پیچیدگی چیست؟!

حدود۳۳۰ سال پیش، نیوتون با انتشار شاهکار خود، اصول ریاضی فلسفه طبیعی، نگاهی جدید نسبت به بررسی طبیعت  را معرفی کرد. نگاه نیوتون به علم به کمک نظریه الکترومغناطیس که توسط مکسول جمع بندی و در نهایت توسط آلبرت اینشتین کامل شد، شالوده فیزیک‌کلاسیک را بنا نهاد. انقلاب بعدی علم، توسط مکانیک کوانتومی رخ‌داد. ‌آن‌چه که مکانیک کوانتومی در قرن ۲۰ میلادی نشانه گرفت، مسئله موضعیت در فیزیک کلاسیک و نگاه احتمالاتی به طبیعت بود. نگاهی که سرانجام منجر به پارادایمی جدید در علم، به عنوان فیزیک مدرن شد. با این وجود، علی‌رغم پیشرفت‌های خارق‌العاده در فیزیک و سایر علوم، کماکان در توجیه بسیاری از پدیده‌ها وا مانده‌ایم. پدیده‌هایی که همیشه اطرافمان حاضر بوده‌اند ولی هیچ‌موقع قادر به توجیه رفتار آن‌ها نبوده‌ایم. بنابراین، می‌توان به این فکر کرد که شاید در نگاه ما به طبیعت و مسائل علمی، نقصی وجود داشته باشد. به‌ دیگر سخن، بعید نیست که مجددا نیاز به بازنگری در نگاهمان به طبیعت (تغییر پارادایم) داشته باشیم؛ عده‌ی زیادی معتقدند آن‌چه که در قرن ۲۱ام نیاز است، نگاهی جدید به مبانی علم است؛ نگاه پیچیدگی!

سردمداران فیزیک مدرن – پنجمین کنفرانس سُلوی (۱۹۲۷).

گاهی گفته می‌شود که ایده پیچیدگی، بخشی از چهارچوب اتحاد بخشی برای علم و انقلابی در فهم ما از سیستم‌هایی مانند مغز انسان یا اقتصاد جهانی است که رفتار آن‌ها به‌سختی قابل پیش‌بینی و کنترل است. به همین خاطر، سوالی مطرح می‌شود؛ آیا چیزی به عنوان «علم پیچیدگی» وجود دارد یا اینکه پیچیدگی متناظر با هر شاخه‌ای از علم، دارای شیوه خاص خود است و مردم در رشته‌های مختلف مشغول سر و کله زدن با سیستم‌های پیچیده زمینه کاری خود هستند؟! به عبارت دیگر، آیا یک پدیده طبیعی مجرد به اسم پیچیدگی، به عنوان بخشی از یک نظریه خاص علمی در سیستم‌های متنوع فیزیکی (شامل موجودات زنده)  وجود دارد یا اینکه ممکن است سیستم‌های پیچده گوناگونی بدون هیچ وجه مشترک وجود داشته باشند؟! بنابراین، مهم‌ترین سوالی که در زمینه پیچیدگی می‌توانیم بپرسیم این است که، به‌ راستی پیچیدگی چیست؟ و در صورت وجود پاسخ مناسب به این پرسش، به دنبال این باشیم که آیا برای تمام علوم یک نوع پیچیدگی وجود دارد یا اینکه پیچیدگی وابسته به حوزه مورد مطالعه است!

در مورد تعریف پیچیدگی، هنوز اتحاد نظری بین متخصصان یک رشته خاص، مانند فیزیک، وجود ندارد، چه برسد به تعاریفی که در رشته‌های متنوع مطرح می‌شود. این تعاریف در ادامه نقد و بررسی می‌شوند. با این وجود، مشترکات زیادی در بین تعاریف موجود وجود دارد که برای شروع بحث، مرور آن‌ها خالی از لطف نیست:

  • برای ما، پیچیدگی به معنای وجود ساختار به همراه تغییرات است. (۱)
  • از یک جهت، سیستم‌پیچیده، سیستمی است که تحول آن شدیدا به شرایط اولیه و یا اختلال‌های کوچک حساس است. سیستمی شامل تعداد زیادی قسمتِ مستقلِ درحالِ برهمکنش با یکدیگر که می‌تواند مسیرهای مختلفی برای تحولش را بپیماید. توصیف تحلیلی چنین سیستمی قاعتدا نیاز به معادلات دیفرانسیل غیرخطی دارد. از جهت دیگر، می‌توانیم نگاهی غیررسمی داشته باشیم، به این معنا که اگر بخواهیم قضاوتی داشته باشیم، سیستم «بغرنج (complicated) » است و قابلیت اینکه دقیقا به طور تحلیلی یا نوع دیگری توصیف شود  وجود نداشته باشد.(۲)
  • به طور کلی، صفت «پیچیده»، سیستم و یا مولفه‌ای را توصیف می‌کند که فهم یا تغییر طراحی و/یا عملکرد آن دشوار باشد. پیچدگی توسط عواملی چون تعداد مولفه‌های سازنده و روابط غیربدیهی بین‌ آن‌ها، تعداد و روابط غیربدیهی شاخه‌های شرطی، میزان تودرتو بودن و نوع ساختمان داده است. (۳)
  • نظریه پیچیدگی بیان می‌کند که جمعیت زیادی از اجزا، می‌توانند به سمت توده‌ها خودسازماندهی کنند و منجر به ایجاد الگو، ذخیره اطلاعات و مشارکت در تصمیم‌گیری جمعی شوند. (۴)
  • پیچیدگی در الگوهای طبیعی نمایانگر دو مشخصه کلیدی است؛ الگوهای طبیعی حاصل از پردازش‌های غیرخطی، آن‌هایی که ویژگی‌های محیطی که در آن عمل می‌کنند یا شدیدا جفت‌شده‌اند  را اصلاح می‌کنند و الگوهای طبیعی که در سیستم‌هایی شکل می‌گیرند که یا باز هستند یا توسط تبادل انرژی، تکانه، ماده یا اطلاعات توسط مرزها از تعادل خارج شده‌اند. (۵)
  • یک سیستم پیچیده، دقیقا سیستمی است که برهم‌کنش‌های چندگانه‌ای بین عناصر متفاوت آن وجود دارد. (۶)
  • سیستم‌های پیچیده، سیستم‌هایی با تعداد اعضای بالایی هستند که نسبت به الگوهایی که اعضای آن می‌سازند، سازگار می‌شوند یا واکنش نشان می‌دهند. (۷)
  • در سال‌های اخیر، جامعه علمی، عبارت کلیدی «سیستم‌ پیچیده‌»  را برای توصیف پدیده‌ها، ساختار، تجمع‌ها، موجودات زنده و مسائلی که چنین موضوع مشترکی دارند را مطرح کرده است: ۱) آن‌ها ذاتا بغرنج و تودرتو هستند. ۲) آن‌ها به ندرت کاملا تعینی هستند. ۳) مدل‌های ریاضی این گونه سیستم‌ها معمولا پیچیده و شامل رفتار غیرخطی، بدوضع (ill-posed) یا آشوبناک هستند. ۴) این سیستم‌ها متمایل به بروز رفتارهای غیرمنتظره (رفتارهاری ظهوریافته) هستند. (۸)
  • پیچیدگی زمانی آغاز می‌شود که علیت نقض می‌شود! (۹)

