خبر برنده شدن مدال فیلدز توسط خانم میرزاخانی همه‌ی ماها رو خوشحال و خانم‌ها رو ،به طور ویژه‌،  نسبت به علم با انگیزه تر کرد! خوبه که یادی کنیم از همه خانم‌هایی که با سختی‌های که بوده و هست وارد علم شدند و البته تاثیر هم گذاشتند. این پست رو تقدیم می‌کنم به همه‌ی بانوان تاریخ علم، خانم‌هایی مثل لیزه مایتنر، الن سوالو ریچاردز، ماری کوری و به ویژه خانم امی نودر!

توی این پست قصد دارم ضمن صحبت در مورد قضیه نٌودِر گریزی هم به زندگی ایشون بزنم. بهتره با یک ویدئوی کوتاه ، کمتر از ۳ دقیقه‌، شروع کنیم! برای این کلیپ زیرنویس فارسی هم گذاشتم، فقط به خاطر علاقه‌ی زیاد به شما فارسی زبانان 😉

ماجرا از اینجا شروع میشه که ما همه‌جا با تقارن سروکار داریم. از ساختار بدن خودمون گرفته تا اشکالی که توی طبیعت هست، معماری‌های قدیمی و مدرن،فرش زیرپامون، وسایلی مثل تلفن همراه و … . تقارن توی هنر ارزش خاصی داره مخصوصا توی

گنبد متقارن مسجد شیخ‌لطف‌الله، اصفهان

گنبد متقارن مسجد شیخ‌لطف‌الله، اصفهان

هنر اسلامی. اکثر مساجد درون و بیرونشون کاملا متقارن ساخته میشه! پپیشنهاد میکنم نوشته‌ی «گفتگو با استاد» از کتاب «اطاق آبی» سهراب سپهری رو بخونید! توی این نوشته، سپهری در مورد تقارن در نقاشی با یکی از اساتیدش بحث می‌کنه.

خب برگردیم سراغ علم! توی ریاضیات و فیزیک هم تقارن اهمیت خاصی داره،‌ یکی از کارهای فیزیک‌دان‌ها پیدا کردن تقارنه! هر چند که شکستن تقارن هم خودش یه موضوع خیلی جالب و چالشی هست ولی موضوع این پست نیست. همین‌طور برای فیزیک‌دان‌‌ها اهمیت داره که بدونند که چه چیزهایی ثابت هستند و به بیان بهتر، فیزیک‌دان‌ها دوست دارند بدونند که چه کمیت‌هایی پایسته (پایستار) هستند. حتما اسم قانون‌هایی مثل پایستگی انرژی به گوشتون خورده حتی اگر اهل فیزیک نباشید!

حالا با این مقدمه‌ای که گفتم فکر کنید که یک نفر پیدا بشه و «تقارن» و «پایستگی» کمیت‌ها رو به هم متصل کنه! چه اتفاق فرخنده‌ای خواهد شد! این کار رو خانم امی نودر ریاضی‌دان تاثیرگزار آلمانی در سال ۱۹۱۵ انجام داد، چیزی که به عنوان قضیه‌ی اول

امی نودر، بانوی ریاضیات

امی نودر، بانوی ریاضیات

نودر امروز فیزیک‌دان‌ها میشناسندش. سال ۱۹۱۵ دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از نودر دعوت کردند تا به دانشکده‌ی ریاضی دانشگاه گوتینگن بیاد و به اونها توی فهم نسبیت عام که توسط اینشتین مطرح شده بود کمک کنه. همین جور که ‌می‌دونید نسبیت‌عام یک نظریه‌ی هندسی از گرانشه و بعضی‌ها بر این باورند که اگر اینشتین نسبیت‌عام رو کشف نمی‌کرد، حتما توسط آدم‌هایی مثل هیلبرت و امثال هیلبرت این نظریه کشف می‌شد؛ با این وجود ریاضی‌دان‌ها، فیزیک نمی‌دونستند و سرانجام افتخار این کشف به آینشتاین رسید! دعوت از نودر حاشیه‌های زیادی هم به همراه داشت، از جمله اینکه در اون زمان حضور زن‌ها در دانشگاه مخالفان زیادی داشت ولی هیلبرت محکم جلوی این طرز تفکر نادرست ایستاد و از نودر به خوبی حمایت کرد! قضیه نودر، سال ۱۹۱۵ بیان و اثبات شد ولی نودر تا سال ۱۹۱۸ از انتشار اون خودداری کرد. بعد از این که کار نودر به دست اینشتین رسید، اینشتین نامه‌ای به هیلبرت می‌نویسه و توی اون میگه: «دیروز مقاله‌ای بسیار جالب در مورد ناوردایی از خانم نودر دریافت کردم. من از اینکه این چیزها با این کلیت قابل فهم هستند تحت تاثیر قرار گرفته‌ام! پاسداران قدیمی گوتینگن باید از خانم نودر درس بگیرند، به نظر می‌رسد که او کارش را بلد است!» جالبه که بدونید آدم‌هایی از جمله اینشتین، نودر رو مهم‌ترین خانم در تاریخ ریاضیات خطاب کرده اند!

