های ثانویه کروی به وجود می‌آید)). نظریه ی هویگنس به قدری خوب و قوی بوده که امروزه نیز در توصیف برخی از پدیده ها استفاده می‌شود. البته در آن زمان نیوتون بنا بر دلایل و توجیهات علمی که ارایه کرد آن نظریه را نپذیرفت. در سال 1704 نیوتون در کتاب اپتیکس خودش سوال می‌کند: آیا پرتوی نور اجرام بسیار کوچکی نیستند که از مواد درخشنده گسیل می‌شوند؟. یا در جای دیگر می‌پرسد: آیا اجسام در یک فاصله بر نور اثر ندارند و اثر آن ها نیست که پرتوی نور را خم می‌کند و چنین نیست که در کمترین فاصله قویترین اثر رادارد؟. مشخص می‌شود که نیوتون یک خاصیت ذره ای برای نور قایل بوده ولی هیچ مشاهده ای بر این حرف خود نداشته و آن ها را به عنوان سوال در کتاب خود مطرح می‌کند. البته نیوتون برای توصیف و توجیه حلقه های نیوتون ( که بعدا با آن آشنا می‌شویم) مجبور می‌شود از خاصیتی شبه موجی استفاده می‌کند.

هنوز مردم جوابی برای سوال های نیوتون وخاصیت ذره ای جوابی پیدا نکرده بودند که در سال 1801 یانگ در آزمایش دو شکافی خود اثبات کرد که نور موج است. در این آزمایش یانگ نشان داد که نور مانند امواج آب و تمامی امواج دیگر تداخل می‌کند. این آزمایش به اینگونه است که باریکه ای از نور سفید را از دو شکاف بسیار ریز رد می‌کنیم و پرده ای را در فاصله ای که از مقیاس دو شکاف بسایر بسیار بزرگتر است را آن طرف دو شکاف قرار می‌دهیم. وقتی پرتوهای دو شکاف روی پرده می‌افتد چند دسته نوار های تاریک روشن روی پرده مشاهده می‌کنیم که ناشی از تداخل پرتوهای نور دو شکاف با یکدیگر است. اگر یکی از پرتوهای فرودی راهی به اندازه ی نصف طول موج را طی کرده باشد تداخل مخرب است و آنجا تاریک می‌شود و اگر هر دو پرتو برای رسیده به پرده راه یکسانی را عبور کرده باشند ، مانند نقطه ی عمود منصف بین دو شکاف روی پرده، تداخل سازنده است و ما آنجا را کاملا روشن که دو برابر شدت نور هر شکاف است را  میبینیم.

آزمایش یانگ باعث شد تا 75 سال نظریه ی ذره ای بودن نور فراموش شود تا در سال 1905 انیشتین نشان دادFigure_28_03_03a که نور خاصیت ذره ای دارد. شاید مثال هالیدی شهود بهتری از ذره ای بودن به دستتان بدهد، پرداخت پول و معاملات پولی رایج در هر کشوری کوانتایزد(بسته بسته) است. مثلا در کشور ما کمترین پول موجود سکه های 25 تومانی است و ارزش بقیه ی سکه ها و اسکناس ها طبق ضرایب صحیح سکه ی 25 تومانی محدود می‌شود. پس فرم پولی ما به صورت (n ×25 ) در می‌اید که n عدد مثبت و صحیح است بنابر این ما هیچوقت 85 تومان نداریم چرا که n برابر 3.4 می‌شود پس نمی‌توانیم همچین پولی داشته باشیم. خاصیت ذره ای نور هم همینگونه است کوچکترین بسته ی نور که از تابش الکترومغناطیسی به وجود می‌آید را فوتون (همان 25 تومان) مینامیم.

انیشتین با آزمایش فوتوالکتریک خاصیت ذره ای نور را نشان داد و توانست برایش فرمولبندی تعریف کند که موجب شد تا نوبل فیزیک 1921 را ببرد. این پدیده به اینگونه است که اگر پرتوی نوری را به لایه‌ای فلز (مثلا پتاسیم) بتابانیم الکترون از آن لایه ی فلزی کنده می‌شود که هر الکترون جدا شده توسط نور مقدار معینی به اندازه ی انرژی کوانتیزد آن نور (فوتون) انرژی دارد. میبینیم که در اینجا نور مانند موج عمل نمیکند بلکه ماننده بسنه هایی از انرژی میماند که هر کدام انرژی خود را به الکترون های فلز منتقل می‌کنند.

پس نور خاصیت ذره ای دارد. حال سوالی که پیش می‌آید آن است که بالاخره نور موج است یا ذره؟ این سوال 170450_46502_68را امروزه اینگونه پاسخ میدهیم که نور ماهیتی موجی- ذره‌ای دارد، یعنی هم خاصیت موجی و هم خاصیت ذره‌ای دارد.