شمایی از موضوعات مطرح در سیستم‌های پیچیده – نگاره از ویکی‌پدیا

در مورد تعاریف فوق ابهاماتی وجود دارد؛ در (۱) باید ساختار و تغییرات را به درستی و دقت معنا کنیم. در (۲) باید به دنبال تلفیق سیستم‌های پیچده و مفاهیمی چون غیرخطی، آشوب‌ناک و بس‌ذره‌ای بودن باشیم و به درستی مشخص کنیم که آیا این‌ ویژگی‌ها شرط لازم / کافی برای یک سیستم پیچیده هستند یا نه. (۳) و (۴) مفاهیم محاسباتی و موضوعاتی از علم کامپیوتر را مطرح می‌کند که به خودی‌خود مسائل چالش‌برانگیزی هستند! (۵) ایده مرکزی غیرخطی بودن را مطرح می‌کند؛ در ادامه می‌بینیم با این که تعداد زیادی از سیستم‌های پیچیده از ویژگی غیرخطی بودن تبعیت می‌کنند، با این وجود غیرخطی بودن نه شرط لازم و نه شرط کافی برای پیچیدگی است. در مورد (۶) و (۷) نیز باید تاکید کنیم که بس‌ذره‌ای بودن و شامل اعضا/عناصر/مولفه/افراد زیادی بودن نیز شرط کافی برای پیچیدگی نیست.  در ادامه خواهیم دید، تعریف (۸) که ایده‌ی برآمدگی (ظهوریافتگی یا Emergence) را مطرح می‌کند می‌تواند مفهومی بسیار گیج‌کننده باشد برای اینکه به کمک آن بتوانیم سیستم‌های پیچیده را تمیز و تشخیص دهیم. در مورد تعریف (۹) باید بحث زیادی کنیم چرا که افراد زیادی در برابر نقص علیت ناراحت خواهند شد! به همین دلیل است که گاهی درک سیستم‌های پیچیده برای مردم دشوار است.

بنابراین با توجه به ابهامات تعاریف افراد مختلف در حوزه‌های گوناگون علم، بهتر از است که مفاهیم وابسته به پیچدگی را بررسی کنیم.

Continue reading

Allahاین پست آغازگر سلسله پست های من درباره ی گذار فاز هست. در واقع بنا دارم مفاهیم اصولی و پایه ای که در این باره وجود دارد را طی چند مطلب به صورت کامل و جامع  در اختیارتون قرار بدم. در این پست صرفا تصمیم دارم راجع به مفهوم و ماهیت فاز و گذار فاز صحبت کنم و در پست های بعدی مطالبم رو بسط بدم.

همانطور که از معنای لغوی اون پیداست، گذار فاز، یعنی از یک فاز به فاز دیگر رفتن! فازهای مختلف مواد رو از قبل میشناسیم. اما گذار بین آن‌ها رو چطور؟ در ساده‌ترین حالت می‌توانم بگویم آب، یخ بزنه و از فاز مایع به فاز جامد تبدیل شود. اما آیا از مفهوم گذار فاز این چنان سطحی می‌توان گذشت؟ پاسخ قطعا یک “نه” محکم است.

  • از فاز تا گذار فاز با یک مثال ملموس:
گذار فازهای مختلف

گذار فاز عبارتست از انتقال یک سیستم ترمودینامیکی از یک فاز یا حالت ماده به حالتی دیگر 

ما از اصطلاح فاز برای توضیح حالت خاصی از ماده مثل جامد ، مایع یا گاز استفاده می‌کنیم.  ترکیب آب در فاز جامد به صورت یخ، در فاز مایع به صورت آب و در فاز گازی به صورت بخار است. گذار از یک فاز به فاز دیگر، تغییر فاز یا گذار فاز نامیده می‌شود. نکته‌ی مهم این است که برای هر فشار معین، تغییر فاز در دمای معینی اتفاق می‌افتد، که معمولاً با جذب و گسیل گرما و تغییر حجم و چگالی همراه است. آب شدن یخ مثال آشنایی از تغییر فاز است. وقتی به یخ صفردرجه‌ی سانتیگراد در فشار جوی عادی گرما دهیم، دمای یخ افزایش نمی‌یابد. درواقع  مقداری از آن به شکل آب ذوب می‌شود. اگر به آرامی گرما را اضافه کنیم تا دستگاه خیلی نزدیک به تعادل گرمایی بماند، دما در صفردرجه ی سانتیگراد باقی می‌ماند تا تمام یخ ذوب شود. اثر افزودن گرما به این دستگاه بالا بردن دمای آن نیست، بلکه گذار فاز از جامد به مایع است.