قضیه نودر بیان میکنه که:

«برای هر تقارن (پیوسته)موجود در یک سامانه، یک کمیت پایستار وجود دارد.»

این قضیه منجر به این شد که دو مقوله‌ی ظاهرا متفاوت بهم متصل بشند و  نتیجه‌ی این وصلت هم، وصل شدن فیزیک نظری به سیستم‌های دینامیکی و بالعکس شد. این قضیه یک ابزار بسیار قدرتمند برای فیزیک وحساب وردشهاست و در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی (که فرمالیسمی مشابه با مکانیک نیوتونی هستند) کاربرد اساسی داره. در حقیقت واژه‌ی «تقارن» در صورت قضیه‌ به طور دقیق‌تری، اشاره می‌کنه به هموردایی فورمی که یک قانون فیزیکی نسبت به تبدلات گروه لی دریک بعد (با ارضا کردن شرایط فنی) داره. بد نیست بدونید که معمولا قانون پایستگی برای هر کمیت فیزیکی با یک معادله‌ی پیوستگی بیان میشه که خب مجال توضیحش توی این پست نیست! تغییر نکردن یک کمیت در اثر تحول سیستم (ناوردا باقی موندن) به معنی پایستگی اون کمیت هست و به بیان ریاضی اگر تغییرات یک کمیت نسب به زمان صفر باشه. اون کمیت ثابته: \( dA/dt =0 \)

From left to right, you can see topology (the donut and coffee mug), ascending/descending chains, Noetherian rings (represented in the doodle by the Lasker-Noether theorem), time, group theory, conservation of angular momentum, and continuous symmetries–and the list keeps going on and on from there!

From left to right, you can see topology (the donut and coffee mug), ascending/descending chains, Noetherian rings (represented in the doodle by the Lasker-Noether theorem), time, group theory, conservation of angular momentum, and continuous symmetries–and the list keeps going on and on from there!

اجازه بدید کمی تخصصی تر حرف بزنیم:

توی فرمالیسم مکانیک لاگرانژی برای سادگی بیشتر از مختصات تعمیم یافته استفاده میشه. اگر با مختصات تعمیم‌یافته آشنا نیستید نگران نباشید، ایده‌ی ساده‌ ولی کاربردی هست، توی اکثر کتاب‌های درسی مکانیک کلاسیک (مکانیک تحلیلی) در موردش بحث شده؛ در حالت کلی مختصات تعمیم یافته، می‌تونند چیزهایی غیر از x,y,z باشند،‌ مثلا زاویه! بعد از مشخص شدن مختصات تعمیم یافته، لاگرانژی به صورت اختلاف انرژی جنبشی و پتاسیل سامانه به صورت \(L=T-V , L=L(q,p, t) \) مشخص میشه.  لاگرانژی تابعی از مختصات تعمیم یافته(q)، تکانه‌ی تعمیم یافته (p) ( تکانه تعمیم یافته مشتق زمانی مختصات تعمیم یافته است) و احیانا زمان هم هست. با استفاده از لاگرانژی و استفاده از معادله‌ی اویلر-لاگرانژ می‌تونیم به راحتی معادلات حرکت رو به دست بیاریم.

معادله اویلر-لاگرانژ

معادله اویلر-لاگرانژ

منظور از qنقطه همون مشتق زمانی q یا تکانه تعمیم یافته (p) هست. اندیس k یعنی kامین مختصه‌ی تعمیم یافته و… . حالا اگر تغییرات لاگرانژی نسبت به یکی از اون مختصات تعمیم یافته صفر باشه، یعنی طرف راست معادله صفر باشه ، اون‌موقع طرف چپ معادله هم صفر میشه و این یعنی تغییرات لاگرانژی نسبت به تکانه‌ی تعمیم یافته ثابته! اویلر-لاگرانژ۲

خب حالا این یعنی چی؟!