دنیای نور دنیایی عجیب است. خاص است اما ساده نیست. در بحث های بعد مباحث راجع به نور را ان‌شاءالله ادامه می‌دهیم.

متاسفانه کتاب خوندن توی کشور ما هنوز آمار خوبی نداره. علت های زیادی هم داره که نمی‌خوام اینجا در موردشون صحبت کنم. ولی یکی از چیزایی که هیچ وقت در مورد کتاب و کتاب خوندن ما در موردش نشنیدیم یا نخوندیم یا بهش فکر نکردیم اینه که کتاب می‌تونه یک وسیله سرگرم کننده و جذاب باشه! در حقیقت فرهنگ حاکم بر جامعه اینه که کتاب یک چیز پر از «آموزش» و «حکمت» و کتاب‌خون ها هم آدم های «روشن فکر» و مثلا خفنی هستند! واقعا این طور نیست، ما دچار سوءتفاهم شدیدی شدیم! این یک نگرش غلط به مقوله کتاب و کتاب‌خوندنه! ما همیشه قرار نیست از خوندن کتاب دانشمون زیاد بشه، گاهی از اوقات کتاب میتونه ما رو سرگرم کنه، برامون کلی ماجراهای تخیلی و به دور از واقعیت بگه، اشکمونو در بیاره، تپش قلبمون رو زیاد کنه و در نهایت هم، غیر از کلی کیف کردن و لذت بردن، هیچ چیزی به دانش ما اضافه نکنه! شخصا ترجیح میدم با خوندن یک کتاب بهم خوش بگذره تا با دیدن برنامه های تلویزیون یا بازی های ویدیوئی! پس شروع کنیم به کتاب خوندن، این دفعه به نیت خوش گذشتن و سرگرم شدن! (امتحان کنید!)

در مورد خودم، کتاب هایی که بیانگر زندگی افراد تاثیر گذار هستند رو دوست دارم. همین طور کتاب Challenger-320x450هایی که این جور آدمها بعد از یه عمر دست و پنجه نرم کردن با روزگار و کسب موفقیت هایی توی رشته و زمینه‌ی کاری خودشون، نوشتند. خیلی وقت پیش کتاب «سنگ فرش هر خیابان از طلاست» (ماجرای زندگی موسس شرکت دوو کره (کیم وو جونگ) به قلم خودش) رو خوندم و خوشم اومد! بعد از اون تصمیم گرفتم که از این سبک نوشته ها حداقل سالی یه دونه بخونم، چون هم فال هستند و هم تماشا! از طرفی خیلی وقته که سراغ فیزیک اومدم، برای همین سعی کردم کتابهایی که انتخاب میکنم معطوف به فیزیکدان ها و ریاضیدان ها باشه. کتاب «دنیایی که من می بینم» نوشته آینشتین رو خوندم جالب بود. یک سری کتاب دیگه هم هست که فیزیک‌دان ها نوشته باشند: «جز و کل» نوشته‌ی هایزنبرگ، «زندگی چیست؟» نوشته‌ی شرودینگر و … همین طور چند تا فیلم خوب هم پیدا کردم؛ یکیشون «ذهن زیبا» داستان زندگی جان نش ریاضیدان برنده نوبل اقتصاد بود. یکی هم «آینشتاین و ادینگتون» که ماجرای نسبیت رو به تصویر میکشید و آخری هم فیلم «فاجعه‌ی چلنجر» ماجرای انفجار شاتل چلنجر و بررسی اون فاجعه توسط ریچارد فاینمن بود! دیدن این سه تا فیلم رو به علم (به ويژه فیزیک) دوستان پیشنهاد میکنم.

SurelyYoureJokingMrFeynman
اخیرا کتاب «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» Surely You’re Joking, Mr. Feynman!”: Adventures of a Curious Character رو خوندم! فوق العاده بود! ماجرای زندگی فاینمن به روایت خودش! اطلاعی در مورد ترجمه‌ی کتاب ندارم ولی شنیدم که این کتاب با مشخصات: «م‍اج‍راج‍وئ‍ی‌ه‍ای‌ ف‍ی‍زی‍ک‌دان‌ ق‍رن‌ ب‍ی‍س‍ت‍م‌ ری‍چ‍ارد ف‍ای‍ن‌ م‍ن‌/ رال‍ف‌ گ‍ی‍ل‌ ت‍ون‌؛ م‍ت‍رج‍م‍ی‍ن‌ ت‍وران‍دخ‍ت‌ ت‍م‍دن‌ (م‍ال‍ک‍ی‌)، اردوان‌ م‍ال‍ک‍ی‌/ ‏مشخصات نشر: ت‍ه‍ران‌: ع‍ل‍م‌، ۱۳۸۲» خیلی وقت پیش ترجمه شده (من توی بازار ترجمه شده ش رو ندیدم تاحالا، اگه هم باشه احتمالا هرس شده!) [دانلود کتاب]