پس باید شرایطی برقرار شود تا گذار اتفاق بیفتد. اما چگونه باید این شرایط را توصیف کرد؟علم توصیف این شرایط چیزی نیست جز مکانیک آماری. مکانیک آماری همان دانشی است که مثل یک پل به ما کمک می‌کند از فیزیک میکروسکوپی به پدیده‌های ماکروسکوپیک برسیم. پس در بحث گذار فاز نوع نگاه ما نیز مهم است. وقتی با ابزار مکانیک آماری در این موضوع روبه‌رو می‌شویم باید یک نگاه جمع‌گونه به مساله داشته باشیم. به نوعی انگار قرار است رفتار جمعی ذرات را (نه خود ذرات را به تنهایی) بررسی کنیم، بع این صورت که بر اساس درجات آزادی هامیلتونی را می‌نویسیم و سپس مساله را حل می‌کنیم (برخلاف روند اولیه که یاد گرفتیم).

علم ترمودینامیک و متغیرهای ترمودینامیکی همانند بسیاری مسائل که در توصیف طبیعت بکار می‌آیند، بازهم نقشی محوری برای ما بازی می‌کنند. بهترین پارامترهایی که سیستم‌‌های در حال گذار رو توصیف می‌کنند همان متغیرها هستند. دما، حجم، فشار و …

خوب است بدانید که در بررسی مسائل که با گذار فاز سروکاردارند، با مفاهیم متفاوتی روبه‌رو می‌شویم که درک آن‌ها برای توصیف پدیده ضروری است. برای مثال ممکن است با توابع ترمودینامیکی روبه‌رو شویم که دارای تکینگی یا ناپیوستگی هستند. از پدیده‌های مهم در این زمینه می‌توان به چگالش گازها، ذوب جامدات، پدیده‌های فرومغناطیس و آنتی‌فرومغناطیس، گذار نظم – بی نظمی در آلیاژها، گذار ابرشاره از هلیومI به هلیومII و گذار از حالت معمولی ماده به ابررسانا اشاره کرد.

همانطور که دیدید به شرایط گذار اشاره کردیم. یکی از مهمترین پارامترها در این زمینه دما است. ما دمایی را به عنوان دمای بحرانی تعریف میکنیم. در بالاتر از این دما و پایین‌تر از آن خواص ماده‌ای که در پدیده‌ی ما شرکت می‌کند متفاوت می‌گردد و سروکله یک سری روابط عجیب و غریب ریاضی که وجه اشتراک همشون تکینگی هست پیدا می‌شود.  ناحیه‌ای که این دما در آن تعریف می‌شود ناحیه‌ی بحرانی می‌گویند. پس با یک مفهوم جدید روبه‌رو شدیم و آن “بحرانیت” است که در پست‌های آینده به اون خواهیم پرداخت.

اگر کتاب‌های ترمودینامیک رو دیده باشید مشاهده می‌کنید که برای شرط تعادل بین فازهای یک ماده برابری تابع انرژی آزاد گیبس اون‌ها هست.

{\displaystyle G\equiv U+PV-TS\,}

یا بطور معادل: 

{\displaystyle G\equiv H-TS\,}

که در آن: U انرژی درونی، P فشار، V حجم، T دما برحسب کلوین، S آنتروپی و H آنتالپی .

در بحث گذار فاز نیز باهمین توابع روبه‌رو هستیم. در واقع باید تابع گیبس سیستم رو بدست آوریم و ببینیم کدام مشتق آن (در چه مرتبه‌ای) از خود ناپیوستگی نشان می‌دهند و براین اساس گذار را به دو دسته‌ی مرتبه اول و دوم تقسیم می‌کنیم.

خب در این پست من فقط تلاش کردم مفهوم کلی گذار فاز و اینکه چه اتفاقی در اون میفته رو شرح مختصری بدم. مفاهیمی از قبیل بحرانیت، جهان شمولی، گذار از نظم به بی نظمی و … مطالبی هستند که من در آینده راجع بهشون براتون خواهم گفت و منابع خوبی رو هم در اختیارتون خواهم گذاشت.

در پست قبل در مورد بالانس تئوری یا نظریه توازن صحبت کردیم و نشون دادیم که به کمک یک مدل ساده و ابتدایی می‌تونیم به جوامع، متناسب با نوع رابطه‌ی اعضا با همدیگه، انرژی نسبت بدیم و مقدار این انرژی به ما میگه که جامعه مد نظر در چه وضعیتی از توازن قرار داره.

 یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.

یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.

بنابر بهنجارش، اگر انرژی جامعه‌ ۱- به‌دست بیاد، جامعه کاملا متوازن یا بالانس هست که این در صورتی رخ میده که همه اعضای جامعه دوست همدیگه باشند و یا اینکه جامعه دو قطبی بشه، یعنی جامعه به دو زیر مجموعه تقسیم بشه به نحوی که درون زیرمجوعه‌ها اعضا دوست باشند اما هر عضوی از این زیرمجوعه با اعضای زیرمجوعه‌ی مقابل دشمن باشه. همین‌طور اگر انرژی جامعه بیشتر از ۱- به‌دست بیاد یعنی جامعه نامتوازن‌ هست و هر چقدر که انرژی به ۱+ (کران بالای انرژی بنابر بهنجارش) نزدیک‌تر باشه جامعه نامتوازن‌تر هست که به معنی وجود امکان نزاع و درگیری در بین اعضاست.

طی این پست‌ می‌خوایم ببینیم اگر به یک جامعه با شرایط اولیه مشخص (جمعیت و انرژی اولیه)، عضو جدیدی وارد بشه چه اتفاقی می‌افته. اما قبل از اون اجازه بدید که مدل باراباشی-آلبرت رو معرفی کنیم.

همه‌ی ما گزاره‌های این شکلی رو زیاد شنیدم: «پول، پول میاره» یا «ثروتنمندان، ثروتمندتر میشند و فقرا فقیرتر».  بد نیست بدونید که جامعه‌شناسان به این پدیده می‌گند اثر متیو (Matthew Effect). ماجرا از اینجا شروع میشه که درون شبکه‌هایی مثل وب(www)، اینترنت، شبکه استناد (citation networks) و شبکه‌های اجتماعی  اعضایی وجود دارند که علی‌رغم تعداد کمشون، توجه زیادی از شبکه رو به خودشون معطوف می‌کنند.

 

توزیع قاون‌توانی، قسمت سبز رنگ ۸۰٪ از شبکه را شامل می‌شود و دم‌دراز زرد رنگ ۲۰٪ باقی‌مونده را.

توزیع قاون‌توانی، قسمت سبز رنگ ۸۰٪ از شبکه را شامل می‌شود و دم‌دراز زرد رنگ ۲۰٪ باقی‌مانده را.

به عنوان مثال در بین تمام سایت‌ها گوگل، ویکی‌پدیا و فیس‌بوک بیشترین بازدیدکننده‌ها و پیوندها رو دارند یا مثلا در جامعه‌ی ما، محمدرضا شجریان، حسین علیزاده و کیهان کلهر  جزو برجسته‌ترین هنرمندان موسیقی سنتی هستند، در مقایسه با جمعیت هنرمندان موسیقی، این افراد تعدادشون کمه. با این‌وجود شهرت و محبوبیشون از همه هنرمندان بیشتره. این شبکه‌ها، شبکه‌های بی‌مقیاس (scale-free) هستند به این معنی که توزیع درجه در این شبکه‌ها با تقریب خوبی از یک الگوی قانون‌توانی(power law) پیروی می‌کنه. این چندتا جمله‌ی سخت که گفتم یعنی اینکه وقتی ما این شبکه‌ها رو با یک گراف نمایش می‌دیم، درجه ‌رئوس متناسب با وارون فراوانی(تعداد) اون رئوس هست . یعنی هرچی راسی درجه‌ش بیشتر باشه (تعداد یال‌های بیشتری بهش متصل بشند) فراوانیش کمتره و هر چقدر درجه راسی کم‌تر باشه فراوانیش بیشتره! همون‌جوری که تعداد سایت‌هایی مثل گوگل تعدادشون خیلی کمه، چون درجه‌شون زیاده.

رشد یک شبکه مطابق با مدل باراباشی-آلبرت که در هر مرحله راس جدید به ۲ راس قبلی وصل می‌شود.

کار آلبرت باراباشی و رکا آلبرت معرفی الگوریتمی بود که قادره چنین شبکه‌هایی رو مدل‌سازی کنه. این الگوریتم صرف‌نظر از تصادفی بودن باید گرافی رو تولید کنه که توزیع درجه‌ رئوسش قانون‌توانی باشه. برای همین اساس این مدل دو چیزه: ۱) رشد: در طی زمان رئوس جدیدی به شبکه اضافه می‌شند. ۲) اتصال ترجیحی: رئوس جدید ترجیح می‌دند به رئوسی وصل بشند که درجه‌ی بالاتری دارند (هر کسی دوست داره به کسی وصل بشه که قدرت بیشتری داره!). برای همین این الگوریتم ابتدا یک شبکه متصل (همبند) با m_0 راس ایجاد می‌کنه. بعد از اون، در هر مرحله، راسی اضافه می‌شه و به m \le m_0 راس قبلی وصل میشه. این راس بر اساس درجه‌شون انتخاب می‌شند: یعنی احتمال اینکه راس جدید به iامین راس موجود درگراف وصل بشه برابره با نسبت درجه راس iام به مجموع درجات کل رئوس. این سبب میشه که «هاب» در شبکه به‌وجود بیاد. هاب‌ها رئوسی هستند که درجه‌ شون از بقیه رئوس شبکه بیشتره. (شجریان یک هاب به حساب میاد در بین خواننده‌ها همون‌جوری که گوگل یک هابه در بین سایت‌ها!). يادتون باشه که در مدل باراباشی-آلبرت وزن هر یال ۱ است!

 

خیلی خب، الان وقتشه که بریم سراغ کاری که می‌خواستیم انجام بدیم. جامعه‌ای رو فرض کنید با جمعیت m_0 که اعضای اون با احتمال p دوست هم باشند. این جامعه مطابق با پست قبل توسط یک گراف کامل مدل میشه که انرژی شبکه برابر با تفاضل تعداد مثلث‌های متوزان با مثلث‌های نامتوازن تقسیم بر تعداد کل مثلثهاست. حالا فرد جدیدی وارد این جامعه میشه و این شخص ترجیح میده با کسایی دوست بشه که محبوبیت بیشتری در جامعه دارند (اتصال ترجیحی). به این معنی که کسایی که دوستای بیشتر و دشمنای کمتری دارند گزینه‌های بهتری هستند برای دوست شدن. برای همین ما به هر راس یک انرژی نسبت می‌دیم به این صورت که اگر راسی fتا دوست و eتا دشمن داشته باشه، انرژی اون راس برابر با  e – f هست.

نمایش جامعه‌ای ده نفری که در آن دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده‌ است.

نمایش جامعه‌ای ده نفری که در آن دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده‌ است.

پس رئوسی که -طبق تعریف- انرژی کم‌تری دارند گزینه‌های بهتری هستند برای دوستی. فرد جدید به صورت تصادفی با محبوب‌ترین فرد، یعنی راسی که کمترین انرژی رو داره دوست میشه. همون جوری که توی پست قبلی دیدید، دوستی بین دو نفر وقتی محکم‌تر میشه که با دوستای هم دوست و با دشمنای هم دشمن بشند(اصل تولی و تبری!). بنابراین شخص تازه‌وارد بعد از دوست شدن با محبوب‌ترین فرد جامعه، به صورت تصادفی سعی می‌کنه با حداکثر j تا از دوستای با کمترین انرژی فرد محبوب دوست و حداکثر با k تا از دشمنای با بیشترین انرژی اون دشمن بشه. بنابراین افراد تازه‌وارد در شبکه، نوع رابطه‌شون رو بر اساس انرژی، که مبین محبوبیت در جامعه هست تنظیم میکنند. در نتیجه افراد قبل از برقراری ارتباط چک می‌کنند تا با افرادی که انرژی کمتری دارند دوست و با کسانی که انرژی بیشتری دارند دشمن بشند. ما می‌خوایم ببینیم که بعد اضافه شدن m تا راس به این شبکه انرژی شبکه چه جوری تغییر می‌کنه. از اونجایی که بعد از اضافه شدن رئوس دیگه گراف ما کامل نیست (بعضی‌ها دیگه با هم هیچ نوع رابطه‌ای ندارند) ممکنه این پرسش به ذهنتون برسه که خب انرژی رو چه جوری حساب کنیم؟! درسته که بعضی از رئوس تشکیل مثلث نمی‌دند، با این وجود، مجددا، طبق تعریف، انرژی شبکه برابر با تفاضل تعداد مثلث‌های متوزان با مثلث‌های نامتوازن تقسیم بر تعداد کل مثلثهاست.

کاری که ما به کمک چندخط (نزدیک به ۲۰۰خط) برنامه‌نویسی يا پایتون انجام دادیم اینه که یک جامعه ۱۰ نفری رو به ۱۰۰ نفر رسوندیم و با توجه به توضیحاتی که دادم، در نهایت انرژی شبکه، توزیع درجه رئوس و چیزایی که نیاز داشتیم رو حساب کردیم.

نمایش جامعه‌ای ۱۰۰ نفری پس از رشد و اتصال ترجیحی - دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده‌ است. شمال شرقی شبکه متراکم‌تر است!

نمایش جامعه‌ای ۱۰۰ نفری پس از رشد و اتصال ترجیحی – دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده‌ است. شمال شرقی شبکه متراکم‌تر است!

ما ۱۰۰ حالت ممکن رو به عنوان شرایط اولیه تست کردیم، به این صورت که۱۰۰ جامعه ۱۰ نفری درست کردیم که هر جامعه احتمال اینکه اعضاش در ابتدا با همدیگه دوست (و متعاقبا دشمن) باشند متفاوت بوده. احتمالی که به جامعه‌ iام نسبت دادیم، برابر با (۱۰۰- i)٪ ، بوده. بنابراین ما مسئله رو برای ۱۰۰ حالت از شرایط اولیه مختلف حل کردیم. از شرایط مرزی مسئله اینه که هر مرتبه که راسی اضافه میشه، بعد از دوست شدن با محبوب‌ترین فرد، با چندتا از دوستای اون دوست و با چند تا از دشمنای اون دشمن میشه یا به عبارتی مقدار j و k چنده؟ (نگاه کنید به توضیحات بالا). به خاطر توان محاسباتی کامپویترهامون، ما تونسیتم این شرایط رو آزمایش کنیم:

$$\left ( j,k \right )= \left \{ (3,3),(3,4),(4,3),(4,2),(2,4),(4,0),(0,4),(8,0),(0,8) \right \}$$

منظور از (j , k) شرایطیه که فرد تازه وارد به طور تصادفی، حداکثر با j نفر از دوستان با انرژی کم‌تر فرد محبوب که برای دوستی انتخاب شده، دوست و حداکثر با k نفر از دشمنان با انرژی بالا فرد محبوب دشمن بشه. مجموعه بالا هم حالت‌هایی هست که ما زورمون رسید و انجام دادیم. از اونجایی که آزمایش ما پر از فرایند‌های تصادفی هست، هر آزمایش رو ۱۰ مرتبه تکرار کردیم. ما دنبال این بودیم که ببینم چه بلایی بر سر توازن جامعه بعد از رشد و اتصال ترجیحی میاد. برای همین چیزی که گزارش شده، نسبت‌ جواب‌هایی هست که انرژی شبکه‌ کاهش پیدا کرده به کل جواب‌ها در هر آزمایش پس از رشد و اتصال ترجیحیه! به عبارت دیگه، ما ۱۰۰ جامعه رو با شرایط مرزی متفاوت، هر کدوم رو ۱۰ مرتبه، در بوته‌ی آزمایش قرار دادیم و با توجه به اینکه بعد از این آزمایش‌ها چقدر جوامع ما به سمت بالانس شدند  پیش‌رفتند، نمودارهای زیر رو رسم  کردیم:

۱) تعداد دوست بیشتر از دشمن(j> k) :

تعداد دوست بیشتر از تعداد دشمن

تعداد دوست بیشتر از تعداد دشمن (j> k)

چیزی که مشاهده میشه اینه که هر چی j بزرگ‌تر از k باشه، به عبارتی j-k هر چقدر بزرگ‌تر باشه شبکه شانس بیشتری برای کاهش انرژی داره!

۲) تعداد دوست برابر با دشمن(j = k) :

3f 3e

تعداد دوست برابر با دشمن(j = k)

با توجه به نمودار قبل و این نمودار، جوامعی که در ابتدا دوستی و دشمنی با احتمال تقریبا برابری توزیع شده، شانس بیشتری برای رفتن به سمت توازن دارند.

۲) تعداد دوست کم‌تر از دشمن(j  < k) :

 

تعداد دوست کم‌تر از دشمن (j<k)

تعداد دوست کم‌تر از دشمن (j<k)

مجددا نتیجه‌ی قسمت اول، j-k هر چقدر کوچک‌تر باشه شبکه شانس کم‌تری برای رسیدن به انرژی کم‌تر داره! در دو نمودار بالا که j=0  می‌بینیم هیچ کدوم از جوامع شانس متوازن شدن رو ندارند! همین طور در شبکه‌ پایین-چپ که j=2 و k=4 با اینکه جوامع شانس بیشتری نسبت به j=0 برای کاهش انرژی دارند با این وجود، هیچ کدوم از جوامع ۱۰۰٪ این شانس رو ندارند. در نهایت در شبکه‌ پایین-راست  j=3 و k=4  امیدی برای شبکه‌ها وجود داره که کاملا به انرژی کم‌تری برسند!

از اونجایی که مدل ما هم شامل رشد و  اتصال ترجیحی است باید خاصیب بی‌مقیاسی از خودش نشون بده، به عبارت دیگه توزیع درجه رئوس در گراف جامعه ما باید قانون‌توانی باشه. در پایان نمودار درجه راس برحسب فراوانی برای جامعه‌ای که ابتدا ۱۰ نفر داشته و در نهایت به ۵۰۰ نفر رسیده با شرط مرزی j=k=3 رو مشاهده ‌می‌کنید:

۴۰٪ جمعیت اولیه دوست یکدیگرند

۴۰٪ جمعیت اولیه دوست یکدیگرند

۶۰٪ جمعیت اولیه دوست یکدیگرند

۶۰٪ جمعیت اولیه دوست یکدیگرند

این اولین پستیه که قراره در مورد چیزایی حرف بزنم که کسی در موردش زیاد نشنیده و نخونده. یک موضوع جدید و در حال توسعه که به نظرم به شدت جذابه. خب یک سری مشکلات هست توی این پست از جمله اینکه خیلی از عبارت‌ها رو «من» ترجمه کردم و هنوز ترجمه‌ی رسمی براشون ارائه نشده و یا اینکه لااقل هنوز عرف نشدند. ممکنه یک سری ایراد علمی هم وارد بشه که در آینده تصحیحشون می‌کنم. موضوع این پست Balance Theory هست، اما از اونجایی که اگر «نظریه تعادل» ترجمه بشه خیلی‌ها ممکنه در نگاه اول یاد تعادل نش یا نظریه تعادل عمومی بیفتند من به جای واژه‌ی «تعادل» از واژه‌ی «توازن» استفاده می‌کنم تا اطلاع ثانوی! درضمن مدلی که در ادامه مطرح میشه یک مدل ساده و ابتدایی هست، بنابراین احتمالا بعضی از سوال‌های شما رو در حوزه‌ی علوم اجتماعی و/یا علوم سیاسی بی‌جواب میذاره!

 

خیلی خب، سه‌ نفر رو فرض کنید که می‌تونند دوست یا دشمن همدیگه باشند. همین‌طور دوستی و دشمنی رو متقابل فرض کنید، یعنی اگر کسی رو دوست دارید، اونم شما رو دوست داره. حالا اگر این سه نفر دوست هم باشند، اون موقع همه چیز خوبه و تنشی پیش نمیاد؛ دوست دوست شما، دوست شماست! اصطلاحا میگیم این مجموعه‌ سه نفری در توازن قرار داره و یا اینکه متوازن -balanced- هست. اما اگر از بین این سه نفر دو نفر رابطه‌ی خوبی با همدیگه نداشته باشند اون‌موقع ممکنه تنش پیش بیاد. به عنوان مثال فرض کنید که شما، همسرتون و مادرتون رو دوست دارید با این وجود، متاسفانه، مادرتون و همسرتون رابطه‌ی خوبی با همدیگه ندارند.

 یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.

یک شبکه نامتوازن بین آلیس، باب و کرول.دوستی با خط و دشمنی با خط‌چین مشخص شده است.

اجازه بدید ،از این به بعد، به خاطر راحتی بیشتر از واژه‌های دقیق «دوست» و «دشمن» برای نوع روابط استفاده کنیم و دوستی رو کاملا ۱+ و یا ۱- فرض کنیم. بنابراین شما و همسرتون دوست، شما و مادرتون دوست ولی همسر شما و مادر شما دشمن همدیگه هستند. اینجا توازن از بین میره، به عنوان مثال کافیه شما هدیه‌ای برای مادرتون بخرید، در این صورت همسرتون شاکی میشه و مجبورید شب رو توی کوچه بخوابید! حالا فرض کنید که شما و آرش، هم‌زمان از یکی از همکار/هم‌کلاسی‌هاتون به اسم احسان متنفرید. خب طبق یه قاعده‌ی قدیمی، داشتن دشمن مشترک دوستی میاره و یا اینکه دشمن دشمن شما، دوست شماست. آرش دشمن احسان و احسان دشمن شماست پس طبق این قاعده شما و آرش دوست هستید. این مجموعه هم متوازنه. حالت دیگه که ممکنه پیش بیاد این هست که شما، میثم و سهیل هر سه دشمن همدیگه باشید، خب به وضوح مشخصه که این مجموعه نامتوازن هست؛ هر لحظه ممکنه کسی علیه کسی شورش کنه!

تا اینجا چارچوب بحث ما در مورد توازن مشخص شد. جذابیت این موضوع برای ما دانشمندان (!) زمانی شروع میشه که به فکر مدل‌سازی این چارچوب باشیم. ایده‌ی اصلی این کار توسط هایدر (۱۹۵۸) مطرح شد. مثلثی فرض کنید که هر راسش یکی از سه نفر بالا باشه و ضلعی که هر دو راس رو بهم متصل میکنه رو به عنوان رابطه اون دو راس(نفر) در نظر بگیرید. اگر دو نفر دوست هم باشند، به ضلعی که دو راس متناظر با اون دو نفر رو  متصل میکنه، ۱+ نسبت میدیم و اگر دو نفر دشمن هم باشند به ضلع متصل کننده  ۱-.

اجازه بدید از نظریه‌ی گراف کمک بگیریم. مطابق شکل ما یک گراف کامل با ۳ راس و ۳ یال داریم که رئوس، نماینده‌ی اعضای مجموعه و یال‌ها تعیین کننده نوع رابطه (دوستی یا دشمنی) بین رئوس هستند. با توجه به چارچوب بالا اگر تعداد یال‌های منفی که با خط چین توی شکل زیر مشخص شده‌ند فرد باشند (یکی یا سه‌تا) اون‌موقع گراف ما و یا شبکه ما نامتوازن -unbalanced- خواهد شد.

Screenshot from 2015-08-04 20:26:34

شبکه‌های متوازن و نامتوازن و نوع آرایش آن‌ها

بنابراین مدلی که به عنوان یک «شبکه‌ اجتماعی» برای توصیف روابط بین انسان‌ها و متوازن بودنشون مطرح می‌کنیم این جوری ساخته میشه:

  1. با توجه به افراد،‌سازمان‌ها، کشورها و هرچیزی که روابط دوستی یا دشمنی دارند ما یک گراف کامل از مرتبه تعداد اعضا مشخص می‌کنیم. گراف کامل هست چون که فرض بر اینه که همه‌ی اعضا همدیگه رو می‌شناسند و رابطه دارند. به عنوان مثال به کشورهای عضو سازمان ملل فکر کنید که یا از هم خوششون میاد یا از هم بدشون میاد!
  2. هر یال یا مثبته و یا منفی. هیچ حالت بینابینی وجود نداره.
  3. یک مثلث متوازن (balanced) است اگر و تنها اگر حاصل‌ضرب علامت یال‌های آن مثبت باشه. (اگر تعداد یال‌های منفی فرد باشه: (-,-,- یا -,+,+) اون‌موقع گراف ما و یا شبکه ما نامتوازن خواهد شد.)

    شیوه‌ی قطبیده شدن جهان به دو بلوک شرق و غرب قبل از جنگ‌جهانی اول

    شیوه‌ی قطبیده شدن جهان به دو بلوک شرق و غرب قبل از جنگ‌جهانی اول

خب حالا فرض کنید که ما یک شبکه‌ی مشخص از اعضا و روابطشون داریم:

  • آیا می‌تونیم بگیم که اوضاع این شبکه چقدر متوزانه؟
  • آیا می‌تونیم با در نظر گرفتن شبکه‌ی کشورهای دنیا و روابطشون بگیم آیا ممکنه بین دو کشور صلح برقرار بشه؟ یا اگه بین دو کشور صلح برقرار شد، اون موقع این صلح موضعی (منطقه‌ای) چه اثراتی روی صلح جهانی داره؟ به عبارت دیگه اگه علامت یالی رو در یک شبکه عوض کنیم (رابطه‌ی دو نفر رو از دوستی به دشمنی و یا عکس تبدیل کنیم) اون موقع میشه فهمید برای کل شبکه چه اتفاقی می‌افته؟
  • آیا می‌تونیم پیش‌بینی کنیم در چه شرایطی ممکنه بین هوادارهای دو تیم ورزشی توی ورزشگاه آزادی درگیری و نزاع پیش میاد؟

بله، با تقریب خوبی می‌تونیم همه این‌کارها رو به لطف نظریه‌ی توازن و یا بالانس تئوری انجام بدیم.

اجازه بدید کمی عمیق‌تر بشیم. خیلی راحت اثبات میشه که فقط دو راه برای یک شبکه بزرگ وجود داره که متوازن بشه، یا همه دوست هم بشند (جامعه بهشت بشه!) و یا اینکه شبکه قطبیده بشه، به این معنی که شبکه به دو بلوک تقسیم بشه جوری که داخل هر بلوک اعضا، دوست همدیگه حساب میشند و اعضای بلوک مقابل دشمن! درست مثل زمانی که دنیا به دو بلوک شرق و غرب تقسیم شده بود؛ یه سری این ور دوست هم بودند، یه سری هم اون‌ور، بعد این‌وری‌ها نمی‌خواستند سر به تن اون‌وری‌ها باشه!

خب پس وقتی ما یک شبکه داریم که در یکی از این دو حالت نیست یعنی متوازن یا بالانس نیست. سوال مهم اینه که خب اگر بخواهیم که شبکه رو بالانس یا متوازن کنیم چه کار باید انجام بدیم؟ یک راه پیشنهادی این هست که یک یال رو به صورت تصادفی انتخاب کنیم و علامتش رو عوض کنیم و بعدش ببینیم برای سیستم چه اتفاقی می‌افته. به عبارت دیگه اگر بعد از عوض کردن اون یال، تعداد مثلث‌های متوازن در کل شبکه زیاد بشه یعنی اینکه ما تونستیم شبکه رو به یک حالت متوازن‌تر هدایت کنیم، ولی اگر با عوض کردن علامت یالی تعداد مثلث‌های متوازن شبکه کم بشه یعنی عدم‌توازن رو توی شبکه بالا بردیم.