مثال۱)‌ فرض کنید که شما یک توپی رو به هوا پرتاب می‌کنید، مختصات تعمیم یافته توی این حالت، همون x,y,z در دستگاه دکارتی هست. برای این توپ لاگرانژی به صورت زیر نوشته میشه:لاگرانژی

همون جوری که می‌بینید توی این لاگرانژی خبری از y , x نیست! پس مشتق L نسبت به y یا x صفر هست که نتیجه‌ش ثابت بودن مشتق L نسبت yنقطه (سرعت در جهت y) و xنقطه (سرعت در جهت x) هست. با حل معادله اویلر-لاگرانژ (حل کنید!) به این می‌رسیم که تکانه در جهت x , y‌ ثابته: لاگرانژی۲

توی این مثال دیدیم که تکانه (حاصل‌ضرب m در xنقطه یا yنقطه) در دو جهت پایسته بود و در صورت لزوم می‌تونیم از قانون پایستگی تکانه‌ هم استفاده کنیم!

مثال۲) فرض کنید که یک ذره در پتانسیلی باشه که فقط به فاصله‌ش از محور z ها وابسته است، اون‌موقع اگر لاگرانژی رو در دستگاه مختصات استوانه‌ای بنویسیم، خواهیم داشت: لاگرانژی۳

می‌بینید که توی لاگرانژی خبر از z  و θ نیست. دوباره با حل معادله اویلر لاگرانژ به این نتیجه میرسیم که تکانه در جهت z و θ پایسته است که این به معنی ثابت بودن تکانه‌ی خطی در جهت z و پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای در جهت θ هست.

خب  ما توی این دو تا مثال به پایستگی دو کمیت به نام‌‌‌های تکانه‌ی خطی و تکانه‌ی زوایه‌ای رسیدیم. طبق قضیه‌ی نودر چیزی که این کمیت‌های پایسته رو به‌وجود اورده، چیزی نیست جز تقارن! توی مثال اول تقارن توی صفحه‌ی xy (صفحه‌ی موازی سطح زمین)وجود داشت. یعنی اینکه فرقی نمی‌کرد که توپ ما در کجای این صفحه بود، مهم این بود که چقدر از زمین بالا یا پایین باشه، به عبارت دیگه تقارنی که در انتقال توپ ما در صفحه xy (یا در جهت x  و جهت y) وجود داشت سبب پایستگی تکانه‌ی خطی در جهت x,y شد! توی مثال دوم هم تنها چیزی که اهمیت داشت انتقال در جهت r یا همون جابه جایی از محور z بود و این اصلا مهم نبود که شما در جهت z یا در جهت θ انتقال یا جابه‌جایی انجام بدین. بنابراین به خاطر تقارن موجود در انتقال در جهت z ، پایستگی تکانه‌ی خطی در جهت z و به خاطر تقارنی که در جهت θ بود پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای در جهت θ داشتیم. یعنی با استفاده از قضیه نودر، بدون حل معادله اویلر-لاگرانژ،می‌تونستیم کمیت‌های پایسته رو از روی لاگرانژی تشخیص بدیم.

به طور خلاصه می‌تونیم این جدول رو داشته باشیم:

Screenshot from 2014-08-17 23:43:15تقارن در زمان یعنی اینکه اگر رفتار سامانه‌ی ما مستقل از زمان باشه به این معنی که هرچقدر زمان بگذره سیستم تغییر نکنه، اون موقع انرژی برای اون ثابت و پایسته است. برای مثال، وقتی شما نوسانگری که درخلا در حال نوسان با دوره‌ی تناوب T هست رو امروز می‌بیند و دوباره فردا هم با همون دوره تناوب می‌بینیدش، یعنی اینکه انرژی برای این نوسانگر پایسته است!

خیلی چیزها خلاصه میشه توی همین قضیه! زمین گرده چون که بیشترین تقارن رو کره داره و این گردی سبب میشه که تکانه‌ی زاویه ای حفظ بشه! همین طور مدار سیاره ها و …

خب در انتها جا داره که یک بار دیگه درود بفرستیم به امی نودر!