فاینمن برنده جایزه نوبل فیزیک و همین طور جایزه های مهم دیگه ای هست و بیان اینکه فاینمن جزو ده فیزیکدان بزرگ کل تاریخه جفا نیست؛ اما چیزی که سبب شده تا فاینمن اینقدر محبوب بشه هیچ‌کدوم از این ها نیست! فاینمن جذاب و دوست داشتنی بود و هست چون که یک معلم فوق العاده بود و شخصیت جالبی داشت. درس گفتارهای فاینمن کماکان از بهترین دوره های فیزیکه! در مورد بقیه آثار فاینمن به صفحه‌ی ویکی پدیا فاینمن رجوع کنید!
آثار فاینمنکتاب «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» ماجرای زندگی فاینمن رو از دوران کودکی تا زمانی که جایزه نوبل رو می‌گیره شامل میشه (بقیه‌ی زندگی فاینمن توی کتاب «چه اهمیتی داره که مردم چی فکر میکنند؟» نوشته شده! اونم کتاب خوبیه، ولی به جذابیت این نیست!). «حتما شوخی می‌کنید آقای فاینمن!» جزو اون دسته از کتاب‌هاییه که واقعا جذابه، جوری که شما همه‌ش دوست دارید ببینید بعدش چی میشه! قول میدم خوندن این کتاب حسابی هیجان زده تون کنه!Continue reading

همه ما تا الان با ثابت های فیزیکی سر و کار داشتیم ( معمولا هر نظریه برای خود یک ثابت دارد ، سرعت نور در نسبیت ، ثابت پلانگ در کوانتوم ، ثابت گرانش در مکانیک کلاسیک و …) و بعضی وقت ها به خودمون این جسارت روو میدیم که بپرسیم چرا این اعداد این مقدار خاص روو به خودشون گرفتن و نه مقدار دیگه ای….، چرا برای اینکه قوانین طبیعت با ریاضیات بیان بشن به اونها نیاز دارن … مارتین ریس توو کتاب خودش به اسم “شش عدد حاکم بر جهان” مینویسه : ” آیا تنظیم این اعداد از یک حقیقت فاقد قدرت تعقل یایک تصادف ناشی شده است یا بیانگر مشیت خالقی مهربان است؟ به نظر من هیچ کدام ازآنها. ممکن است بی نهایت جهان دیگر وجود داشته باشد که اعدادشان متفاوت باشند.بسیاری از این جهان ها ممکن است عقیم یا مرده زاد باشند. ما فقط در جهانی می توانیمبه وجود آییم که ترکیب «صحیحی» از اجزا باشد (و به همین دلیل است که اکنون خود رادر این جهان می یابیم) درک این حقیقت چشم انداز نو و بنیادینی را در مورد جهان ما، جایگاه ما در این جهان و ماهیت قوانین فیزیکی پیش روی ما می گشاید.”

شاید ایراد از نوع پرسش ماست ، یه زمانی یوهانس کپلر خودش را برای فهمیدن یه رقم درگیر کرده بود ؛ چرا خورشید  ۱۵۰میلیون کیلومتراز زمین فاصله داره ؛ و اون برای دهه‌ها سعی می‌کرد این رقم رو توضیح بده ، اما موفق نشد ، چون اون سوال روو اشتباه پرسیده بود !!! شاید سوال درست این باشه که چرا ما انسانها خودمون روو روی اینچنین سیاره پیدا میکنیم که چنین شرایطی روو داره که بتونیم به حیات ادامه بدیم ! اگر زمین ازخورشید دور یا نزدیک تر از مقدار فعلی بود به دلیل سرد یا گرم بود ن ، حیات اجازه ظهور  نداشت و ما الان نبودیم که بخوایم درباره این فاصله حرف بزنیم …

مارتین ریس توو مقدمه کتاب جدید خودش به اسم ” زیستگاه کیهانی ما ” پا روو از این فراتر میزاره و میگه : “راز اصلی این است که چرا اصلا چیزی وجود دارد !! چگونه معادلات فیزیک به زندگی نفس می دهد و آن را ( زندگی را ) در جهان واقع تحقق می بخشد .”

بعد در حالت کلی ثابت ها به دو دسته دارای بُعد و بدون بُعد تقسیم میشوند که دسته اول معمولا در فیزیک قرار دارند و به دستگاه اندازه گیری و واحد اندازه گیری وابسته هستن و دسته دوم معمولا در ریاضیات است ( مثل عدد پی ) و از دستگاه اندازه گیری و نوع واحد های تعیین شده برای اندازه گیری مستقل هستند ، به طور مثال بسته به اینکه در چه سیستم واحدی دارید اندازه گیری میکنید سرعت نور میتونه عدد متفاوتی باشه ولی با هر خط کشی شما عدد پی روو اندازه بگیرید همون عدد در میاد ( البته فک کنم به جز خط کشی که واحد اون لگاریتمی باشه)