از اون‌جایی که ما فیزیک‌پیشه هستیم، اجازه بدید با رویکرد انرژی به قضیه نگاه کنیم؛ با توجه‌ به پیش‌فرض‌های ما، انرژی شبکه باید متناسب باشه با تعداد مثلث‌های نامتوازن منهای تعداد مثلث‌های متوازن موجود درشبکه:

CodeCogsEqn_001

معادله انرژی برای یک شبکه اجتماعی

 

CodeCogsEqn

اگر دو راس دوست باشند به یال بین آن دو ۱+ نسبت می‌دهیم و اگر دشمن باشند ۱-

 

نمودار انرژی برای شبکه‌هایی با (A) سه راس و (B) چهار راس

نمودار انرژی برای شبکه‌هایی با (A) سه راس و (B) چهار راس

n تعداد کل رئوس است و به خاطر بهنجارش (Normalization) تفاضل انرژی‌ها رو بر تعداد کل مثلث‌های شبکه تقسیم کردیم تا انرژی هنجار به واحد بشه! بنابراین بیشترین مقدار انرژی ۱ و کم‌ترین مقدار ۱- خواهد شد. وجود منفی هم به این خاطر هست که هرچی انرژی کم‌تر باشه (منفی‌تر) سیستم متوازن‌تره. خب بیاید با استفاده از این رابطه نمودار انرژی رو برای دو تا شبکه‌ی کوچیک، یکی با ۳ راس و دیگری با ۴ راس بکشیم:

نمودار A انرژی یک شبکه یا ۳ راس رو نشون میده که ساده‌ترین شبکه برای بررسی هست. بنابراین انرژی شبکه یا ۱ (نامتوزان) و یا ۱- (متوازن) هست. عددی که بالای هر مثلث نوشته شده فراوانی هر کدوم هست (مثلا اینکه یک یال خط‌چین باشه سه حالت داره، بدیهیه!)

نمودار B انرژی یک شبکه‌ی با ۴ راس رو نشون میده. خب توی این شبکه علاوه بر حالات قبل، انرژی صفر هم مشاهده میشه. طبیعیه که ما توی این شبکه می‌تونیم از بالا به پایین بیایم و شبکه رو متوازن کنیم. برای این کار کافیه علامت یکی از یال‌ها رو عوض کنیم و به وضعیت پایدارتر برسیم. خب این سوال مطرح میشه که:

  • آیا توی هر شبکه‌ای ممکنه با عوض کردن علامت یک یال، به یک شبکه‌ی متوازن‌تر رسید؟
Screenshot from 2015-08-04 22:06:50

وجود حالت‌های مسدود (jammed state)

متاسفانه در مورد شبکه‌های بزرگ(تعداد راس بیشتر) حالت‌هایی در سیستم وجود داره که به Jammed States و یا به قول استیون استروگاتز Strict Jammed States معروف هستند. این حالت‌ها چیزی نیستند جزو کمینه‌های نسبی انرژی. به این معنی که انرژی این‌حالت‌ها از تمام حالت‌های ممکن که با تغییر علامت یک یال در دسترس هستند، کمتر هست. بنابراین در حالت‌های jammed یا مسدود، امکان این‌که تنها با تعویض علامت یک یال به یک حالت متوازن‌تر رفت، وجود نداره. به عبارت دیگه انرژی حالت‌های مسدود کوچکتر یا مساوی انرژی حالت‌های مجاور هست.

نکته‌ای که وجود داره اینه که حالت‌های مسدود نمی‌تونند هر مقدار انرژی اختیار کنند. در حقیقت این‌حالت‌ها حداکثر می‌تونند انرژی صفر داشته باشند (کران بالای انرژی حالت‌های مسدود صفر است). اثبات این موضوع خیلی سرراسته: هر یالی در یک حالت مسدود متعلق به مثلث‌های متوازنی هست که تعدادشون برابر با تعداد مثلث‌های نامتوازنه، چون در غیر این صورت علامت اون یال باید عوض بشه که این در تناقض با تعریف حالت مسدوده! بنابراین در شبکه‌های نسبتا بزرگ حالت‌های مسدودی وجود که انرژی این‌ حالت‌ها حداکثر صفر هست.

یک گراف Paley با ۱۳ راس،‌ به شیوه‌ی اتصال رئوس دقت کنید.

یک گراف Paley با ۱۳ راس،‌ به شیوه‌ی اتصال رئوس دقت کنید.

ویژگی جالبی در مورد حالت‌های مسدود با انرژی صفر وجود داره؛ یال‌های مثبت در این حالت‌ها عضو یال‌های گراف Paley هستند. گراف Paley گرافی هست که تعداد رئوسش (q) یک عدد اول به شکل q=4k+1 هست. هر دو راس در این گراف درصورتی وصل هستند که تفاضل شماره اون دو راس یک عدد مربع کامل باشه به پیمانه‌ی q. این گراف‌ها خیلی خوشگل‌ هستند و قیافه‌ی متقارنی دارند. می‌تونید تعدادی از این گراف‌ها رو این‌جا ببینید.

 اگر دوست دارید به یک حالت مسدود با انرژی U=0 برسید:

  1. به یال‌هایی از شبکه که عضو گراف Paley هستند «+» نسبت دهید.
  2. به سایر یال‌ها (یال‌هایی که عضو شبکه (گراف کامل) هستند ولی عضو گراف Paley نیستند) «-» نسبت دهید.
  3. یک راس جدید به شبکه اضافه کنید (وسط شبکه!). هم اکنون شبکه شما q+1 راس دارد.
  4. راس جدید را به q راس قبلی وصل کنید و به یال‌های بین این راس و سایر رئوس «-» نسبت دهید.

با این روش شما می‌تونید یک حالت مسدود با انرژی صفر بسازید که q+1 راس داره.

 

فکر کنم برای مقدمه کافی باشه!


  • همین طور این مقاله‌ها رو به عنوان منابع این پست بخونید:
  1. The Energy Landscape of Social Balance
  2. Dynamics of Social Balance on Networks
  3. STRUCTURAL BALANCE: A GENERALIZATIONOF HEIDER’S THEORY’