معتبرین‌ترین جایزه‌ی علمی دنیا، جایزه‌ی نوبل هست. ولی این جایزه به دلایلی به ریاضیدان‌ها داده نمیشه! در عوض جان چارلز فیلد، ریاضیدان کانادایی ابتکاری زد که هر چهار سال یک بار، به ریاضیدانانی که کمتر از ۴۰سال داشته باشند و یک کار ارزنده و خیلی خوبی توی ریاضیات انجام بدند یک جایزه داده بشه، که این جایزه همون مدال فیلدز هست. مدال فیلدز و جایزه‌ی آبل معتبرترین و مهم‌ترین جایزه‌هایی هستند که یک ریاضیدان ممکنه اون رو ببره و در حقیقت جایگزین جایزه نوبل برای ریاضی هست!

هر دوره این جایزه به دو، سه یا چهار ریاضیدان اهدا میشه. امسال (دیروز اعلام شد) این جایزه به چهار نفر به نام‌های آرتور آویلا، مانجول بارگاوا، مارتین هایرر و مریم میرزاخانی اهدا شد.  با کمال خوشحالی و ذوق بسیار بسیار زیاد، بین این چهار نفر اسم خانم دکتر مریم میرزاخانی هست. که نه تنها موجب خوشحالی و مباهاته بلکه جالب توجه هم هست که ایشون اولین خانم برنده‌ی این جایزه در کل تاریخ هستند! هورا!  

مریم میزراخانی در حال گرفتن مدال فیلدز از دست پارک‌گون‌های رئیس جمهور کره‌جنوبی

مریم میزراخانی در حال گرفتن مدال فیلدز از دست پارک‌گون‌های رئیس جمهور کره‌جنوبی

تبریک میگیم به خانم میرزاخانی و برای ایشون آرزوی سلامتی و موفقیت‌های پی‌درپی داریم! دست مریزاد خانم دکتر 🙂 برنده‌شدن ایشون موجب تشویق بیشتر خانم‌ها به این جایزه شد، مسئولین برگزارکننده خیلی خوشحال بودند و این رو یک دریچه‌ی امید برای دختران و خانم‌های جوان که در ریاضیات فعالیت میکنند دونستند!

مریم میرزاخانی این مدال رو به خاطر کارشون روی «دینامیک و هندسه سطوح ریمانی و فضاهای پیمانه‌ای آنها» که مربوط به هندسه‌ی مختلط میشه برنده شدند.  مسئله‌ی سه جسم (مثل برهمکنش خورشید و زمین و ماه) حل دقیق ریاضی نداره. مریم میزاخانی نشون داد در سیستم‌های دینامیکی که نوع تحولشون به نحوی هست که شکلشون رو می‌چرخونند و کش میارند، مسیرهای سیستم بالاجبار مقیدند که از قوانین جبری پیروی کنند! خلاصه این که مسئله‌‌‌ی سه جسم به یک سرانجام خوبی رسید!

مک‌مولن گفته که دستاورد خانم میرزاخانی «توانایی فوق‌العاده در حل مسئله، دید وسیع در ریاضیات و روان بودن در دیسیپلین‌های زیادی» رو ترکیب کرد که در عصر مدرن واقعا غیرعادیه!

به نقل از ویکی‌پدیا:

مریم میرزاخانی (زاده ۱۹۷۷ریاضیدان ایرانی و استاد دانشگاه استنفورد است. او طی تحصیل در دبیرستان فرزانگان تهران در سال‌های ۱۹۹۴ (هنگ‌کنگ) و ۱۹۹۵ (کانادا) برنده مدال طلا در المپیاد جهانی ریاضی و در این سال حایز نمره کامل شد. سپس کارشناسی ارشد خود را در رشته ریاضی از دانشگاه شریف گرفت و برای ادامه تحصیل دکترا به دانشگاه هاروارد رفت. از مریم میرزاخانی به عنوان یکی از ده ذهنِ جوان برگزیده سال ۲۰۰۵ از سوی نشریه پاپیولار ساینس در آمریکاو ذهن برتر در رشته ریاضیات تجلیل شد. میرزاخانی برنده جوایزی چون جایزه ستر از انجمن ریاضی آمریکا در سال ۲۰۱۳، جایزه کلی و مدال فیلدز در سال ۲۰۱۴ است. وی از یازدهم شهریور ماه ۱۳۸۷ (اول سپتامبر ۲۰۰۸) در دانشگاه استنفورد استاد دانشگاه و پژوهشگر رشته ریاضیات است. پیش از این، او استاد دانشگاه پرینستون بود.

این ویدیو ها رو ببینید: